పని-యాంత్రిక శక్తి సూత్రం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక పెట్టె 10 మీ/సె వేగం నుండి అవత్వరణం చెంది నిశ్చల స్థితికి వస్తుంది. గతిజ ఘర్షణ గుణకం 0.2. గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/సె² ^. స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం ఎంత?

తెలిసిన;

ద్రవ్యరాశి (మీ) = 2 కిలోగ్రాములు

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 10 మీ/సె

తుది వేగం (v _t ) = 0 మీ/సె

గతిజ ఘర్షణ గుణకం ( _μk ) = 0.2

బరువు (w) = mg = (1 kg)(10 m/s ² ) = 10 kg m/s ² = 10 N

కావలసినది : స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం (d)

పరిష్కారం:

పని-యాంత్రిక శక్తి సూత్రం :

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

W _nc = వస్తువుపై పనిచేసే అసంరక్షక బలం చేసిన పని

ΔEK = గతి శక్తిలో మార్పు

ΔEP = స్థితిశక్తిలో మార్పు

m = ద్రవ్యరాశి

v = వేగం

g = గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం

h = ఎత్తులో మార్పు

ఎత్తులో మార్పు h = 0 కాబట్టి ΔEP = 0

W _nc = ΔEK

సంరక్షక-రహిత బలం ద్వారా చేయబడిన పని:

W _nc = -F _c d = – μk N d = – μk _wd = – _{μk mgd}

W _nc = -(0.2)(2)(10)(s)

W _nc = – (4)(2)

మైనస్ గుర్తు, గతిజ ఘర్షణ బలం యొక్క దిశ స్థానభ్రంశం యొక్క దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉందని సూచిస్తుంది.

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం:

W _nc = ΔEK

– 4 సె = – 100

s = -100/-4

s = 25 మీ

[irp]

2. ఒక దిమ్మె ఏటవాలు తలంపై క్రిందికి జారుతోంది. గతిజ ఘర్షణ గుణకం 0.4. గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం g = 10 ms⁻² ^. దిమ్మె నేలను తాకినప్పుడు దాని తుది వేగాన్ని కనుగొనండి.

తెలిసినది :

ప్రారంభ ఎత్తు (h _o ) = 6 మీ

తుది ఎత్తు (h _t ) = 0 మీ

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0

గతిజ ఘర్షణ గుణకం ( _μk ) = 0.4

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

cos θ = 8/10

బరువు యొక్క నిలువు భాగం = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

సాధారణ బలం = N = w _y = 8 మీ

గతిజ ఘర్షణ బలం = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 మీ) = 3.2 మీ

కావలసినది : తుది వేగం (v _t )

పరిష్కారం:

పని-యాంత్రిక శక్తి సూత్రం:

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔEK = 1/2 మీ (వి_t² - వి_o²) = 1/2 మీ (వి_t² - 0) = 1/2 mv_t²

స్థితిశక్తిలో మార్పు:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

గతిజ ఘర్షణ బలం ద్వారా చేయబడిన పని:

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 మీ)(10) = – 32 మీ

మైనస్ గుర్తు, గతిజ ఘర్షణ బలం యొక్క దిశ స్థానభ్రంశం యొక్క దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉందని సూచిస్తుంది.

తుది వేగం (v _t ) :

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 మీ = మీ (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

[irp]

3. ఒక దిమ్మె గరుకైన ఏటవాలు తలంపై క్రిందికి జారుతోంది. దాని తొలి వేగం 0 మీ/సె మరియు తుది వేగం 10 మీ/ ^{సె⁻¹గా} ఉంది . గతిజ ఘర్షణ బలం 2 N మరియు గురుత్వాకర్షణ త్వరణం g = 10 మీ/సె⁻² అయితే ^, దాని ఎత్తు (h) ఎంత?

తెలిసినది :

ద్రవ్యరాశి (మీ) = 1 కిలోగ్రాము

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0 (బ్లాక్ నిశ్చలంగా ఉంది)

తుది వేగం (v _t ) = 10 ms ^-1

ప్రారంభ ఎత్తు (h _o ) = h

తుది ఎత్తు (h _t ) = 0

గతిజ ఘర్షణ బలం (f _k ) = 2 N

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

కావలసినది : ఎత్తు (h)

పరిష్కారం:

గతిజ ఘర్షణ బలం చేసిన పని:

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

మైనస్ గుర్తు, గతిజ ఘర్షణ బలం యొక్క దిశ స్థానభ్రంశం యొక్క దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉందని సూచిస్తుంది.

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔEK = 1/2 మీ (వి_t² - వి_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100) = 50

స్థితిశక్తిలో మార్పు:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

పని-యాంత్రిక శక్తి సూత్రం:

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 గంటలు

10 గంటలు = 50 + 30

10 గంటలు = 80

h = 80/10

h = 8 మీ

4ఒక దిమ్మె సుమారుగా ఏటవాలుగా ఉన్న తలంపై కిందికి కదిలితే, అప్పుడు….
A. బ్లాక్‌పై గురుత్వాకర్షణ బలం చేసిన పని, బ్లాక్ యొక్క స్థితిశక్తిలో మార్పు కంటే ఎక్కువ.
బి. యాంత్రిక శక్తి పెరుగుతుంది
C. గతి శక్తి మరియు దాని స్థితి శక్తి పరిమాణం తగ్గుతుంది
D. బ్లాక్ యొక్క గతిజ శక్తిలో మార్పుకు సమానమైన పనిని ఘర్షణ బలం చేస్తుంది.
సొల్యూషన్

A తప్పు

బ్లాక్‌పై గురుత్వాకర్షణ బలం చేసిన పని, ఆ బ్లాక్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తిలో మార్పుకు సమానం.

బి తప్పు

వాలు తలం నునుపుగా ఉంటే, బ్లాక్ యొక్క యాంత్రిక శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది. వాలు తలం పైభాగంలో ఉండి, ఇంకా కదలనప్పుడు, బ్లాక్ యొక్క యాంత్రిక శక్తి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తికి సమానంగా ఉంటుంది. బ్లాక్ ఇంకా నిశ్చలంగా ఉంటుంది కాబట్టి దాని గతిశక్తి సున్నా. వాలు తలంపై కిందికి కదులుతున్నప్పుడు, బ్లాక్ యొక్క ఎత్తు తగ్గుతుంది కాబట్టి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి కూడా తగ్గుతుంది. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారడం వల్ల తగ్గుతుంది. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారినప్పటికీ, యాంత్రిక శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది.

వాలు తలం గరుకుగా ఉంటే, ఘర్షణ బలం చేసే రుణాత్మక పని కారణంగా బ్లాక్ యొక్క యాంత్రిక శక్తి తగ్గుతుంది. ఘర్షణ బలం ఒక అసంరక్షక బలం. ఒక వస్తువుపై అసంరక్షక బలం చేసే పని, ఆ వస్తువు యొక్క యాంత్రిక శక్తిని తగ్గించడానికి కారణమవుతుంది.

సి సరైనది

వాలు తలం గరుకుగా ఉండటం వలన, బ్లాక్ యొక్క చలనాన్ని సవాలు చేసే ఒక ఘర్షణ బలం ఉంటుంది. ఈ ఘర్షణ బలం ఒక అసంరక్షక బలం. పని-యాంత్రిక శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక అసంరక్షక బలం (ఉదాహరణకు ఘర్షణ బలం) చేసిన పని, యాంత్రిక శక్తిలోని మార్పుకు సమానం. ఈ క్రమంలో, యాంత్రిక శక్తి తగ్గుతూ ఉంటుంది.

బ్లాక్ యొక్క యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి.

డి తప్పు.

బ్లాక్‌పై ఘర్షణ బలం చేసే పని, బ్లాక్ యొక్క గతిజ శక్తిలో మార్పుకు కాకుండా, దాని యాంత్రిక శక్తిలో మార్పుకు సమానం. ఘర్షణ బలం బ్లాక్ యొక్క చలనాన్ని సవాలు చేస్తుంది కాబట్టి అది బ్లాక్ వేగాన్ని మరియు దాని గతిజ శక్తిని తగ్గిస్తుంది అనేది నిజమే. కానీ బ్లాక్ యొక్క గతిజ శక్తి గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి నుండి వస్తుందని గ్రహించండి. కాబట్టి, ఘర్షణ బలం చేసే పని యాంత్రిక శక్తిలో మార్పుకు (యాంత్రిక శక్తి తగ్గుతుంది) సమానం అని చెప్పడం నిజమే.

సరైన సమాధానం C.

5. గరుకైన నేలపై ఉన్న ఒక వస్తువును కొట్టినప్పుడు, అది 3 సెకన్ల పాటు కదిలి ఆగిపోతుంది. ఆ వస్తువు యొక్క తెలిసిన ద్రవ్యరాశి 10 గ్రాములు అయితే, వస్తువుకు మరియు నేలకు మధ్య ఉన్న ఘర్షణ బలం 2 కిలోడైన్. ఘర్షణ బలం చేసిన పనిని కనుగొనండి.

ఎ. 0.18 జె

బి. -0.18 జె

సి. 0.36 జె

డి. -0.36 జె

తెలిసినది :

సమయ వ్యవధి (t) = 3 సెకన్లు

తుది వేగం (v _t ) = 0 మీ/సె (వస్తువు నిశ్చలంగా ఉంటుంది)

వస్తువు ద్రవ్యరాశి (m) = 10 గ్రాములు = 10/1000 కిలోగ్రాములు = 1/100 కిలోగ్రాములు = 0.01 కిలోగ్రాములు

ఘర్షణ శక్తి (F) = 2 కిలోడైన్స్ = 2 x 10 ³ డైన్‌లు

కావలసినది : ఘర్షణ బలం చేసిన పని (W)

పరిష్కారం:

బలం యొక్క ప్రమాణాల మార్పిడి:

1 న్యూటన్ = 1 x ^10⁵ డైన్

1 డైన్ = 1 / 10 ⁵ న్యూటన్లు = 1 x 10 ^-5 న్యూటన్లు = 10 ^-5 న్యూటన్లు

ఘర్షణ బలం (F) = 2 x 10³ ^డైన్ = 2 x 10³ ^x 10⁻⁵ ^{న్యూటన్} = 2 x 10⁻² ^{న్యూటన్} = 2/100 న్యూటన్ = 0.02 న్యూటన్

పని-యాంత్రిక శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక వస్తువుపై అసంరక్షక బలం చేసే పని, ఆ వస్తువు యొక్క యాంత్రిక శక్తిలో కలిగే మార్పుకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఒక వస్తువు ఏటవాలు తలంపై కదిలితే, యాంత్రిక శక్తి (ME) = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (PE) + గతిశక్తి (KE). కానీ వస్తువు ఎత్తులో మార్పు లేకుండా కేవలం క్షితిజ సమాంతర తలంపై కదిలితే, యాంత్రిక శక్తి = గతిశక్తి అవుతుంది. క్షితిజ సమాంతర తలంపై, ఎత్తులో మార్పు ఉండదు కాబట్టి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి శూన్యం అవుతుంది.

ఘర్షణ బలం ఒక అసంరక్షక బలం. ఘర్షణ బలం సాధారణంగా వస్తువు యొక్క వేగాన్ని మరియు గతి శక్తిని తగ్గిస్తుంది. ఒక వస్తువుపై ఘర్షణ బలం చేసే పని, యాంత్రిక శక్తిలో తగ్గుదలకు సమానం అని నిర్ధారించవచ్చు.

గణితపరంగా :

పని (W) = యాంత్రిక శక్తిలో మార్పు (ΔEM)

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— సమీకరణం 1

వివరణ: F = ఘర్షణ బలం, d = స్థానభ్రంశం, m = ద్రవ్యరాశి, v _o = ప్రారంభ వేగం

_{మొదట v₀ లేదా dని లెక్కించాలి కాబట్టి,} స్థానభ్రంశం (d) మరియు ప్రారంభ వేగం (v₀ ₎ ఇంకా తెలియవు . _v₀ లేదా d తెలిసిన తర్వాత, ఘర్షణ బలం చేసిన పనిని సమీకరణాలలో ఒకదానిని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు.

అసమాన రేఖీయ చలనంలో స్థానభ్రంశం (d) సమీకరణం:

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

వస్తువు వేగం తగ్గడం వలన తుది వేగం (v _{t ) = 0 మరియు త్వరణం (a) రుణాత్మకంగా ఉంటుంది.}

0 = వి_o² – 2 ప్రకటనలు

v_o² = 2 ప్రకటన

d = v _o ² / 2 a ———— సమీకరణం 2

సమీకరణం 2లోని dని సమీకరణం 1లోని dతో మార్చండి:

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ మీ

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / m)

a = – 0.02 న్యూటన్లు / 0.01 కిలోగ్రాములు

a = – 2 న్యూటన్/కిలోగ్రాము

a = – 2 మీ/సె ²

అసమాన రేఖీయ చలనంలో ప్రారంభ వేగాన్ని (v _{o )} లెక్కించడానికి సమీకరణం :

v _t = v _o + at —–> తుది వేగం (v _t ) = 0, త్వరణం (a) = 2 m/s ² , కాల వ్యవధి (t) = 3 సెకన్లు

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v _o = 6 మీటర్లు/సెకను

ఘర్షణ బలం చేసిన పని (W):

W = – ½ mv _o ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

W = -1/2 (0.36)

W = – 0.18 జౌల్

ఘర్షణ బలం చేసిన పనిని రుణాత్మకంగా సూచిస్తారు, అంటే ఆ పని వస్తువు యొక్క యాంత్రిక శక్తిని తగ్గిస్తుంది.

d తెలిస్తే, W = F d సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పనిని లెక్కించవచ్చు .

సరైన సమాధానం బి.

[wpdm_package id='1178′]

1. బలం ద్వారా జరిగే పని సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు
2. పని-గతిజ శక్తి సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు
3. పని-యాంత్రిక శక్తి సూత్రాలు, సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు
4. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు
5. స్థితిస్థాపక స్ప్రింగ్ యొక్క స్థితిశక్తి సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు
6. విద్యుత్ సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు
7. స్వేచ్ఛా పతన చలనానికి యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క అనువర్తనం
8. స్వేచ్ఛా పతనంలో పైకి మరియు క్రిందికి చలనం కోసం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క అనువర్తనం
9. వక్ర ఉపరితలంపై చలనం కోసం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క అనువర్తనం
10. వాలు తలంపై చలనం కోసం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క అనువర్తనం
11. ప్రక్షేపక చలనానికి యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క అనువర్తనం