Problemata Soluta in Physica Fundamentali

1. Pila 0.2 kg, ad extremum funis horizontalis adnexa, in circulo radii 1 metri revolvitur et maxima celeritas pilae 10 rpm est. Quae est magnitudo accelerationis centripetae et magnitudo vis tensionis?

Notum:

Massa (m) = 0.2 kg

Radius (r) = 1 m

Velocitas angularis (ω) = 10 rev/min = 10 rev/60 s = 0.17 rev/s = (0.17)(6.28 rad)/s = 1 rad/s

Velocitas (v) = r ω = (1 m)(1 rad/s) = 1 m/s

Quaesita: a _s et Σ F

solution:

(a) Magnitudo accelerationis centripetae

(b) Magnitudo vis tensionis

Σ F = ma

T = ma _s

T = (0.2 kg)(1 m/ ^s² )

T = 0.2 kg m/ ^s²

T = 0.2 N

[irp]

2. Pila 1 kg in fine funiculi posita uniformiter in circulo horizontali radii 1 m volvitur. Funiculus frangetur cum tensio in eo 100 N excedit. Quae est maxima celeritas quam pila habere potest?

Notum:

Massa (m) = 1 kg

Radius (r) = 1 metrum

Vis tensio (T) = vis centripeta ( Σ F) = 100 N

Quaesitum: v maximum

solution:

[irp]

[wpdm_package id='499′]

1. Massa et pondus
2. Normalis vis
3. Lex secunda motus Newtoni
4. Vis frictionis
5. Motus in superficie horizontali sine vi frictionis
6. Motus duorum corporum eadem acceleratione in superficie horizontali asperā cum vi frictionis
7. Motus in plano inclinato sine vi frictionis
8. Motus in plano inclinato aspero cum vi frictionis
9. Motus in ascensore
10. Motus corporum funibus et trochleis connectitur
11. Duo corpora eadem magnitudine accelerationis habentia
12. Curva plana rotundanda – dynamica motus circularis
13. Curvae inclinatae rotundatio – dynamica motus circularis
14. Motus uniformis in circulo horizontali
15. Vis centripeta in motu circulari uniformi

Lege plus

1. Autocinetum curvam inclinatam circumit. Quid est angulus viae quae curvam radii 60 metrorum cum celeritate designata 20 m/s habet? Ponamus nullam esse... friction inter currum et viam.

Solutio

N= normalis vis

N sin θ = pars horizontalis vis normalis

N cos θ = pars verticalis vis normalis

w = mg = pondus currus

Via ita designata est ut inclinata sit ne dependentia a frictione tollatur.

Vis horizontalis netta, pars horizontalis vis normalis ( Nsin θ) , requiritur ut currus in circulo circa curvam moveatur.

Axem x ut horizontalem et axem y ut verticalem eligimus, ita ut acceleratio centripeta, a_R, est secundum directionem horizontalem. In directione horizontali, sola vis est pars horizontalis vis normalis. (N sin θ), necessarium ad producendum acceleratio centripetaN sin θ = . vis centripeta.

Legem motus Newtoni in directionem verticalem adhibe:

[irp]

Legem motus Newtoni in directione horizontali adhibe:

Substitue N in aequatione 1 in N in aequatione 2 :

[wpdm_package id='497′]

1. Massa et pondus
2. Normalis vis
3. Lex secunda motus Newtoni
4. Vis frictionis
5. Motus in superficie horizontali sine vi frictionis
6. Motus duorum corporum eadem acceleratione in superficie horizontali aspera sub vi frictionis
7. Motus in plano inclinato sine vi frictionis
8. Motus in plano inclinato aspero cum vi frictionis
9. Motus in ascensore
10. Motus corporum funibus et trochleis connectitur
11. Duo corpora eadem magnitudine accelerationis habentia
12. Curva plana rotundanda – dynamica motus circularis
13. Curvae inclinatae rotundatio – dynamica motus circularis
14. Motus uniformis in circulo horizontali
15. Vis centripeta in motu circulari uniformi

Lege plus

1. Autocinetum 2000 kg curvam in via plana radii 150 m circumit. Coefficiens frictionis staticae 0.5 est. Determina celeritatem maximam ita ut autocinetum curvam sequatur nec labatur. Acceleratio gravitatis = 10 m/ ^s².

Notum:

Massa (m) = 2000 kg

Radius (r) = 150 metra

Coefficiens frictionis staticae ( μs ₎ = 0.5

Pondus (w) = mg = (2000 kg)(10 m/s² ⁾ = 2 20,000 kg m/s² ⁼ 2 20,000 N

Vis frictioni statice (F _s ) = μ _s N = μ _s w = (0.7) (20,000 N) = 14,000 N

Quaesitum : v

solution:

[irp]

[wpdm_package id='496′]

1. Massa et pondus
2. Normalis vis
3. Lex secunda motus Newtoni
4. Vis frictionis
5. Motus in superficie horizontali sine vi frictionis
6. Motus duorum corporum eadem acceleratione in superficie horizontali aspera sub vi frictionis
7. Motus in plano inclinato sine vi frictionis
8. Motus in plano inclinato aspero cum vi frictionis
9. Motus in ascensore
10. Motus corporum funibus et trochleis connectitur
11. Duo corpora eadem magnitudine accelerationis habentia
12. Curva plana rotundanda – dynamica motus circularis
13. Curvae inclinatae rotundatio – dynamica motus circularis
14. Motus uniformis in circulo horizontali
15. Vis centripeta in motu circulari uniformi

Lege plus

1. Duae massae m₁ ₌ 2 kg et m₂ ₌ 5 kg in plano inclinato sunt et inter se filo connexae sunt, ut in figura demonstratur. Coefficiens frictionis cineticae inter m₁ _et planum inclinatum est 0.2 et coefficiens frictionis cineticae inter m₂ _et planum inclinatum est 0.1.

(a) Accelerationem eorum determina.

(b) Vim tensionis determina.

Notum:

Massa 1 (m1 ₎ = 2 kg

Massa² (m² ₎ = 4 kg

Coefficiens frictionis cineticae inter m₁ _et planum inclinatum (μ₁ _k₁ ) = 0.2

Coefficiens frictionis cineticae inter m² _et planum inclinatum (μ² ₎ = 0.1

Acceleratio gravitatis (g) = 9.8 m/ ^s²

a) Magnitudo et directio accelerationis

w₁ = pondus ₁ = _m₁ g = (2 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 19.6 Newtoni

w _1x = w ₁ sin 30 ^o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newtoni

w₁y ₌ w₁ _cos³₀o ⁼ (19.6 N)(0.87) = 17 Newtoni

N₁ = Vis normalis in m₁ ₌ w₁y ₌ 17 _Newtoni

F _k1 = Vis frictionis cineticae in m ₁ = μ _k1 N ₁ = (0.2)(17 N) = 3.4 Newtoni

---

w² = pondus² = m² _g = (4 kg)(9.8 m/s² ₎ ⁼ 39.2 Newtoni

w _2x = w ₂ sin 60 ^o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newtons

w²y = w² _cos₁₀o = ⁽ _39.2 N)(0.5) = 19.6 Newtoni

N² = Vis normalis in m² ₌ w²y ₌ 19.6 _Newtoni

F _k² = Vis frictionis cineticae in m² ₌ μ _k² N² = (0.1)(19.6 N) = 1.96 _Newtoni

---

Magnitudo accelerationis:

∑ Fx = _max​

w²x > w⁻¹x _{, ergo} directio accelerationis eadem est ac directio _w²x.

Vires quae secundum accelerationem spectant, positivae sunt, vires autem quae directionem accelerationi oppositam habent, negativae.

w_2x - F_k2 - T₂ T +₁ - Latin_1x - F_k1 = (m₁ m +₂) et_x

w _2x – F _k2 – w _1x – F _k1 = (m1 ₊ m2 ₎ a _x

34.1 N - 1.96 N - 9.8 N - 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a _x

18.94 N = (6 kg) a _x

a _x = 18.94 N : 6 kg

a _x = 3.16 m/ ^s²

Magnitudo accelerationis = 3.16 m/s² ^. Directio accelerationis = directio T₁ ₌ directio w²x_.

b) Magnitudo vis tensionis

Legem secundam Newtoni ad rem 2 applica:

w²x – _F² – _T² = _m² ax_​​

34.1 N - 1.96 N - T ₂ = (4 kg) (3.16 m/s ² )

32.14 N – T2 ₌ 12.64 N

T² = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 _Newtoni

Vis tensionis = T = T₁ ₌ T₂ ₌ 19.5 Newtoni

[irp]

2. m₁ ₌ 4 kg, m₂ ₌ 2 kg. Determina (a) magnitudinem et directionem accelerationis (b) magnitudinem vis tensionis quae m₁ et m₂ connectit ₍ c ₎ magnitudinem vis tensionis quae trochleam et tectum connectit.

Solutio

w₁ ₌ m₁ _g = (4 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 39.2 Newtoni

w² = _m² g = (2 kg)(9.8 m/s² ₎ ⁼ 19.6 Newtoni

a) Magnitudo et directio accelerationis

∑ F _y = ma _y

w₁ > w₂ _ergo directio obiecti eadem est ac directio ponderis 1 ( w₁ ) . Vires quae eandem directionem cum acceleratione habent, positivae sunt, vires autem quae directionem cum acceleratione oppositam habent, negativae _sunt.

w₁ _– T₁ + _T₂ – _{w₂ =} ( _m₁ + _m₂ ) _a₂

w₁ _– w₂ = ( _m₁ + _{m₂ )} a _y

39.2 N - 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a _y

19.6 N = (6 kg) per _annum

y = 19.6 N : 6 _kg

y ₌ 3.26 m/ ^s²

Magnitudo accelerationis = 3.26 m/s² ^. Directio accelerationis = directio _w₁.

b) Magnitudo vis tensionis quae m₁ _et m₂ _coniungit

Legem secundam Newtoni in _m² applica :

∑ F _y = ma _y

w₁ – _T₁ = _m₁ a₂_​​

39.2 N - T ₁ = (4 kg) (3.26 m/s ² )

39.2 N – T1 ₌ 13.04 N

T1 = 39.2 _N – 13.04 N

T1 = _26.16 Newtoni

Magnitudo vis tensionis quae res connectit = T = T₁ ₌ T₂ ₌ 26.16 Newtoni

c) Magnitudo vis tensionis quae trochleam et tectum connectit.

Trochlea quiescit:

Σ F _y = ma _y —— a _y = 0

∑ F _y = 0

Vires sursum spectantes positivae sunt, vires deorsum spectantes negativae:

T³ _– T₁ – _T₂ = ₀

T3 = _T1 + _T2

T₁ _et T₂ eandem magnitudinem habent _, T₁ ₌ T₂ ₌ T₂ = 26.16 N:

T³ = _2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newtoni

[irp]

3. Quadrum 1 (m₁ ₌ 10 kg) et quadratum 2 (m₂ ₌ 15 kg) fune super trochleam sine frictione connexi. Coefficiens frictionis staticae inter quadratum 2 cum inclinatione = 0.6. Coefficiens frictionis cineticae inter quadratum 2 cum inclinatione = 0.42. Determina (a) Magnitudinem vis minimae F in obiecta exercitae ut obiecta sursum accelerata sint. (b) Determina magnitudinem vis tensionis.

Solutio

w² = Pondus massae quadratae² = m² _g = (10 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 98 _Newtoni

w² = Pondus massae quadratae² = m² _g = (15 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 147 _Newtoni

w₁y = _w₁ cos₆ ^° _{= (} 147 N)(0.87) = 127.89 Newtoni

w _2x = w ₂ sin 30 ^o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newtons

N² = Vis normalis in massam ² = w²y _{= 127.89} Newtoni

F _k² = Vis frictionis cineticae in massam 2 = μ _{k² N²} = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newtoni

F _s² = Vis frictionis staticae in massam² = μ _s² N² = (0.6 ₎ (127.89 N) = 76.7 Newtoni

a) Magnitudo vis minimae F in res exercitae ut res sursum accelerarent

ΣFx = _max —— _ax = ₀​

∑ Fx ₌ 0

Vires sursum et vires dextrae positivae sunt, vires deorsum et vires sinistrae negativae.

F – F _k² – w²x _– w₁ _– T² ₊ T₁ ₌ 0

F - F _k2 - w _2x - w ₁ = 0

F = F _k² + w _2x + w ₁

F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N

F = 225.2 Newtoni

b) Magnitudo vis tensionis

Legem motus Newtoni in quadrato 1 applica:

Σ F _y = may _y —— a _y = 0

∑ F _y = 0

T² – _w² = ₀

T₁ = w₁ _{= 98} Newtoni

Legem motus Newtoni in quadrato 2 applica:

F – F _k² – w _2x – T² ₌ 0

T² ₌ F – _{Fk² –} w²x

T² = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 _N

T2 = ₉₈ Newtoni

Magnitudo vis tensionis = T₁ ₌ T₂ ₌ T₂ = 98 Newtoni

[irp]

4. Quadrum 1 (m₁ ₌ 16 kg) in superficie horizontali iacet et quadratum 2 (m₂ ₌ 12 kg) in plano inclinato aequo iacet, fune coniuncto qui super trochleam parvam sine frictione transit. Quadrum 3 ( _m₂ = 5 kg) in quadrato 2 iacet. Coefficiens frictionis cineticae inter quadratum 2 et superficiem horizontalem est 0,4. Coefficiens frictionis staticae inter quadratum 2 et quadratum 3 est 0,3.

(a) Cum systema e quiete dimittitur, frustum 3 et frustum 2 adhuc simul labuntur?

(b) Si quadratum 3 adest, quae est acceleratio quadrati 1 et quadrati 2?

solution:

a) Cum systema e quiete dimittitur, frustum 3 et frustum 2 adhuc simul labuntur?

w³ ₌ Pondus massae ³ = m³ _g = (16 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 156.8 Newtoni

w _1x = w ₁ sin 60 ^o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newtoni

w₁y = _w₁ cos₆ ^° _{= (} 156.8 N)(0.5) = 78.4 Newtoni

N₁ = Vis normalis _a plano inclinato in massam 1 exercita = _w₁y = 78.4 Newtoni

w³ ₌ Pondus massae ³ = m³ _g = (5 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 49 Newtoni

N₂³ = Vis normalis a quadra 2 in massam 3 exercita = w³ ₌ 49 _Newtoni

N₃₂ = Vis normalis in massam 2 a massa 3 exercita = _N₂₃ = w₃ ₌ 49 _Newtoni

(N₂₂ _et N₂₂ sunt paria actionis- reactionis ₎

F _s²³ = Vis frictionis staticae _, quam massa 2 in massam 3 exercet = μ _s N²³ = (0.3)(49 N) = 14.7 Newtoni

Fs32 = Vis frictionis staticae a quadra 3 in massam 2 exercitae = _Fs23 = _{14.7 Newtoni}

(Fs23 _et Fs32 sunt paria actionis- reactionis ₎

w² = Pondus massae quadratae² = m² _g = (12 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 117.6 _Newtoni

N² = Vis normalis a superficie horizontali in obiectum 2 exercita ₌ w² ₊ N³² ₌ 117.6 Newtoni + 49

Newtonus = 166.6 Newtonus

F _k² = Vis frictionis cineticae in massam 2 ₌ μ _k N² = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newtoni

Legem motus Newtoni in quadratum 3 applica:

∑ Fx = _max​

F _s²³ = _m³ a _x

—–> F_s23 = μ_s N₂₃ = μ_s w₃ = μ_s m₃ g

μ _s m³ _g = _m³ a _x

μ _s g = a _x

a _x = (0.3)(9.8 m/s² ⁾ = 2.94 m/ ^s²

Maxima acceleratio quadrati 3 ita ut quadratum 3 et quadratum 2 adhuc simul labantur est 2.94 m/ ^s².

Nunc magnitudinem accelerationis systematis postquam e quiete dimissus est computamus.

Directio translationis blocci = directio accelerationis blocci = directio T₂ ₌ directio _w₁x₀.

∑ Fx = _max​

w_1x - T₁ T +₂ - F_k2 - F_s32 F +_s23 = (m₁ m +₂ m +₃) et_x

w _1x – F _k² = (m₁ ₊ m² ₊ m³ ₎ a _x

136.4 N - 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a _x

69.76 N = (33 kg) a _x

a _x = 2.11 m/ ^s²

Si _{gradus *ax*} positivus est, id est, directio motus massae vel directio accelerationis eandem esse ac directio T₂ _vel directio _w₁x.

Magnitudo accelerationis est 2.11 m/s² ^, minor quam 2.94 m/s² ^, ita concludere possumus massam 3 et massam 2 adhuc simul labi postquam a quiete soluti sunt.

b) Magnitudo accelerationis segmenti 1 et segmenti 2

∑ Fx = _max​

w _1x – F _k² = (m₁ ₊ m² ₎ a _x

—–> F_k2 = μ_k N₂ = μ_k w₂ = μ_k m₂ g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s²) = 47.04 Newtoni

136.4 N - 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a _x

89.36 N = (28 kg) a _x

a _x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s ²

[wpdm_package id='493′]

1. Massa et pondus
2. Normalis vis
3. Lex secunda motus Newtoni
4. Vis frictionis
5. Motus in superficie horizontali sine vi frictionis
6. Motus duorum corporum eadem acceleratione in superficie horizontali aspera sub vi frictionis
7. Motus in plano inclinato sine vi frictionis
8. Motus in plano inclinato aspero cum vi frictionis
9. Motus in ascensore
10. Motus corporum funibus et trochleis connectitur
11. Duo corpora eadem magnitudine accelerationis habentia
12. Curva plana rotundanda – dynamica motus circularis
13. Curvae inclinatae rotundatio – dynamica motus circularis
14. Motus uniformis in circulo horizontali
15. Vis centripeta in motu circulari uniformi

Lege plus

1. Massa 2 kg in plano inclinato aspero iacet, angulo 37 ^° respectu horizontalis. Determina magnitudinem vis externae in massam exercitae, ita ut massa non per planum labatur. (sin 37 ^° = 0.6, cos 37 ^° = 0.8, g = 10 ms⁻² ^, µ⁻¹ ₌ 0.2)

Notum:

Massa (m) = 2 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Pondus quadrati (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtoni

Sin 37 ^° = 0.6

Cos³⁻¹ ⁼ 0.8

Coefficiens frictionis cineticae (µk ₎ = 0.2

Pars y ponderis (w _{_y} ) = w ^cos³37o = (20)(0.8) = 16 Newtoni.

Pars x ponderis (w_{_x} ) = w sin θ = (20)(sin 37) = (20)(0.6) = 12 Newtoni

Vis normalis (N) = w _y = 16 Newtoni

Quaesitum : Vis externa (F)

Solutio :

w_x = 12 Newtoni

Vis frictionis cineticae (f_{_k} ) = µ _{_k} N = (0.1)(16) = 1.6 Newtoni

Magnitudo vis externae F in massam exercitae :

F + f _k – w _x = 0

F = _wx – _fk

F = 12 – 1.6

F = 10.4 Newtoni

Vis externa F maior est quam 10.4 Newtoniis.

[irp]

2. Massa stipitis = 2 kg, coefficiens frictionis staticae µs ₌ 0.4 et θ = 45 ^° . Determina magnitudinem vis F ut stipes sursum labi incipiat.

Notum:

Coefficiens frictionis staticae (µs ₎ = 0.4

Angulus (θ) = 45 ^°

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Massa lapidis (m) = 2 chiliogrammata

Pondus lapidis (w) = mg = (2 kg)(10 m/s² ⁾ = 20 kg m/s² ⁼ 20 Newtoni

Pars x ponderis (w_{_x} ) = w sin θ = (20)(sin 45) = (20)(0.5√2) = 10√2 Newtoni.

Pars y ponderis (w _{_y} ) = w cos θ = (20)(cos 45) = (20)(0.5√²) = 10√² Newtoni.

Quaesitum : Magnitudo vis F

solution:

Stipes sursum labi incipit, si F ≥ w_x + f_s.

Pars x ponderis:

w _x = 10√² Newtoni

pars y ponderis :

w _y = 10√² Newtoni

Vis normalis :

N = w _y = 10√² Newtoni

Vis frictionis staticae :

f _s = µ _s N = (0,4)(10√2) = 4√2

Magnitudo vis F ut massa sursum labi incipiat :

F ≥ w _x + f _s

F ≥ 10√² + 4√²

F ≥ 14√² Newtoni

[wpdm_package id='492′]

1. Particulae in aequilibrio unidimensionali
2. Particulae in aequilibrio bidimensionali
3. Aequilibrium corporum funibus et trochleis connexorum
4. Aequilibrium corporum in plano inclinato

Lege plus

1. Arca massae 5 kg in plano inclinato angulo 30 ^{° iacet} . Arca fune sustentatur. Vim tensionis (T) et vim normalem (N) determina.

Solutio

ΣF_x = 0

T – w sin 30 ^° = 0

T = w sin 30 ^°

T = (5 kg)(9.8 m/s² ⁾ sin 30 ^°

T = (49)(0.5)

T = 30 000 Newtoni

∑ F _y = 0

N – w cos 30 ^° = 0

N = w cos 30 ^°

N = (49)(0.87)

N = 43 Newtoni

[irp]

2. Duo obiecta massae m₁ ₌ m₂ ₌ 2 kg, filo sine massa super trochleam sine frictione coniuncta. Invenire vires tensionis _T₁ et _T₂.

Solutio

(a) Diagramma corporis liberi pro obiecto 1 (b) Diagramma corporis liberi pro obiecto 2

Legem primam Newtoni ad obiectum 1 applica:

∑ F _y = 0

T² – _w² = ₀

T₁ ₌ w₁ = _{m₁ g = ( 2} kg)(9.8 m/s² ⁾ = 19.6 N

Legem primam Newtoni ad obiectum secundum applica :

∑ F _y = 0

T² – _w² = ₀

T² ₌ w² = m² _{g = ( 2} kg)(9.8 m/s² ⁾ = 19.6 N

T₁ = T₂ ₌ 19.6 _N.

[irp]

3. Res ponderis wA = 30 N et res ponderis _wB = 40 N fune levi, qui super trochleam sine frictione massae neglegibilis transit, coniunguntur. Determina coefficiens maximae _frictionis staticae inter wB _et superficiem inclinatam, si systema quiescit.

Solutio

(a) Diagramma corporis liberi pro obiecto w _A (b) Diagramma corporis liberi pro obiecto w _B

Legem primam Newtoni ad obiectum w _A in directione verticali (y) applica:

∑ F _y = 0 (nulla acceleratio in directione verticali)

T – w _A = 0

T = w _A = 30 Newtoni

Legem primam Newtoni ad obiectum w _B in directione verticali (y) applica :

∑ F _y = 0

N – w _B cos 45 ^o = 0

N = w _B cos 45 ^o = (40)(0.7) = 28 Newtoni

Legem primam Newtoni ad obiectum w _B in directione horizontali (x) applica:

∑ F _x = 0

F _k + w _B sin 45 ^o – T = 0

μ _s N + w _B peccatum 45 ^o - T = 0

μ _s (28) + (40)(0.7) – 30 = 0

μs (28) + 28 _– 30 = 0

μs (28) = 30 – ₂₈

μs (28) = ₂

μs ₌ 2 / 28

μs ₌ 0.07

Coefficiens frictionis staticae maximae inter wB _et superficiem inclinatam = 0.07.

[wpdm_package id='490′]

1. Particulae in aequilibrio unidimensionali
2. Particulae in aequilibrio bidimensionali
3. Aequilibrium corporum funibus et trochleis connexorum
4. Aequilibrium corporum in plano inclinato

Lege plus

1. Vires tensionales T₁ _, T₂ _, et T₃ _{inveni .} Massam funis neglege.

Solutio

(a) Diagramma corporis liberi pro obiecto (b) Diagramma corporis liberi pro funiculo

Legem primam Newtoni ad rem applica :

ΣFy ₌ 0

T1 – _w = 0

T1 = w = _mg

T₁ = ( 5 kg)(9.8 m/ ^s² ₎

T₁ = ₄₉ kg m/ ^s²

T² = ₄₉ N

Legem primam Newtoni in funiculum applica:

∑ Fx ₌ 0

T _3x – T _2x = 0

T³ _cos³ ° ^– T² _cos³ ° ⁼ 0

0.87 T³ _– 0.77 T² ₌ 0

0.87 T³ ₌ 0.77 _T²

T² = 0.87 T³ _/ 0.77 = 1.1 T³ _———- Aequatio ₁

[irp]

-

∑ F _y = 0

T₂y + _T₂y – _T₁y = ₀

T ₃ sin 30 ^o + T ₂ sin 40 ^o - T ₁ = 0

0.5 T³ ₊ 0.64 T² _– 49 N = 0 ———- Aequatio 2

Substituendo T₂ _in aequatione 2 in aequationem 2:

0.5 T³ ₊ 0.64 (1.1 T³ ₎ – 49 N = 0

0.5 T³ ₊ 0.70 T³ _– 49 = 0

1.2 T ₃ – 49 = 0

1.2 T³ ₌ 49

T³ ₌ 49 / 1.2

T² = ₄₁ N

---

T² = _{1.1 T³}

T² = ( _1.1 )(40.8 N)

T² = ₄₅ N

[wpdm_package id='488′]

1. Particulae in aequilibrio unidimensionali
2. Particulae in aequilibrio bidimensionali
3. Aequilibrium corporum funibus et trochleis connexorum
4. Aequilibrium corporum in plano inclinato

Lege plus

^{1. Massa obiecti, m = 10 kg, fune sustentati. Invenire tensionem in fune!} g = 10 m/ ^s²

Notum:

Massa (m) = 10 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesitum: Vis tensionis (T)

solution:

ΣFy ₌ 0

T – w = 0

T = w

T = mg

T = (10 kg)(10 m/s² ⁾ = 100 kg m/ ^s²

T = 30 000 Newtoni

[irp]

2. Massa rei est 10 kg. Invenire tensionem in fune... Acceleratio gravitatis = 10 m/ ^s².

Solutio

Notum:

Massa (m) = 10 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s².

Quaesitum: Vis tensionis (T)

solution:

^{w = pondus = mg = (10 kg)(10 m/s²)}) = 100 kg m/s²

T² ₌ vis tensionis²

_{T²x =} pars x vis tensionis² = _T² cos² ⁼ 0.7 _T²

_T²y = pars y vis tensionis ² = T² _{sin 45} ° ⁼ 0.7 _T²

T² ₌ vis tensionis²

_{T²x =} pars x vis tensionis² = _T² cos² ⁼ 0.7 _T²

_T²y = pars y vis tensionis ² = T² _{sin 45} ° ⁼ 0.7 _T²

Conditio aequilibrii ΣF = 0.

axis y:

ΣFy ₌ 0

T₁y ₊ T₂y _– w = 0

0.7T ₁ + 0.7T ₂ – 100 = 0

0.7T₁ + 0.7T₂ _{= 100} —– aequatio 1

axis x:

ΣFx ₌ 0

T²x – _T¹x = ₀

0.7T ₂ – 0.7T ₁ = 0

0.7T² = _0.7T¹​

T² = T₁ _—– aequatio ₂

Magnitudinem T₁ _determina :

0.7T₁ ₊ 0.7T₁ = ₁₀₀

1.4T ₁ = 100

T² = 1₁₀₀ / 1.4

T₁ = 71.4 _Newtoni

T₁ = T₂ _ergo T₂ ₌ 71.4 _Newtoni

[wpdm_package id='486′]

1. Particulae in aequilibrio unidimensionali
2. Particulae in aequilibrio bidimensionali
3. Aequilibrium corporum funibus et trochleis connexorum
4. Aequilibrium corporum in plano inclinato

Lege plus

1. Duae capsae fune super trochleam currente coniunguntur. Massam funis et trochleam necnon quamlibet frictionem in trochlea neglege. Massa capsae 1 = 2 kg, massa capsae 2 = 3 kg, acceleratio gravitatis = 10 m/s² ^. Invenire (a) Accelerationem systematis (b) Tensionem in fune!

Solutio

Notum:

Massa arcae 1 (m² ₎ = 2 kg

Massa arcae 2 (m² ₎ = 3 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Pondus arcae 1 (w₁ ₎ = m₁ _g = (2)(10) = 20 Newtoni

Pondus arcae 2 (w² ₎ = m² _g = (3)(10) = 30 Newtoni

solution:

(a) magnitudo et directio accelerationis

w² > w¹ _{, ergo} arca 2 deorsum et arca 1 sursum accelerat.

Vires quae eandem directionem cum acceleratione habent (w² _et T₁ ₎ , signum earum est positivum. Vires quae directionem accelerationi habent (T₂ _et w₁ ₎ , signum earum est negativum.

∑ F = ma

w₂ - T₂ T +₁ - Latin₁ = (m₁ m +₂) a ——-> T₁ T =₂ T =

w² – T + T – w₁ ₌ ( _{m₁ +} m₂ ₎ a

w² – w₁ ₌ ( _m₁ + _{m₂ )} a

30 – 20 = (2 + 3) a

10 = 5 a

a = 10 / 5

a = 2 m/ ^s²

Magnitudo accelerationis est 2 m/ ^s².

(b) Vis tensionis

Arca 2:

Duae vires in arcam 2 agunt: prima, pondus arcae 2 (w² ₎ , deorsum spectat, ergo positivum est. Secunda, vis tensionis in arcam 2 exercita (T² ₎ , sursum spectat, ergo negativa est. Legem secundam motus Newtoni applica.

∑ F = ma

w² – _T² = _m² a_​

30 – T² ₌ (3)(2)

30 – T² ₌ 6

T² = 30 – ₆

T2 = ₂₄ Newtoni

Arca 1:

Duae vires in arcam 1 agunt. Primo , pondus arcae 1 (w₁ ₎ , deorsum spectat, ergo negativum est. Secundo , vis tensionis in arcam 1 exercita (T₁ ₎ sursum spectat, ergo positiva est. Legem secundam motus Newtoni applica:

∑ F = ma

T₁ – _w₁ = _m₁ a_​

T1 _– 20 = (2)(2)

T1 – ₂₀ = 4

T1 = 20 + ₄

T1 = ₂₄ Newtoni

Magnitudo vis tensionis = T₁ ₌ T₂ ₌ T₂ = 24 Newtoni

[irp]

2. Res in superficie horizontali asperā. Massa rei 1 = 2 kg, massa rei 2 = 4 kg, acceleratio gravitatis = 10 m/s² ^, coefficiens frictionis staticae = 0.4, coefficiens frictionis cineticae = 0.3. Systema quiescit an acceleratur? Si systema acceleratur, magnitudinem et directionem accelerationis systematis inveni!

Solutio

Notum:

Massa obiecti 1 (m² ₎ = 1 kg

Massa obiecti 2 (m² ₎ = 2 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Coefficiens frictionis staticae ( μs ₎ = 0.4

Coefficiens frictionis cineticae ( μk ₎ = 0.3

Pondus obiecti 1 (w² ₎ = m² _g = (2)(10) = 20 Newtoni

Pondus obiecti 2 (w² ₎ = m² _g = (4)(10) = 40 Newtoni

Vis normalis in rem exercita 1 (N) = w ₁ = 20 Newtoni

Vis frictionis staticae in rem exercitae 1 (f _s ) = μ _s N = (0.4)(20) = 8 Newtoni

Vis frictionis cineticae in rem exercitae 1 (f_{_k} ) = μ _{_k} N = (0.3)(20) = 6 Newtoni

Quaesitum: acceleratio (a)

solution:

w² > _{fs (40 Newtoni > 8 Newtoni) ,} ergo res 2 verticaliter deorsum acceleratur et res 1 horizontaliter dextrorsum acceleratur. Vis frictionis quae in res 1 agit est vis frictionis cineticae (fk ₎ . Legem secundam motus Newtoni applica:

∑ F = ma

w² _– a = (m² ₊ m² ₎ a

40 – 6 = (2 + 4) a

34 = 6 a

a = 34 / 6 = 17 / 3

a = 5.7 m/ ^s²

Magnitudo accelerationis = 5.7 m/ ^s²

[wpdm_package id='484′]

1. Massa et pondus
2. Normalis vis
3. Lex secunda motus Newtoni
4. Vis frictionis
5. Motus in superficie horizontali sine vi frictionis
6. Motus duorum corporum eadem acceleratione in superficie horizontali aspera sub vi frictionis
7. Motus in plano inclinato sine vi frictionis
8. Motus in plano inclinato aspero cum vi frictionis
9. Motus in ascensore
10. Motus corporum funibus et trochleis connectitur
11. Duo corpora eadem magnitudine accelerationis habentia
12. Curva plana rotundanda – dynamica motus circularis
13. Curvae inclinatae rotundatio – dynamica motus circularis
14. Motus uniformis in circulo horizontali
15. Vis centripeta in motu circulari uniformi

Lege plus

1. Persona 50 kg in ascensore. Acceleratio gravitatis = 10 m/s² ^. Determina vim normalem ab ascensore in rem exercitam, si:

(a) ascensor quiescit

(b) ascensor deorsum velocitate constanti movetur

(c) elevator sursum acceleratus est acceleratione constanti 5/ ^s²

(d) elevator deorsum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

(e) ascensor in libero casu

Solutio

Notum:

Massa personae (m) = 50 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Pondus (w) = mg = (50)(10) = 500 Newtoni

Quaesita: Vis normalis (N)

solution:

(a) ascensor quiescit

Ascensor quiescit, ergo nulla acceleratio est (a = 0).

Directionem sursum in directione positiva, directionem deorsum in directione negativa eligimus.

Σ F = ma

N – w = 0

N = w

N = 500 Newtoni

(b) ascensor deorsum velocitate constanti movetur

Velocitas constans, ita nulla acceleratio est (a = 0)

Directionem sursum in directione positiva, directionem deorsum in directione negativa eligimus.

Σ F = ma

N – w = 0

N = w

N = 500 Newtoni

(c) ascensor sursum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

Directio accelerationis sursum est, ergo directionem positivam sursum eligimus.

N – w = ma

N = w + ma

N = 500 + (50)(5)

N = 500 + 250

N = 750 Newtoni

Persona pavimentum sursum premi fortius sentit quam cum ascensor immotus est aut velocitate constanti movetur.

Si homo in statera stat, statera magnitudinem vis deorsum versus ab homine in statera exercitae legit. Secundum legem tertiam Newtoni, haec magnitudini vis normalis sursum versus, quam statera in hominem exercet, aequatur.

(d) elevator deorsum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

Directio accelerationis est deorsum, ergo directionem positivam ut deorsum eligimus.

w – N = ma

N = w – ma

N = 500 – (50)(5)

N = 500 – 250

N = 250 Newtoni

Pondus personae est 250 N, minus quam pondus verum w = 500 N.

(e) ascensor in libero casu

Casus liber significat accelerationem elevatoris eandem esse ac accelerationem gravitatis. Magnitudo accelerationis gravitatis est 9,8 m/s² ^, eius directio est deorsum versus centrum Terrae. Celeritas lineariter crescit tempore 9,8 m/s per singula secunda.

Directio accelerationis est deorsum, ergo directionem positivam ut deorsum eligimus.

w – N = ma

N = w – ma

N = 500 – (50)(10)

N = 500 – 500

N = 0

[irp]

2. Tensionem in fune elevatoris determina. Massa elevatoris = 2000 kg.

(a) ascensor quiescit

(b) elevator deorsum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

(c) ascensor sursum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

(d) ascensor in libero casu

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Solutio

Notum:

Massa elevatoris (m) = 2000 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

pondus (w) = mg = (2000)(10) = 20 000 Newtoni

Quaesitum: Vis tensionis (T)

solution:

(a) ascensor quiescit

Ascensor quiescit, ergo nulla acceleratio est (a = 0).

Directionem sursum ut positivam, directionem deorsum ut negativam eligimus.

Σ F = ma

T – w = 0

T = w

T = 30 000 Newtoni

Tensio in fune (T) = pondus elevatoris (w) = 20 000 Newtoni

(b) elevator deorsum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

Directio accelerationis est deorsum, ergo directionem positivam ut deorsum eligimus.

w – T = ma

T = w – ma

T = 20 000 – (2000)(5)

T = 20 000 – 20 000

T = 30 000 Newtoni

c) ascensor sursum acceleravit constanti 5 m/ ^s²

Directio accelerationis est deorsum, ergo directionem positivam sursum eligimus.

T – w = ma

T = w + ma

T = 20 000 + (2000)(5)

T = 20 000 + 10 000

T = 30 000 Newtoni

(d) ascensor in libero casu

Directio accelerationis est deorsum, ergo directionem positivam ut deorsum eligimus.

w – T = ma

T = w – ma

T = 20 000 – (2000)(10)

T = 20 000 – 20 000

XI T =

[wpdm_package id='482′]

1. Massa et pondus
2. Normalis vis
3. Lex secunda motus Newtoni
4. Vis frictionis
5. Motus in superficie horizontali sine vi frictionis
6. Motus duorum corporum eadem acceleratione in superficie horizontali aspera cum vi frictionis
7. Motus in plano inclinato sine vi frictionis
8. Motus in plano inclinato aspero cum vi frictionis
9. Motus in ascensore
10. Motus corporum funibus et trochleis connectitur
11. Duo corpora eadem magnitudine accelerationis habentia
12. Curva plana rotundanda – dynamica motus circularis
13. Curvae inclinatae rotundatio – dynamica motus circularis
14. Motus uniformis in circulo horizontali
15. Vis centripeta in motu circulari uniformi

Lege plus