Motus casus liberi – problemata et solutiones

Motus casus liberi – problemata et solutiones

1. Lapis libere cadit ex altitudine 45 metrorum. Si acceleratio gravitatis est 10 ms⁻² ^, quae est celeritas lapidis cum terram attingit?

Notum:

Altitudo (h) = 45 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesita: Velocitas finalis lapidis cum terram tangit ( _vt )

solution:

Aequatio motus casus liberi :

v _{t² =} ² gh

Velocitas finalis lapidis:

v _{t² =} ² (10)(45) = 900

vt = √900 ₌ 30 m/ ^s²

2. Res libere ex alto cadit sine velocitate initiali. Res terram post 2 secundas attingit. Acceleratio gravitatis est 10 ms⁻² ^. Altitudinem determina.

Notum:

Intervallum temporis (t) = 2 secunda

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Altitudo desiderata (h)

solution:

Aequatio motus casus liberi:

h = ½ ^gt²

altitudinis:

h = ½ (10)(2) ² = (5)(4) = 20 metra

3. Res 2 kg ex altitudine 20 metrorum supra terram libere cadit. Quantum temporis intervallum rei in aere commoratur? Acceleratio gravitatis est 10 ms ^-2

Notum:

Altitudo (h) = 20 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Intervallum temporis desideratum ( t)

solution:

Aequatio motus casus liberi:

h = ½ ^gt²

Intervallum temporis:

20 = ½ (10)( ^t² )

20 = (5)( ^t² )

20/5 = ^t²

4 = ^t²

t = √4

t = 2 secunda

4. Duo obiecta, obiectum 1 et obiectum 2, ex altitudine h₁ et h₂ simul libere cadunt _. Si _h₁ : _h₂ = ₂ : 1, quae est proportio intervalli temporis ab obiecto 1 ad obiectum 2?

Notum:

Altitudo obiecti 1 (h² ₎ = 2

Altitudo obiecti 2 (h² ₎ = 1

Acceleratio gravitatis = g

Quaesitum: t ₁ : t ₂

solution:

Obiectum 1:

h ₁ = 1/2 gt _​​1 ²

2 = 1/2 = ₁ ²

(2)(2) = gt ₁ ²

4 = gt ₁ ²

^{4 /} g = _t²²

t₁ = _√⁴ /g

Obiectum 2:

h² ⁼ 1/2 _g²²​

1 = 1/2 = ₂ ²

(2)(1) = gt ₂ ²

2 = gt ₂ ²

^{2 /} g = _t²²

t² ₌ √²/g

Proportio intervallorum temporis:

t1 : _t2​

√4/g : √2/g

(√4/g) ^² : (√2/g) ^²

4/g : 2/g

4: 2

2: 1

5. Res ex altitudine h supra terram demissa est. Velocitas finalis cum res terram tangit est 10 m/s. Quod est intervallum temporis ad dimidiam h supra terram perveniendum? Acceleratio gravitatis est 10 m/ ^s².

Notum:

Velocitas finalis (vt ₎ = 10 m/s

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesitum: Intervallum temporis ad dimidiam horam supra terram perveniendum

solution:

Altitudo h:

v _{t² =} ² gh

10² = ² (10) h

100 = 20 horae

h = 100 / 20

h = 5 metra

Altitudo 1/2 h = 1/2 (5 metra) = 2.5 metra. Intervallum temporis necessarium ad 2.5 metra supra terram perveniendum:

h = 1/2 ^gt²

2.5 = 1/2 (10) ^t²

2.5 = 5 ^t²

t² = 2.5 / ⁵ = 0.5 = (0.25)(2)

t = √(0.25)(2) = 0.5√² = 1/2 √² secunda

6.

Motus casus liberi cocois ( figura 1 ) et motus pilae verticaliter sursum ad punctum altissimum t a discipulo iactae (figura 2). Determina genus utriusque motus.

solution:

Figura 1 = motus casus liberi = acceleratio

Figura 2 = motus verticalis = retardatio

Responsum rectum est A.

7. Lapis libere ex aedificio cadit. Intervallum temporis quod lapidi requiritur ad terram perveniendum est 3 secunda et acceleratio gravitatis est 10 m/s² ^. Determina altitudinem aedificii.

A. 15 m

B. 20 m

Circa 30 metra

D. 45 m

Notum:

Intervallum temporis (t) = 3 secunda

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms ^-2

Altitudo aedificii desiderata (h)

solution:

Nota: intervallum temporis (t) et acceleratio gravitatis (g), desiderata: altitudo (h), ergo adhibe aequationem motus casus liberi: h = ½ ^gt²

h = ½ (10)(3)

h = (5)(3)

h = 15 metra

Responsum rectum est A.

8. Fructus libere ex arbore sua cadit ad altitudinem 12 metrorum supra terram. Si acceleratio gravitatis est g = 10 m/s² ^et frictio aeris neglecta est, tum determina altitudinem fructus supra terram post unum secundum.

A. 7 m

B. 6 m

Circa 5 metra

D. 4 m

Notum:

Altitudo arboris (h) = 12 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Intervallum temporis (t) = 1 secunda

Quaesitum: Altitudo fructus supra terram

solution:

Post unum secundum, fructus libere cadit usque ad:

h = ½ gt ² = ½ (10)(1) ² = (5)(1) = 5 metra

Altitudo fructus supra terram post unum secundum:

Duodecim metra – quinque metra = septem metra

Responsum rectum est A.

1. Quid est motus casus liberi?

   Responsum : Motus casus liberi motum obiecti sub sola vi gravitatis refertur, nullis aliis viribus (ut resistentia aeris) in id agentibus.

2. Quomodo acceleratio gravitatis, saepe repraesentata ut $g$, rem libere cadentem afficere?

   Responsum : Omnia obiecta in casione libera prope superficiem Telluris accelerationem constantem propter gravitatem, $g$ , patiuntur , quae est circiter 9.81 m/s² ^deorsum . Hoc significat velocitatem obiecti hac quantitate pro quolibet secundo cadentis liberae crescere.

3. Si resistentia aeris neglegenda est, quomodo massa obiecti accelerationem eius casus liberi afficit?

   Responsum : Absente resistentia aeris, massa obiecti accelerationem casus liberi non afficit. Omnia obiecta, cuiuscumque massae sint, cadent eadem acceleratione gravitatis, $g$.

4. Cur astronautae intra Stationem Spatialem Internationalem (ISS) fluitare videntur si gravitas ibi adhuc adest?

   Responsum : Astronautae intra Stationem Spatialem Internationalem (ISS) non propterea quod gravitas nulla sit, sed quia et astronautae et ISS in continuo statu liberae cadentis circa Terram sunt. Eadem fere celeritate qua ISS cadunt, sensum absenceis ponderis creantes.

5. Quid interest inter pondus et massam in contextu casus liberi?

   Responsum : Massa est mensura quantitatis materiae in re et constans manet, ubicumque sita sit. Pondus, contra, est vis in rem exercita propter gravitatem. Variat secundum campum gravitatis. In casu libero, res sine pondere sentitur quia nulla vis normalis in eam agit, sed massa eius immutata manet.

6. Si res sursum iacitur, quid velocitati eius accidit dum ascendit? Et quid fit cum rursus deorsum cadere incipit?

   Responsum : Cum res sursum iacitur, sub influxu gravitatis tardat. Velocitas eius decrescit donec in summo puncto nulla fiat. Dum deorsum cadere incipit, propter gravitatem accelerat, velocitatem suam deorsum augens.

7. Quid est velocitas terminalis in contextu casus liberi?

   Responsum : Velocitas terminalis est velocitas maxima constans quam obiectum cadens attingit cum vis gravitatis deorsum vi resistentiae aeris sursum compensatur. Hoc loco, obiectum non iam accelerat et pergit cadere celeritate constanti.

8. Quomodo altitudo ex qua res cadit tempus quod ad terram pervenit afficit?

   Responsum : Tempus quod obiectum requirit ut terram attingat, proportionale est radici quadratae altitudinis ex qua cadit (si nulla resistentia aeris est). Obiectum ex maiore altitudine demissum diutius ad terram perveniet quam illud ex minore altitudine demissum.

9. Quid accidit energiae potentialis obiecti cum libere sub gravitate cadit?

   Responsum : Cum res libere sub gravitate cadit, energia eius potentialis (relativa ad terram) decrescit. Haec diminutio energiae potentialis in energiam cineticam convertitur, quod celeritatem rei auget.

10. Si duo obiecta diversarum formarum sed eiusdem massae ex eadem altitudine in vacuo demittuntur, quae primum terram tanget?

Responsum : In vacuo, ubi nulla resistentia aeris est, ambo obiecta terram simul tangent. Forma earum non referet, quia sola gravitas in ea agit, et massae eorum eaedem sunt.