समान त्वरण परिमाण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और समाधान

1. दो द्रव्यमान m ₁= 2 kg और m _{2 = 5 kg एक झुके हुए तल पर रखे हैं और एक डोरी से जुड़े हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। m}₁ और झुके हुए तल के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है और m _{2 और झुके हुए तल के बीच}गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है।

(a) उनका त्वरण ज्ञात कीजिए।

(ख) तनाव बल ज्ञात कीजिए।

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 1

ज्ञात :

द्रव्यमान 1 (m ₁) = 2 kg

द्रव्यमान 2 (m ₂) = 4 kg

_{m 1} और झुके हुए तल के बीच गतिज घर्षण गुणांक (μ _k1) = 0.2

_{m 2} और झुके हुए तल के बीच गतिज घर्षण गुणांक (μ _k2) = 0.1

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 9.8 m/ ^s²

a) त्वरण का परिमाण और दिशा

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 2

w ₁= भार 1 = m ₁ g = (2 kg)(9.8 m/s ² ) = 19.6 न्यूटन

w _1x= w ₁sin 30 ^o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 न्यूटन

w _1y= w ₁cos 30 ^o = (19.6 N)(0.87) = 17 न्यूटन

N ₁= m _{1 पर}लगने वाला अभिलंब बल = w _1y= 17 न्यूटन

F _{k1 = m}₁ पर गतिज घर्षण बल = μ _k1N ₁= (0.2)(17 N) = 3.4 न्यूटन

---

w ₂= भार 2 = m ₂g = (4 kg)(9.8 m/s ² ) = 39.2 न्यूटन

w _2x= w ₂पाप 60 ^o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 न्यूटन

w _2y= w ₂ cos 60 ^o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 न्यूटन

N _{2 = m}₂पर लगने वाला अभिलंब बल = w _2y= 19.6 न्यूटन

F _{k2 = m}₂पर गतिज घर्षण बल = μ _k2N ₂= (0.1)(19.6 N) = 1.96 न्यूटन

---

त्वरण का परिमाण:

∑ F _x= ma _x

w _2x> w _{1x अतः त्वरण की दिशा w}_2xकी दिशा के समान है ।

त्वरण की दिशा में लगने वाले बल धनात्मक होते हैं और त्वरण की विपरीत दिशा में लगने वाले बल ऋणात्मक होते हैं।

w_2x- एफ_k2 - टी₂ + टी₁ - डब्ल्यू_1x - एफ_k1= (मी₁ + M₂) करने के लिए_x

w _2x– F _k2– w _1x– F _k1= (m ₁+ m ₂) a _x

34.1 एन - 1.96 एन - 9.8 एन - 3.4 एन = (2 किग्रा + 4 किग्रा) ए _एक्स

18.94 N = (6 kg) a _x

a _x = 18.94 N : 6 kg

a _x = 3.16 m/s ²

त्वरण का परिमाण = 3.16 m/s² ^। त्वरण की दिशा = T की दिशा ₁= w की दिशा _2x

b) तनाव बल का परिमाण

वस्तु 2 पर न्यूटन का द्वितीय नियम लागू करें:

w _2x– F _k2– T ₂= m ₂a _x

34.1 एन - 1.96 एन - टी ₂= (4 किग्रा)(3.16 मी/से ² )

32.14 N – T ₂= 12.64 N

T ₂= 32.14 N – 12.64 N = 19.5 न्यूटन

तनाव बल = T = T ₁= T ₂= 19.5 न्यूटन

[आईआरपी]

2. m ₁= 4 kg, m ₂= 2 kg. ज्ञात कीजिए (a) त्वरण का परिमाण और दिशा (b) m ₁और m _{2 को जोड़ने वाले तनाव बल का परिमाण}(c) पुली और छत को जोड़ने वाले तनाव बल का परिमाण।

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 3

उपाय

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 4

w ₁= m ₁g = (4 kg)(9.8 m/s ² ) = 39.2 न्यूटन

w ₂= m ₂g = (2 kg)(9.8 m/s ² ) = 19.6 न्यूटन

a) त्वरण का परिमाण और दिशा

∑ F _y= ma _y

w ₁> w ₂अतः वस्तु की दिशा भार 1 ( w ₁) की दिशा के समान है । त्वरण की दिशा के समान दिशा वाले बल धनात्मक होते हैं और त्वरण की दिशा के विपरीत दिशा वाले बल ऋणात्मक होते हैं।

w ₁– T ₁+ T ₂– w ₂= (m ₁+ m ₂) a _y

w ₁– w ₂= (m ₁+ m ₂) a _y

39.2 एन - 19.6 एन = (4 किग्रा + 2 किग्रा) प्रति _वर्ष

19.6 N = (6 kg) a _y

a _y= 19.6 N : 6 kg

a _y= 3.26 m/s ²

त्वरण का परिमाण = 3.26 मीटर/सेकंड² ^। त्वरण की दिशा = w की दिशा _।

b) m ₁और m _{2 को जोड़ने वाले तनाव बल का परिमाण}

m _{2 पर}न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें :

∑ F _y = ma _y

w ₁– T ₁= m ₁a _y

39.2 एन - टी ₁= (4 किग्रा)(3.26 मी/से ² )

39.2 N – T ₁= 13.04 N

टी ₁= 39.2 एन – 13.04 एन

T ₁= 26.16 न्यूटन

वस्तुओं को जोड़ने वाले तनाव बल का परिमाण = T = T ₁= T ₂= 26.16 न्यूटन

(ग) पुली और छत को जोड़ने वाले तनाव बल का परिमाण।

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 5 पुली स्थिर अवस्था में है:

∑ F _y = ma _y—— a _y= 0

∑ F _y= 0

ऊपर की ओर लगने वाले बल धनात्मक होते हैं, नीचे की ओर लगने वाले बल ऋणात्मक होते हैं:

T ₃– T ₁– T ₂= 0

T3 = _T1+ _T2

T ₁और T _{2 का}परिमाण समान है , T ₁= T ₂= T = 26.16 N :

T ₃= 2T = 2(26.16 N) = 52.32 न्यूटन

[आईआरपी]

3. ब्लॉक 1 (m ₁= 10 kg) और ब्लॉक 2 (m ₂= 15 kg) एक घर्षण रहित पुली पर डोरी से जुड़े हुए हैं। झुकाव वाली पुली पर ब्लॉक 2 और ब्लॉक 2 के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.6 है। झुकाव वाली पुली पर ब्लॉक 2 और ब्लॉक 2 के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.42 है। ज्ञात कीजिए (a) वस्तुओं पर लगने वाले न्यूनतम बल F का परिमाण जिससे वस्तुएं ऊपर की ओर त्वरित हों (b) तनाव बल का परिमाण ज्ञात कीजिए।

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 6

उपाय

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 7

w ₁= ब्लॉक का भार 1 = m ₁g = (10 kg)(9.8 m/s ² ) = 98 न्यूटन

w ₂= ब्लॉक का भार 2 = m ₂g = (15 kg)(9.8 m/s ² ) = 147 न्यूटन

w _2y= w ₂cos 30 ^o = (147 N)(0.87) = 127.89 न्यूटन

w _2x= w ₂पाप 30 ^o = (147 N)(0.5) = 73.5 न्यूटन

N ₂= ब्लॉक पर लगने वाला सामान्य बल 2 = w _2y= 127.89 न्यूटन

ब्लॉक पर लगने वाला गतिज घर्षण बल F _{k2 = μ}_k2N ₂= (0.42)(127.89 N) = 53.7 न्यूटन

ब्लॉक पर लगने वाले स्थैतिक घर्षण बल F _{s2 = μ}_s2N ₂= (0.6)(127.89 N) = 76.7 न्यूटन

a) वस्तुओं पर लगने वाले न्यूनतम बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए, जिसके कारण वस्तुएँ ऊपर की ओर त्वरित हुईं।

∑ F _x= ma _x—— a _x = 0

∑ F _x= 0

ऊपर की ओर और दाईं ओर लगने वाले बल धनात्मक होते हैं, जबकि नीचे की ओर और बाईं ओर लगने वाले बल ऋणात्मक होते हैं।

F – F _k2– w _2x– w ₁– T ₂+ T ₁= 0

एफ - एफ _के2- डब्ल्यू _{2एक्स}- डब्ल्यू ₁= 0

F = F _k2+ w _2x+ w ₁

F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N

F = 225.2 न्यूटन

b) तनाव बल का परिमाण

ब्लॉक 1 पर न्यूटन के गति के नियम को लागू करें:

∑ F _y= ma _y—— a _y= 0

∑ F _y= 0

T ₁– w ₁= 0

T ₁= w ₁= 98 न्यूटन

ब्लॉक 2 पर न्यूटन के गति के नियम को लागू करें:

F – F _k2– w _2x– T ₂= 0

T ₂= F – F _k2– w _2x

T ₂= 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N

T ₂= 98 न्यूटन

तनाव बल का परिमाण = T ₁= T ₂= T = 98 न्यूटन

[आईआरपी]

4. ब्लॉक 1 (16 किलोग्राम द्रव्यमान ₎एक क्षैतिज सतह पर रखा है और ब्लॉक 2 (12 किलोग्राम द्रव्यमान ₎एक चिकने झुके हुए तल पर रखा है। ये दोनों ब्लॉक एक डोरी से जुड़े हैं जो एक छोटी, घर्षण रहित पुली से होकर गुजरती है। ब्लॉक 3 (5 किलोग्राम द्रव्यमान ₎ब्लॉक 2 के ऊपर रखा है। ब्लॉक 2 और क्षैतिज सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0,4 है। ब्लॉक 2 और ब्लॉक 3 के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0,3 है ।

(a) जब सिस्टम को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है, तो क्या ब्लॉक 3 और ब्लॉक 2 अभी भी एक साथ फिसलते हैं?

(ख) यदि ब्लॉक 3 मौजूद है, तो ब्लॉक 1 और ब्लॉक 2 का त्वरण क्या है?

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 8

समाधान:

a) जब सिस्टम को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है, तो क्या ब्लॉक 3 और ब्लॉक 2 अभी भी एक साथ खिसकते हैं?

समान परिमाण के त्वरण वाले दो पिंड – न्यूटन के गति के नियम के अनुप्रयोग से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान 9

w ₁= ब्लॉक 1 का भार = m ₁g = (16 kg)(9.8 m/s ² ) = 156.8 न्यूटन

w _1x= w ₁ sin 60 ^o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 न्यूटन

w _1y= w ₁ cos 60 ^o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 न्यूटन

N ₁= झुके हुए तल द्वारा ब्लॉक 1 पर लगाया गया सामान्य बल = w _1y = 78.4 न्यूटन

w ₃= ब्लॉक 3 का भार = m ₃g = (5 kg)(9.8 m/s ² ) = 49 न्यूटन

_{ब्लॉक 2}द्वारा ब्लॉक 3 पर लगाया गया सामान्य बल = w ₃= 49 न्यूटन

ब्लॉक ₃द्वारा ब्लॉक 2 पर लगाया गया सामान्य बल = N ₂₃= w ₃= 49 न्यूटन

(एन ₂₃और एन ₃₂क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म हैं )

ब्लॉक ₂द्वारा ब्लॉक 3 पर लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल = μs _N23 ₌(0.3)(49 N) = 14.7 न्यूटन

ब्लॉक 3 द्वारा ब्लॉक 2 पर लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल F s ₃₂= F _s₂₃= 14.7 न्यूटन

(F _s23और F _s32क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म हैं )

w ₂= ब्लॉक का भार 2 = m ₂g = (12 kg)(9.8 m/s ² ) = 117.6 न्यूटन

N ₂= क्षैतिज सतह द्वारा वस्तु 2 पर लगाया गया सामान्य बल = w ₂+ N ₃₂= 117.6 न्यूटन + 49

न्यूटन = 166.6 न्यूटन

ब्लॉक पर लगने वाला गतिज घर्षण बल F _k2= μ _kN ₂= (0.4)(166.6 N) = 66.64 न्यूटन

ब्लॉक 3 पर न्यूटन के गति के नियम को लागू करें:

∑ F _x= ma _x

F _s23= m ₃a _x

—–> एफ_s23 = μ_sN₂₃= μ_sw₃= μ_sm₃g

μ _sm ₃g = m ₃a _x

μ _sg = a _x

a _x= (0.3)(9.8 m/s² ⁾ = 2.94 m/ ^s²

ब्लॉक 3 का अधिकतम त्वरण, जिससे ब्लॉक 3 और ब्लॉक 2 अभी भी एक साथ फिसलते रहें, 2.94 मीटर/सेकंड² ^है ।

अब हम विराम अवस्था से छोड़े जाने के बाद सिस्टम के त्वरण का परिमाण ज्ञात करते हैं।

ब्लॉक के विस्थापन की दिशा = ब्लॉक के त्वरण की दिशा = T _{2 की दिशा = w}_1xकी दिशा ।

∑ F _x= ma _x

w_1x - टी₁+ टी₂- एफ_k2 - एफ_s32 + एफ_s23 = (मी₁ + M₂ + M₃) करने के लिए_x

w _1x– F _k2= (m ₁+ m ₂+ m ₃) a _x

136.4 एन - 66.64 एन = (16 किग्रा + 12 किग्रा + 5 किग्रा) ए _एक्स

69.76 N = (33 kg) a _x

a _x= 2.11 m/s ²

a _x_{धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि ब्लॉक विस्थापन की दिशा या त्वरण की दिशा T 2 की दिशा या w}_1xकी दिशा के समान है ।

त्वरण का परिमाण 2.11 m/s² ^है , जो 2.94 m/s² ^से कम है , इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विराम अवस्था से छोड़े जाने के बाद भी ब्लॉक 3 और ब्लॉक 2 एक साथ फिसलते हैं।

b) ब्लॉक 1 और ब्लॉक 2 के त्वरण का परिमाण

∑ F _x= ma _x

w _1x– F _k2= (m ₁+ m ₂) a _x

—–> एफ_k2 = μ_k N₂= μ_k w₂ = μ_k m₂g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s²) = 47.04 न्यूटन

136.4 एन - 47.04 एन = (16 किग्रा + 12 किग्रा) ए _एक्स

89.36 N = (28 kg) a _x

ए _एक्स= 89.36 एन : 28 किग्रा = 3.19 मी/से ²

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