झुका हुआ तल – समस्याएं और समाधान

झुका हुआ तल – समस्याएं और समाधान

1. ब्लॉक का द्रव्यमान 5 kg है, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 9.8 m/s² ^, tan 37 ^° = 3/4। ब्लॉक का त्वरण क्या है?

उपाय

ज्ञात :

द्रव्यमान (मीटर) = 5 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

भार (w) = मिलीग्राम = (5)(10) = 50 एन

एक्स = 3

झुके हुए तल की ऊँचाई (y) = 4

झुके हुए समतल की सतह की लंबाई (l) = 5

ब्लॉक (a) का त्वरण ज्ञात करना है?

समाधान:

_{ब्लॉक पर w x} बल द्वारा त्वरण लगाया जाता है । झुका हुआ तल चिकना है, इसलिए कोई घर्षण बल नहीं है ।

w _x = w sin θ = (w)(y / z)

w _x = (50)(4/5)

w _x = 40 न्यूटन

ब्लॉक (a) का त्वरण?

ΣF = ma

w _x = ma

40 = (5) ए

ए = 40 / 5

a = 8 m/s ²

2. एक ब्लॉक प्रारंभ में विराम अवस्था में है, फिर उसे झुके हुए तल की सतह के समानांतर ऊपर की ओर त्वरित किया जाता है। ब्लॉक का द्रव्यमान = 8 kg, स्थैतिक घर्षण गुणांक µs ₌ 0.5 और कोण θ = 45 ^° है। वह बल F का परिमाण क्या है जिससे ब्लॉक त्वरित हो?

ज्ञात :

स्थैतिक घर्षण गुणांक (µs ₎ = 0.5

कोण (θ) = 45 ^°

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक का द्रव्यमान (मीटर) = 8 किलोग्राम

ब्लॉक का भार (w) = मिलीग्राम = (8 किलोग्राम)(10 मीटर/सेकंड² ⁾ = 80 किलोग्राम मीटर/सेकंड² ⁼ 80 न्यूटन

बल F का परिमाण ज्ञात करना है।

समाधान:

यदि ब्लॉक गति बढ़ाना शुरू कर दे तो F ≥ w_x + f_s.

भार का क्षैतिज घटक :

w _x = w पाप θ = (80)(sin 45) = (80)(0.5√2) = 40√2

भार का ऊर्ध्वाधर घटक:

w _y = w cos θ = (80)(cos 45) = (80)(0.5√2) = 40√2

सामान्य बल :

N = w _y = 40√2

स्थैतिक घर्षण बल:

एफ _एस = µ _एस एन = (0.5)(40√2) = 20√2

बल F का परिमाण:

F ≥ w _x + f _s

F ≥ 40√2 + 20√2

F ≥ 60√2 न्यूटन

3. ब्लॉक का द्रव्यमान 8 किलोग्राम है। ब्लॉक को नीचे खिसकने से रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल है … (sin 37 ^° = 0.6, cos 37 ^° = 0.8, g = 10 ms⁻² ^, µk ₌ 0.1)

ज्ञात :

ब्लॉक का द्रव्यमान (मीटर) = 8 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक का भार (w) = मिलीग्राम = (8)(10) = 80 न्यूटन

Sin 37 ^o = 0.6

Cos 37 ^o = 0.8

गतिज घर्षण गुणांक (µ _k ) = 0.1

सामान्य बल (N) = w _y = w cos 37 ^o = (80)(0.8) = 64 न्यूटन

बल F का परिमाण ज्ञात करना है।

समाधान:

यदि F = w _x हो तो ब्लॉक नीचे नहीं खिसकता।

झुके हुए तल की सतह के समानांतर भार का क्षैतिज घटक:

w _x = w पाप θ = (80)(sin 37) = (80)(0.6) = 48

एफ _के = µ _के एन = (0.1)(64) = 6.4

बल F का न्यूनतम मान जिससे ब्लॉक नीचे की ओर न खिसके:

F + f _k – w _x = 0

F = w _x – f _k = 48 – 6.4 = 41.6 न्यूटन

4. एक 5 किलोग्राम के ब्लॉक को एक खुरदरे झुके हुए तल पर 71 N के बल से खींचा जाता है (g = 10 ms⁻² ^, sin 37 ^° = 0.6, cos 37 ^° = 0.8)। यदि ब्लॉक और झुके हुए तल के बीच घर्षण गुणांक 0.4 है, तो ब्लॉक का त्वरण क्या होगा?

ज्ञात :

वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 5 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक का भार (w) = मिलीग्राम = (5)(10) = 50 न्यूटन

बल F = 71 न्यूटन

Sin 37 ^o = 0.6

Cos 37 ^o = 0.8

घर्षण गुणांक = 0.4

ब्लॉक (a) का त्वरण ज्ञात करना है।

समाधान:

भार का क्षैतिज घटक :

w _x = w पाप θ = (50)(sin 37) = (50)(0.6) = 30

भार का ऊर्ध्वाधर घटक :

w _y = w cos θ = (50)(cos 37) = (50)(0.8) = 40

सामान्य बल :

N = w _y = 40

गतिज घर्षण बल:

f _k = µ _k N = (0.4)(40) = 16

शुद्ध बल :

∑F = F – w _x – f _k = 71 – 30 – 16 = 25 न्यूटन

वस्तु का त्वरण:

a = ∑F / m = 25 / 5 = 5 m/ ^s²

5. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, एक 500 टन भार वाले बक्से को झुके हुए तल पर ट्रक से ऊपर उठाया जाता है। यदि ट्रक की ऊंचाई 1.5 मीटर है, तो बक्से को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक बल का परिमाण ज्ञात कीजिए।

ज्ञात :

बॉक्स का वजन (w) = 500 न्यूटन

ट्रक की ऊंचाई (h) = 1.5 मीटर

झुके हुए तल की लंबाई (l) = 3 मीटर

बॉक्स को हिलाने के लिए आवश्यक बल का परिमाण (F) ज्ञात करना है।

समाधान:

पाप θ = opp / hyp = 1.5 मीटर / 3 मीटर = 1.5 / 3 = 0.5

बॉक्स को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक बल (F), भार के क्षैतिज घटक के समान है जो झुके हुए तल (w _x ) के समानांतर है।

डब्ल्यू _एक्स = डब्ल्यू पाप θ = (500 एन)(0.5) = 250 एन

1. झुका हुआ तल क्या होता है, और यह काम को कैसे आसान बनाता है?
   • उत्तरएक झुका हुआ तल एक समतल सतह होती है जो क्षैतिज सतह की ओर एक कोण (समकोण के अलावा) पर स्थित होती है। यह बल को अधिक दूरी तक लगाने की अनुमति देकर कार्य को आसान बनाता है, जिससे प्रतिरोधक बल पर काबू पाया जा सकता है और अक्सर किसी वस्तु को उठाने या नीचे करने के लिए आवश्यक बल का परिमाण कम हो जाता है।
2. समतल पर किसी वस्तु को ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक बल पर झुकाव का कोण किस प्रकार प्रभाव डालता है?
   • उत्तरतल पर झुकाव का कोण जितना अधिक होगा, वस्तु को ऊपर की ओर ले जाने के लिए उतना ही अधिक बल लगेगा। कोण घटने पर आवश्यक बल कम हो जाता है, लेकिन वह बल अधिक दूरी तक लगता है।
3. किसी भारी बक्से को रैंप पर धकेलना उसे सीधे ऊपर उठाने से आसान क्यों होता है?
   • उत्तरकिसी बक्से को ढलान पर धकेलने से उसका भार अधिक दूरी पर विभाजित हो जाता है, जिससे किसी भी क्षण आवश्यक बल कम हो जाता है। इसे सीधे ऊपर उठाने के लिए बक्से के पूरे भार का सीधा प्रतिकार करना पड़ता है, जिसके लिए कहीं अधिक बल की आवश्यकता होती है।
4. किसी वस्तु को समतल पर ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक बल से झुके हुए तल की लंबाई का क्या संबंध है?
   • उत्तर: एक निश्चित ऊँचाई के लिए, झुकाव वाले तल की लंबाई जितनी अधिक होगी, किसी वस्तु को तल पर ऊपर की ओर ले जाने के लिए उतनी ही कम बल की आवश्यकता होगी। हालाँकि, बल को अधिक दूरी तक लगाना होगा।
5. यदि झुके हुए तल पर घर्षण लगाया जाए, तो उस पर रखी वस्तु की गति पर इसका क्या प्रभाव पड़ेगा?
   • उत्तरघर्षण किसी वस्तु की गति का विरोध करता है। यदि किसी वस्तु को झुके हुए तल पर ऊपर की ओर धकेला जा रहा है, तो घर्षण नीचे की ओर कार्य करता है, जिससे वस्तु को गति देने के लिए आवश्यक बल बढ़ जाता है। यदि कोई वस्तु तल पर नीचे की ओर गति कर रही है, तो घर्षण उसकी गति को धीमा कर देता है।
6. श्रमिक भारी वस्तुओं को ट्रकों पर लादने के लिए झुके हुए तलों का उपयोग क्यों करते हैं?
   • उत्तरझुके हुए तल (रैंप) का उपयोग करने से श्रमिकों को भारी वस्तुओं को लोड करने के लिए लंबी दूरी पर कम बल लगाने की सुविधा मिलती है, जिससे यह कार्य वस्तुओं को लंबवत उठाने की तुलना में अधिक प्रबंधनीय और कम थकाऊ हो जाता है।
7. किसी वस्तु का वजन, झुके हुए तल पर उसके फिसलने की प्रवृत्ति से किस प्रकार संबंधित है?
   • उत्तरकिसी वस्तु के भार का वह घटक जो झुके हुए तल की सतह के समानांतर कार्य करता है, उसे फिसलने का कारण बनता है। वस्तु जितनी भारी होगी, भार का यह घटक उतना ही अधिक होगा, और इस प्रकार, वस्तु के नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति उतनी ही अधिक होगी।
8. किसी झुके हुए तल पर अभिलंब बल की क्या भूमिका होती है?
   • उत्तरअभिलंब बल झुके हुए तल की सतह पर लंबवत कार्य करता है। यह वस्तु और तल के बीच घर्षण बल की मात्रा के लिए जिम्मेदार होता है, क्योंकि घर्षण आमतौर पर अभिलंब बल के समानुपाती होता है।
9. बर्फीली परिस्थितियों में किसी झुकी हुई सतह पर रेत या बजरी क्यों रखी जा सकती है?
   • उत्तररेत या बजरी झुके हुए तल और उसके संपर्क में आने वाली वस्तुओं (जैसे जूते या टायर) के बीच घर्षण बल को बढ़ा देती है। यह अतिरिक्त घर्षण बर्फीली या गीली परिस्थितियों में फिसलने से रोकने में मदद करता है।
10. यदि किसी गेंद को एक झुके हुए तल पर ऊपर की ओर लुढ़काया जाए और फिर वापस नीचे की ओर लुढ़काया जाए, तो क्या हवा के प्रतिरोध और घर्षण को अनदेखा करते हुए, अपने आरंभिक बिंदु पर लौटने तक वह अपनी मूल गति प्राप्त कर लेगी?

• उत्तरजी हां, वायु प्रतिरोध और घर्षण की अनुपस्थिति में, गेंद की उच्चतम बिंदु पर स्थित स्थितिज ऊर्जा नीचे उतरते समय पूरी तरह से गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी, जिससे ऊर्जा संरक्षण के नियम के कारण गेंद अपने आरंभिक बिंदु पर वापस आने तक अपनी मूल गति प्राप्त कर लेगी।