Ratkaistuja perusfysiikan ongelmia

1. Vaakasuoraan naruun kiinnitetty 0.2 kg:n pallo pyörii 1 metrin säteellä olevassa ympyrässä, ja pallon suurin nopeus on 10 rpm. Mikä on keskihakuiskiihtyvyyden suuruus ja vetovoiman suuruus?

Tunnettu:

Massa (m) = 0.2 kg

Säde (r) = 1 m

Kulmanopeus (ω) = 10 kierrosta minuutissa = 10 kierrosta minuutissa / 60 s = 0.17 kierrosta minuutissa = (0.17)(6.28 rad)/s = 1 rad/s

Nopeus (v) = r ω = (1 m)(1 rad/s) = 1 m/s

Etsitään: a _s ja Σ F

ratkaisu:

(a) Keskihajoamiskiihtyvyyden suuruus

(b) Jännitysvoiman suuruus

Σ F = ma

T = ma _s

T = (0.2 kg)(1 m/ ^s² )

T = 0.2 kg m/ ^s²

T = 0.2 N

[irp]

2. Narun päässä oleva 1 kg:n pallo pyörii tasaisesti vaakasuorassa 1 metrin säteellä varustetussa ympyrässä. Naru katkeaa, kun sen jännitys ylittää 100 N. Mikä on pallon suurin nopeus?

Tunnettu:

Massa (m) = 1 kg

Säde (r) = 1 metri

Vetovoima (T) = keskipitkävoima ( Σ F) = 100 N

Etsitään: v maksimi

ratkaisu:

[irp]

[wpdm_paketin tunnus='499']

1. Massa ja paino
2. normaali vahvuus
3. Newtonin toinen liikelaki
4. Kitka voima
5. Liike vaakasuoralla pinnalla ilman kitkavoimaa
6. Kahden kappaleen liike samalla kiihtyvyydellä karkealla vaakasuoralla pinnalla kitkavoiman avulla
7. Liike kaltevalla tasolla ilman kitkavoimaa
8. Liike karkealla kaltevalla tasolla kitkavoiman vaikutuksesta
9. Liike hississä
10. Kappaleiden liike on yhteydessä narujen ja väkipyörien avulla
11. Kaksi kappaletta, joilla on sama kiihtyvyys
12. Tasaisen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
13. Kallistuneen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
14. Tasainen liike vaakasuorassa ympyrässä
15. Keskihakuinen voima tasaisessa ympyräliikkeessä

Lue lisää

1. Auto kaartuu kaltevassa mutkassa. Mikä on tien kaartekulma, jos tien kaarresäde on 60 metriä ja mitoitusnopeus 20 m/s? Oletetaan, että kaarretta ei ole. kitka auton ja tien välissä.

Ratkaisu

N= normaali voima

N sin θ = normaalivoiman vaakasuora komponentti

N cos θ = normaalivoiman pystysuuntainen komponentti

w = mg = auton paino

Tie on suunniteltu kallistettavaksi, jotta se ei ole riippuvainen kitkasta.

Vaakasuora nettovoima, normaalivoiman vaakasuora komponentti ( N sin θ) , tarvitaan pitämään auto liikkeessä ympyrää pitkin kaarretta.

Valitsemme x-akselin vaakasuoraksi ja y-akselin pystysuoraksi, jotta keskihakuinen kiihtyvyys, a_R, on vaakasuorassa suunnassa. Vaakasuunnassa ainoa voima on normaalivoiman vaakasuora komponentti (N synti θ), jota tarvitaan tuottamaan keskihakuinen kiihtyvyysN sin θ = keskihakuvoima.

Sovella Newtonin liikelakia pystysuunnassa:

[irp]

Sovella Newtonin liikelakia vaakasuunnassa:

Sijoita yhtälön 1 N yhtälön 2 N:ään :

[wpdm_paketin tunnus='497']

1. Massa ja paino
2. normaali vahvuus
3. Newtonin toinen liikelaki
4. Kitka voima
5. Liike vaakasuoralla pinnalla ilman kitkavoimaa
6. Kahden kappaleen liike samalla kiihtyvyydellä karkealla vaakasuoralla pinnalla kitkavoiman avulla
7. Liike kaltevalla tasolla ilman kitkavoimaa
8. Liike karkealla kaltevalla tasolla kitkavoiman vaikutuksesta
9. Liike hississä
10. Kappaleiden liike on yhteydessä narujen ja väkipyörien avulla
11. Kaksi kappaletta, joilla on sama kiihtyvyys
12. Tasaisen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
13. Kallistuneen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
14. Tasainen liike vaakasuorassa ympyrässä
15. Keskihakuinen voima tasaisessa ympyräliikkeessä

Lue lisää

1. 2000 kg painava auto ajaa mutkan tasaisella tiellä, jonka säde on 150 m. Kitkakerroin on 0.5. Määritä suurin nopeus, jolla auto seuraa mutkaa eikä luisu. Painovoimakiihtyvyys = 10 m/ ^s².

Tunnettu:

Massa (m) = 2000 kg

Säde (r) = 150 metriä

Staattinen kitkakerroin ( μs ₎ = 0.5

Paino (w) = mg = (2000 kg)(10 m/s² ⁾ = 2 20,000 kg m/s² ⁼ 2 20,000 N

Staattinen kitkavoima (F _s ) = μ _s N = μ _s w = (0.7) (20 000 N) = 14 000 N

Etsitään: v

ratkaisu:

[irp]

[wpdm_paketin tunnus='496']

1. Massa ja paino
2. normaali vahvuus
3. Newtonin toinen liikelaki
4. Kitka voima
5. Liike vaakasuoralla pinnalla ilman kitkavoimaa
6. Kahden kappaleen liike samalla kiihtyvyydellä karkealla vaakasuoralla pinnalla kitkavoiman avulla
7. Liike kaltevalla tasolla ilman kitkavoimaa
8. Liike karkealla kaltevalla tasolla kitkavoiman vaikutuksesta
9. Liike hississä
10. Kappaleiden liike on yhteydessä narujen ja väkipyörien avulla
11. Kaksi kappaletta, joilla on sama kiihtyvyys
12. Tasaisen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
13. Kallistuneen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
14. Tasainen liike vaakasuorassa ympyrässä
15. Keskihakuinen voima tasaisessa ympyräliikkeessä

Lue lisää

1. Kaksi massaa, m1 ₌ 2 kg ja m2 ₌ 5 kg, ovat kaltevalla tasolla ja yhdistetty toisiinsa narulla kuvan mukaisesti. Massan m1 _{ja kaltevuuden välinen kineettisen kitkan kerroin on 0.2 ja massan m2 ja kaltevuuden} välinen kineettisen kitkan kerroin on 0.1.

(a) Määritä niiden kiihtyvyys

(b) Määritä vetovoima

Tunnettu:

Massa 1 (m1 ₎ = 2 kg

Massa 2 (m2 ₎ = 4 kg

Kineettisen kitkan kerroin m1 _:n ja kaltevan tason välillä (μk1 ₎ = 0.2

Kineettisen kitkan kerroin m2:n ja kaltevan tason välillä ₍ μk2 ₎ = 0.1

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 9.8 m/ ^s²

a) Kiihtyvyyden suuruus ja suunta

w1 = paino 1 = _m1 g = (2 kg)(9.8 m/s2 ₎ ⁼ 19.6 Newtonia

w _1x = w ₁ sin 30 ^° = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newtonia

w _1y = w ₁ cos 30 ⁰ = (19.6 N)(0.87) = 17 Newtonia

N ₁ = m _{1 :een} vaikuttava normaalivoima = w _1y = 17 Newtonia

F _k1 = Kineettisen kitkan voima kappaleeseen m ₁ = μ _k1 N ₁ = (0.2)(17 N) = 3.4 Newtonia

---

w² = paino² = m² _g = (4 kg)(9.8 m/s² ₎ ⁼ 39.2 Newtonia

w _2x = w ₂ sin 60 ^o = (39.2 N) (0.87) = 34.1 Newtonia

w _2y = w ₂ cos 60 ^{° 0} = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newtonia

N ₂ = Normaalivoima, joka vaikuttaa kappaleeseen m ₂ = w _2y = 19.6 Newtonia

F _k2 = Kineettisen kitkan voima kappaleeseen m ₂ = μ _k2 N ₂ = (0.1)(19.6 N) = 1.96 Newtonia

---

Kiihtyvyyden suuruus:

∑ F _x = ma _x

w _2x > w _1x , joten kiihtyvyyden suunta on sama kuin w _{2x:n suunta}.

Kiihtyvyyden suuntaiset voimat ovat positiivisia ja kiihtyvyyden suuntaiset voimat negatiivisia.

w_2x - F_k2 - T₂ + T₁ - w_1x - F_k1 = (m₁ +m₂) ja_x

w²x _– Fk² – _w¹x – _Fk1 = _{( m³} + _{m² )} ax

34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a _x

18.94 N = (6 kg) a _x

a _x = 18.94 N : 6 kg

a _x = 3.16 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suuruus = 3.16 m/s² ^. Kiihtyvyyden suunta = T1:n suunta _{= w2x} :n suunta

b) Jännitysvoiman suuruus

Sovella Newtonin toista lakia kappaleeseen 2:

w²x – _Fk² – _T² = _m² ax_​​

34.1 N – 1.96 N – T ₂ = (4 kg) (3.16 m/s ² )

32.14 N – T2 ₌ 12.64 N

T2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 _Newtonia

Jännitysvoima = T = T1 ₌ T2 ₌ 19.5 Newtonia

[irp]

2. m1 ₌ 4 kg, m2 _{= 2 kg. Määritä (a) kiihtyvyyden suuruus ja suunta, (b) m1:n} ja m2 _:n yhdistävän vetovoiman suuruus, (c) väkipyörän ja katon yhdistävän vetovoiman suuruus.

Ratkaisu

w1 ₌ m1 _g = (4 kg)(9.8 m/s2 ⁾ = 39.2 Newtonia

w² = _m² g = (2 kg)(9.8 m/s² ₎ ⁼ 19.6 Newtonia

a) Kiihtyvyyden suuruus ja suunta

∑ Fy = _may​

w1 > w2 _{, joten} kappaleen suunta on sama kuin painon 1 ( w1 ) suunta. Voimat, joiden suunta on sama kuin kiihtyvyyden suunta _, ovat positiivisia ja voimat, joiden suunta on vastakkainen kiihtyvyyden suhteen, ovat negatiivisia.

w1 _– T1 + _T2 – _w2 = _{( m1} + _{m2 )} ay

w1 _– w2 = _{( m1} + _{m2 )} ay

39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a _v

19.6 N = (6 kg) _vuodessa

y = 19.6 N : 6 _kg

ay ₌ 3.26 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suuruus = 3.26 m/s² ^. Kiihtyvyyden suunta = w¹:n _suunta.

_{b) Pituuksien m1} ja m2 _yhdistävän vetovoiman suuruus

Sovella Newtonin toista lakia muuttujaan m ₂ :

∑ Fy = _may​

w1 – _T1 = _m1 ay_​​

39.2 N – T ₁ = (4 kg) ( 3.26 m/s ² )

39.2 N – T1 ₌ 13.04 N

T1 = 39.2 _N – 13.04 N

T1 = _26.16 Newtonia

Kappaleita yhdistävän jännitysvoiman suuruus = T = T1 ₌ T2 ₌ 26.16 Newtonia

c) Hihnapyörän ja katon yhdistävän vetovoiman suuruus.

Hihnapyörä on levossa:

∑ Fy ₌ may _—— ay ₌ 0

∑ Fy = ₀

Ylöspäin suuntautuvat voimat ovat positiivisia, alaspäin suuntautuvat voimat negatiivisia:

T3 _– T1 – _T2 = ₀

T3 = _T1 + _T2

T1 _:llä ja T2 _:lla on sama suuruus , T1 ₌ T2 ₌ T = 26.16 N:

T3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 _Newtonia

[irp]

3. Lohko 1 (m1 ₌ 10 kg) ja lohko 2 (m2 ₌ 15 kg) yhdistettynä narulla kitkattoman väkipyörän päällä. Lohkon 2 välisen staattisen kitkan kerroin, kun lohko on kallistunut, on 0.6. Lohkon 2 välisen kineettisen kitkan kerroin, kun lohko on kallistunut, on 0.42. Määritä (a) kappaleisiin kohdistuvan pienimmän voiman F suuruus, jolla ne kiihtyvät ylöspäin. (b) Määritä jännitysvoiman suuruus.

Ratkaisu

w² = Lohkon paino ² = m² _{g =} (10 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 98 Newtonia

w² = Lohkon paino ² = m² _{g =} (15 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 147 Newtonia

w _2y = w ₂ cos 30 ^° = (147 N)(0.87) = 127.89 Newtonia

w _2x = w ₂ sin 30 ^o = (147 N) (0.5) = 73.5 Newtonia

N² = Kappaleeseen kohdistuva normaalivoima ² = w²y _{= 127.89} Newtonia

F _k2 = Kappaleeseen kohdistuva kineettisen kitkan voima 2 = μ _k2 N ₂ = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newtonia

F _s2 = Lohkossa 2 oleva staattinen kitkavoima = μ _s2 N ₂ = (0.6)(127.89 N) = 76.7 Newtonia

a) Kappaleille kohdistetun pienimmän voiman F suuruus, jolla ne kiihtyivät ylöspäin

∑ F _x = ma _x —— a _x = 0

∑ F _x = 0

Ylöspäin ja oikealle suuntautuvat voimat ovat positiivisia, alaspäin ja vasemmalle suuntautuvat voimat negatiivisia.

F – F _k2 – w _2x – w ₁ – T ₂ + T ₁ = 0

F – F _k2 – w _2x – w ₁ = 0

F = _Fk² + _w²x + _w¹

F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N

F = 225.2 Newtonia

b) Jännitysvoiman suuruus

Sovella Newtonin liikelakia lohkoon 1:

∑ Fy ₌ may _—— ay ₌ 0

∑ Fy = ₀

T1 – _w1 = ₀

T1 = w1 _{= 98} Newtonia

Sovella Newtonin liikelakia lohkoon 2:

F – F _k2 – w _2x – T ₂ = 0

T2 ₌ F – _{Fk2 –} w2x

T2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 _N

T2 = ₉₈ Newtonia

Jännitysvoiman suuruus = T1 ₌ T2 ₌ T = 98 Newtonia

[irp]

4. Lohko 1 (m1 ₌ 16 kg) makaa vaakasuoralla pinnalla ja lohko 2 (m2 ₌ 12 kg) makaa tasaisella kaltevalla tasolla, jotka on yhdistetty narulla pienen, kitkattoman väkipyörän yli. Lohko 3 (m3 ₌ 5 kg) makaa lohkon 2 päällä. Lohkon 2 ja vaakasuoran pinnan välinen kineettisen kitkan kerroin on 0,4. Lohkon 2 ja lohkon 3 välinen staattinen kitkakerroin on 0,3.

(a) Kun järjestelmä vapautetaan lepotilasta, liukuvatko lohko 3 ja lohko 2 edelleen yhdessä?

(b) Jos lohko 3 on olemassa, mikä on lohkon 1 ja lohkon 2 kiihtyvyys?

ratkaisu:

a) Kun järjestelmä vapautetaan lepotilasta, liukuvatko lohko 3 ja lohko 2 edelleen yhdessä?

w³ ₌ Lohkon paino 1 = m³ _g = (16 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 156.8 Newtonia

w _1x = w ₁ sin 60 ^° = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newtonia

w _1y = w ₁ cos 60 ^° = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newtonia

N1 = Kaltevan tason kappaleeseen 1 kohdistama normaalivoima = _w1y = 78.4 _Newtonia

w³ ₌ Lohkon paino 3 = m³ _g = (5 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 49 Newtonia

N ₂₃ = Lohkon 2 kappaleeseen 3 kohdistama normaalivoima = w ₃ = 49 Newtonia

N ₃₂ = Lohkon 3 kappaleeseen 2 kohdistama normaalivoima = N ₂₃ = w ₃ = 49 Newtonia

(N ₂₃ ja N ₃₂ ovat toiminta-reaktiopareja )

F _s23 = Lohkon 2 lohkoon 3 kohdistama staattinen kitkavoima = μ _s N ₂₃ = (0.3)(49 N) = 14.7 Newtonia

F _s32 = Lohkon 3 kohdistama staattinen kitkavoima lohkoon 2 ₌ F _s23 = 14.7 Newtonia

(F _s23 ja F _s32 ovat toiminta-reaktiopareja )

w² = Lohkon paino ² ₌ m² _g = (12 kg)(9.8 m/s² ⁾ = 117.6 Newtonia

N² = Vaakasuoran pinnan kappaleeseen 2 kohdistama normaalivoima ₌ w² ₊ N³² ₌ 117.6 Newtonia + 49

Newton = 166.6 Newtonia

F _k2 = Kappaleeseen kohdistuva kineettisen kitkan voima 2 = μ _k N ₂ = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newtonia

Sovella Newtonin liikelakia kappaleeseen 3:

∑ F _x = ma _x

F _s23 = _m3 a _x

—–> F_s23 = μ_s N₂₃ = μ_s w₃ = μ_s m₃ g

μ _s m ₃ g = m ₃ a _x

μ _s g = a _x

a _x = (0.3)(9.8 m/s² ⁾ = 2.94 m/ ^s²

Lohkon 3 suurin kiihtyvyys, jolla lohko 3 ja lohko 2 liukuvat edelleen yhdessä, on 2.94 m/ ^s².

Laskemme nyt järjestelmän kiihtyvyyden suuruuden lepotilasta irrotuksen jälkeen.

Lohkon siirtymän suunta = lohkareen kiihtyvyyden suunta = T2:n suunta _{= w1x:} n suunta.

∑ F _x = ma _x

w_1x - T₁ + T₂ - F_k2 - F_s32 + F_s23 = (m₁ +m₂ +m₃) ja_x

w _1x – F _k2 = ( _m1 + _m2 + _m3 ) _ax

136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a _x

69.76 N = (33 kg) a _x

a _x = 2.11 m/ ^s²

a _x on positiivinen, mikä tarkoittaa, että lohkon siirtymän suunta tai kiihtyvyyden suunta on sama kuin T _{2: n suunta tai w 1x:} n suunta.

Kiihtyvyyden suuruus on 2.11 m/s² ^, mikä on pienempi kuin 2.94 m/s² ^, joten voimme päätellä, että lohkot 3 ja 2 liukuvat edelleen yhdessä lepotilasta irrotuksen jälkeen.

b) Lohkon 1 ja lohkon 2 kiihtyvyyden suuruus

∑ F _x = ma _x

w _1x – F _k2 = ( _m1 + _m2 ) _ax

—–> F_k2 = μ_k N₂ = μ_k w₂ = μ_k m₂ g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s²) = 47.04 Newtonia

136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a _x

89.36 N = (28 kg) a _x

a _x = 89.36 N: 28 kg = 3.19 m/s ²

[wpdm_paketin tunnus='493']

1. Massa ja paino
2. normaali vahvuus
3. Newtonin toinen liikelaki
4. Kitka voima
5. Liike vaakasuoralla pinnalla ilman kitkavoimaa
6. Kahden kappaleen liike samalla kiihtyvyydellä karkealla vaakasuoralla pinnalla kitkavoiman avulla
7. Liike kaltevalla tasolla ilman kitkavoimaa
8. Liike karkealla kaltevalla tasolla kitkavoiman vaikutuksesta
9. Liike hississä
10. Kappaleiden liike on yhteydessä narujen ja väkipyörien avulla
11. Kaksi kappaletta, joilla on sama kiihtyvyys
12. Tasaisen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
13. Kallistuneen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
14. Tasainen liike vaakasuorassa ympyrässä
15. Keskihakuinen voima tasaisessa ympyräliikkeessä

Lue lisää

1. 2 kg:n kappale makaa karkealla kaltevalla tasolla 37 ^asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Määritä kappaleeseen kohdistuvan ulkoisen voiman suuruus, jotta kappale ei liukuisi alas tasoa pitkin. (sin 37 ^astetta = 0.6, cos 37 ^astetta = 0.8, g = 10 ms ^-2 , µ _k = 0.2)

Tunnettu:

Massa (m) = 2 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Lohkon paino (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtonia

Sin 37 ^o = 0.6

Cos 37 ⁰ = 0.8

Kineettisen kitkan kerroin (µk ₎ = 0.2

Painon y-komponentti (w _y ) = w cos 37 ^o = (20)(0.8) = 16 Newtonia

Painon x-komponentti (w _x ) = w sin θ = (20)(sin 37) = (20)(0.6) = 12 Newtonia

normaalivoima (N) = w _y = 16 Newtonia

Etsitään : Ulkoinen voima (F)

Ratkaisu :

w_x = 12 Newtonia

Kineettisen kitkan voima (fk ₎ = µkN ₌ (0.1)(16) = 1.6 Newtonia

Lohkikkeeseen kohdistuvan ulkoisen voiman F suuruus :

F + _fk – wx ₌ 0

F = w _x – f _k

F = 12 – 1.6

F = 10.4 Newtonia

Ulkoinen voima F on suurempi kuin 10.4 Newtonia.

[irp]

2. Lohkon massa = 2 kg, staattinen kitkakerroin µs ₌ 0.4 ja θ = 45 ^° . Määritä voiman F suuruus, jotta lohko alkaa liukua ylöspäin.

Tunnettu:

Staattisen kitkan kerroin (µs ₎ = 0.4

Kulma (θ) = 45 ^°

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Lohkon massa (m) = 2 kilogrammaa

Lohkon paino (w) = mg = (2 kg)(10 m/s² ⁾ = 20 kg m/s² ⁼ 20 Newtonia

Painon x-komponentti (w _x ) = w sin θ = (20)(sin 45) = (20)(0.5√2) = 10√2 Newtonia

Painon y-komponentti (w _y ) = w cos θ = (20)(cos 45) = (20)(0.5√2) = 10√2 Newtonia

Etsitään : Voiman F suuruus

ratkaisu:

Palikka alkaa liukua ylös, jos F ≥ w_x + f_s.

Painon x-komponentti:

w _x = 10√2 Newtonia

painon y-komponentti :

w _y = 10√2 Newtonia

Normaali voima :

N = wy ₌ 10√2 Newtonia

Staattisen kitkan voima :

f _s = µ _s N = (0,4) (10√2) = 4√2

Voiman F suuruus, jolla lohko alkaa liukua ylöspäin :

F ≥ w _x + f _s

F ≥ 10√² + 4√²

F ≥ 14√2 Newtonia

[wpdm_paketin tunnus='492']

1. Hiukkaset yksiulotteisessa tasapainossa
2. Hiukkaset kaksiulotteisessa tasapainossa
3. Naruilla ja hihnapyörillä yhdistettyjen kappaleiden tasapaino
4. Kappaleiden tasapaino kaltevalla tasolla

Lue lisää

1. 5 kg painava laatikko on kaltevalla tasolla 30 ^asteen kulmassa laatikkoa tuetaan narulla. Määritä vetovoima (T) ja normaalivoima (N)!

Ratkaisu

ΣF_x = 0

T – w sin 30 ^° = 0

T = w sin 30 ^°

T = (5 kg)(9.8 m/s² ⁾ sin 30 ^°

T = (49)(0.5)

T = 24.5 Newtonia

∑ Fy = ₀

N – w cos 30 ^° = 0

N = w cos 30 ^°

N = (49)(0.87)

N = 43 Newtonia

[irp]

2. Kaksi kappaletta, joiden massa on _m1 = m2 ₌ 2 kg, on yhdistetty toisiinsa massattomalla langalla kitkattoman väkipyörän yli. Laske vetovoimat _T1 ja _T2.

Ratkaisu

(a) Kohteen 1 vapaakappalekaavio (b) Kohteen 2 vapaakappalekaavio

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia kappaleeseen 1:

∑ Fy = ₀

T1 – _w1 = ₀

T1 ₌ w1 = _{m1 g = ( 2} kg)(9.8 m/s2 ⁾ = 19.6 N

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia kappaleeseen 2:

∑ Fy = ₀

T2 – _w2 = ₀

T² = w² ₌ m² _g = (2 kg)(9.8 m/s² ₎ ⁼ 19.6 N

T1 = T2 ₌ 19.6 _N.

[irp]

3. Kappale, jonka paino on w _A = 30 N, ja kappale, jonka paino on w _B = 40 N, on kiinnitetty kevyellä narulla, joka kulkee kitkattoman, massaltaan mitättömän pienen väkipyörän yli. Määritä suurimman staattisen kitkan kerroin w _B ja kaltevan pinnan välillä, jos systeemi on levossa.

Ratkaisu

(a) Kappaleen w _{A vapaakappalekaavio (b) Kappaleen w B} vapaakappalekaavio

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia kappaleeseen w _A pystysuunnassa (y):

∑ F _y = 0 (ei kiihtyvyyttä pystysuunnassa)

T – w _A = 0

T = w _A = 30 Newtonia

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia kappaleeseen w _B pystysuunnassa (y) :

∑ Fy = ₀

N – w _B cos 45 ^o = 0

N = w _B cos 45 ^o = (40)(0.7) = 28 Newtonia

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia kappaleeseen w _B vaakasuorassa (x) suunnassa:

∑ F _x = 0

Fk + wB _sin 45 ^° _– T = 0

μs _N + w _B sin 45 ^o – T = 0

μs (28) + (40) (0.7) – 30 = ₀

μs (28) + 28 _– 30 = 0

μs (28) = 30 – ₂₈

μs (28) = ₂

μs ₌ 2 / 28

μs ₌ 0.07

Kaltevan pinnan ja w _B välisen suurimman staattisen kitkan kerroin = 0.07.

[wpdm_paketin tunnus='490']

1. Hiukkaset yksiulotteisessa tasapainossa
2. Hiukkaset kaksiulotteisessa tasapainossa
3. Naruilla ja hihnapyörillä yhdistettyjen kappaleiden tasapaino
4. Kappaleiden tasapaino kaltevalla tasolla

Lue lisää

1. Etsi vetolujuudet T1 _, T2 _ja T3 _. Älä ota huomioon narun massaa.

Ratkaisu

(a) Kappaleen vapaakappalekaavio (b) Johdon vapaakappalekaavio

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia kappaleeseen:

ΣFy ₌ 0

T1 – _w = 0

T1 = w = _mg

T1 = ( 5 kg)(9.8 m/ ^s2 ₎

T1 = ₄₉ kg m/ ^s2

T1 = 49 _N

Sovella Newtonin ensimmäistä lakia johtoon:

∑ F _x = 0

T3x _– T2x = ₀

T3 _cos 30 ^° – T2 _cos 40 ^° = 0

0.87 T3 _– 0.77 T2 ₌ 0

0.87 T3 ₌ 0.77 _T2

T2 = 0.87 T3 _/ 0.77 = 1.1 T3 _———- Yhtälö ₁

[irp]

-

∑ Fy = ₀

T3v + _T2v – _T1v = ₀

T ₃ sin 30 ^o + T ₂ sin 40 ^o – T ₁ = 0

0.5 T3 ₊ 0.64 T2 _– 49 N = 0 ———- Yhtälö 2

Sijoittamalla yhtälön 2 _T2 yhtälöön 2:

0.5 T3 ₊ 0.64 (1.1 T3 ₎ – 49 N = 0

0.5 T3 ₊ 0.70 T3 _– 49 = 0

1.2 T ₃ – 49 = 0

1.2 T3 ₌ 49

T3 = 49 / _1.2

T3 = 41 _N

---

T2 = _{1.1 T3}

T2 = (1.1 ₎ (40.8 N)

T2 = 45 _N

[wpdm_paketin tunnus='488']

1. Hiukkaset yksiulotteisessa tasapainossa
2. Hiukkaset kaksiulotteisessa tasapainossa
3. Naruilla ja hihnapyörillä yhdistettyjen kappaleiden tasapaino
4. Kappaleiden tasapaino kaltevalla tasolla

Lue lisää

^{1. Narulla tuetun kappaleen massa} , m = 10 kg. Löydä narun jännitys! g = 10 m/ ^s²

Tunnettu:

Massa (m) = 10 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Etsitään: Jännitysvoima (T)

ratkaisu:

ΣFy ₌ 0

T – w = 0

T = w

T = mg

T = (10 kg)(10 m/s² ⁾ = 100 kg m/ ^s²

T = 100 Newtonia

[irp]

2. Kappaleen massa on 10 kg. Etsi narun jännitys….. Painovoimakiihtyvyys = 10 m/ ^s².

Ratkaisu

Tunnettu:

Massa (m) = 10 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s².

Etsitään: Jännitysvoima (T)

ratkaisu:

^{w = paino = mg = (10 kg)(10 m/s2}) = 100 kg m/s²

T1 = vetovoima ₁

_{T 1x} = vetovoiman x-komponentti 1 = T ₁ cos 45 ^o = 0.7 T ₁

_{T 1y} = vetovoiman y-komponentti 2 = T ₁ sin 45 ^o = 0.7 T ₁

T2 = vetovoima ₂

_{T 2x} = vetovoiman x-komponentti 2 = T ₂ cos 45 ^o = 0.7 T ₂

_{T 2y} = vetovoiman y-komponentti 2 = T ₂ sin 45 ^o = 0.7 T ₂

Tasapainotila ΣF = 0.

y-akseli:

ΣFy ₌ 0

T1y ₊ T2y _– w = 0

0.7T1 ₊ 0.7T2 – ₁₀₀ = 0

0.7T1 + 0.7T2 ₌ 100 —– yhtälö ₁

x-akseli:

ΣF _x = 0

T2x – _T1x = ₀

0.7T ₂ – 0.7T ₁ = 0

0.7T2 = _0.7T1​

T2 = T1 _—– yhtälö ₂

_{Määritä T1:} n suuruus :

0.7T1 ₊ 0.7T1 = ₁₀₀

1.4T ₁ = 100

T1 = ₁₀₀ / 1.4

T1 = 71.4 _Newtonia

T1 = T2 _{, joten} T2 ₌ 71.4 Newtonia

[wpdm_paketin tunnus='486']

1. Hiukkaset yksiulotteisessa tasapainossa
2. Hiukkaset kaksiulotteisessa tasapainossa
3. Naruilla ja hihnapyörillä yhdistettyjen kappaleiden tasapaino
4. Kappaleiden tasapaino kaltevalla tasolla

Lue lisää

1. Kaksi laatikkoa on yhdistetty toisiinsa väkipyörän yli kulkevalla narulla. Älä ota huomioon narun ja väkipyörän massaa eikä väkipyörän välistä kitkaa. Laatikon 1 massa = 2 kg, laatikon 2 massa = 3 kg, painovoimakiihtyvyys = 10 m/s² ^. Laske (a) järjestelmän kiihtyvyys (b) Narun jännitys!

Ratkaisu

Tunnettu:

Laatikon 1 massa (m² ₎ = 2 kg

Laatikon 2 massa (m² ₎ = 3 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Laatikon paino 1 (w 1 ₎ = m ₁ g = (2)(10) = 20 Newtonia

Laatikon paino 2 (w ₂ ) = m ₂ g = (3)(10) = 30 Newtonia

ratkaisu:

(a) kiihtyvyyden suuruus ja suunta

w ₂ > w _1, joten laatikko 2 kiihtyy alaspäin ja laatikko 1 kiihtyy ylöspäin.

Voimat, joiden suunta on sama kuin kiihtyvyyden suunta (w ₂ ja T ₁ ), ovat positiivisen merkkiisiä. Voimat, joiden suunta on vastakkainen kuin kiihtyvyyden suunta (T ₂ ja w ₁ ), ovat negatiivisen merkkiisiä.

∑ F = ma

w₂ - T₂ + T₁ - w₁ = (m₁ +m₂) a ——-> T₁ = T.₂ = T.

w² – T + T – w1 ₌ ( _{m1 +} m2 ₎ a

w² – w¹ ₌ ( _m³ + _{m² )} a

30 – 20 = (2 + 3) a

10 = 5 a

a = 10 / 5

a = 2 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suuruus on 2 m/ ^s².

(b) Jännitysvoima

Laatikko 2:

Laatikossa 2 vaikuttaa kaksi voimaa: ensinnäkin laatikon 2 paino (w ₂ ) osoittaa alaspäin, joten se on positiivinen. Toiseksi laatikkoon 2 kohdistuva vetovoima (T ₂ ) osoittaa ylöspäin, joten se on negatiivinen. Sovella Newtonin toista liikelakia.

∑ F = ma

w² – _T² = _m² a_​

30 – T2 ₌ (3)(2)

30 – T2 ₌ 6

T2 = 30 – ₆

T2 = ₂₄ Newtonia

Laatikko 1:

Laatikossa 1 vaikuttaa kaksi voimaa. Ensinnäkin laatikon 1 paino (w ₁ ) osoittaa alaspäin, joten se on negatiivinen. Toiseksi laatikkoon 1 kohdistuva vetovoima (T ₁ ) osoittaa ylöspäin, joten se on positiivinen. Sovelletaan Newtonin toista liikelakia:

∑ F = ma

T1 – _w1 = _m1a​​

T1 _– 20 = (2)(2)

T _1–20 = 4

T1 = 20 + ₄

T1 = ₂₄ Newtonia

Jännitysvoiman suuruus = T1 ₌ T2 ₌ T = 24 Newtonia

[irp]

2. Kappale karhealla vaakasuoralla pinnalla. Kappaleen 1 massa = 2 kg, kappaleen 2 massa = 4 kg, painovoimakiihtyvyys = 10 m/s² ^, staattinen kitkakerroin = 0.4, liike-kitkakerroin = 0.3. Onko systeemi levossa vai kiihtyykö se? Jos systeemi kiihtyy, määritä systeemin kiihtyvyyden suuruus ja suunta!

Ratkaisu

Tunnettu:

Kappaleen massa 1 (m1 ₎ = 2 kg

Kappaleen massa 2 (m2 ₎ = 4 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Staattisen kitkan kerroin ( μs ₎ = 0.4

Kineettisen kitkan kerroin ( μk ₎ = 0.3

Kappaleen paino 1 (w ₁ ) = m ₁ g = (2)(10) = 20 Newtonia

Kappaleen paino 2 (w ₂ ) = m ₂ g = (4)(10) = 40 Newtonia

Kappaleeseen kohdistuva normaalivoima _{1 (N) = w 1} = 20 Newtonia

Kappaleeseen kohdistuvan staattisen kitkan voima 1 (fs ₎ = μs N = (0.4)(20) = 8 _Newtonia

Kappaleeseen kohdistuvan kineettisen kitkan voima 1 (fk ₎ = μk N = (0.3)(20) = 6 _Newtonia

Haluttu: kiihtyvyys (a)

ratkaisu:

w² _> fs (40 Newtonia > 8 Newtonia) _, joten kappale 2 kiihtyy pystysuunnassa alaspäin ja kappale 1 kiihtyy vaakasuunnassa oikealle. Kappaleisiin 1 vaikuttava kitkavoima on kineettisen kitkan voima (fk ₎ . Sovelletaan Newtonin toista liikelakia:

∑ F = ma

w² – the = (m³ ₊ m² ₎ ² _a

40 – 6 = (2 + 4) a

34 = 6 a

a = 34 / 6 = 17 / 3

a = 5.7 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suuruus = 5.7 m/ ^s²

[wpdm_paketin tunnus='484']

1. Massa ja paino
2. normaali vahvuus
3. Newtonin toinen liikelaki
4. Kitka voima
5. Liike vaakasuoralla pinnalla ilman kitkavoimaa
6. Kahden kappaleen liike samalla kiihtyvyydellä karkealla vaakasuoralla pinnalla kitkavoiman avulla
7. Liike kaltevalla tasolla ilman kitkavoimaa
8. Liike karkealla kaltevalla tasolla kitkavoiman vaikutuksesta
9. Liike hississä
10. Kappaleiden liike on yhteydessä narujen ja väkipyörien avulla
11. Kaksi kappaletta, joilla on sama kiihtyvyys
12. Tasaisen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
13. Kallistuneen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
14. Tasainen liike vaakasuorassa ympyrässä
15. Keskihakuinen voima tasaisessa ympyräliikkeessä

Lue lisää

1. 50 kg painava henkilö hississä. Painovoimakiihtyvyys = 10 m/s² ^. Määritä hissin kappaleeseen kohdistama normaalivoima , jos:

a) hissi on levossa

(b) hissi liikkuu alaspäin vakionopeudella

(c) hissi kiihtyy ylöspäin vakiokiihtyvyydellä 5 / ^s²

(d) hissi kiihtyy alaspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

(e) hissi vapaassa pudotuksessa

Ratkaisu

Tunnettu:

Henkilön massa (m) = 50 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Paino (w) = mg = (50)(10) = 500 Newtonia

Etsitään: Normaalivoima (N)

ratkaisu:

a) hissi on levossa

Hissi on levossa, joten kiihtyvyyttä ei ole (a = 0)

Valitsemme positiivisessa suunnassa ylöspäin suuntautuvan suunnan ja negatiivisessa suunnassa alaspäin suuntautuvan suunnan.

Σ F = ma

N – w = 0

N = w

N = 500 Newtonia

(b) hissi liikkuu alaspäin vakionopeudella

Vakionopeus, joten kiihtyvyyttä ei ole (a = 0)

Valitsemme positiivisessa suunnassa ylöspäin suuntautuvan suunnan ja negatiivisessa suunnassa alaspäin suuntautuvan suunnan.

Σ F = ma

N – w = 0

N = w

N = 500 Newtonia

(c) hissi kiihtyy ylöspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suunta on ylöspäin, joten valitsemme positiiviseksi suunnaksi ylöspäin.

N – w = ma

N = w + ma

N = 500 + (50)(5)

N = 500 + 250

N = 750 Newtonia

Henkilö tuntee lattian työntyvän ylöspäin voimakkaammin kuin hissin seistessä paikallaan tai liikkuessa tasaisella nopeudella.

Jos henkilö seisoo vaa'alla, vaaka näyttää vaa'alla olevan henkilön alaspäin suuntautuvan voiman suuruuden. Newtonin kolmannen lain mukaan tämä on yhtä suuri kuin vaa'an henkilöön kohdistaman ylöspäin suuntautuvan normaalivoiman suuruus.

(d) hissi kiihtyy alaspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten valitsemme positiiviseksi suunnaksi alaspäin.

w – N = ma

N = w – ma

N = 500 – (50)(5)

N = 500–250

N = 250 Newtonia

Henkilön paino on 250 N, vähemmän kuin todellinen paino w = 500 N.

(e) hissi vapaassa pudotuksessa

Vapaa pudotus tarkoittaa, että hissin kiihtyvyys on sama kuin painovoiman aiheuttama kiihtyvyys. Painovoimakiihtyvyyden suuruus on 9,8 m/s² ^, sen suunta on alaspäin kohti maapallon keskipistettä. Nopeus kasvaa lineaarisesti ajassa 9,8 m/s joka sekunti.

Kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten valitsemme positiiviseksi suunnaksi alaspäin.

w – N = ma

N = w – ma

N = 500 – (50)(10)

N = 500–500

N = 0

[irp]

2. Määritä hissin vaijerin kireys. Hissin massa = 2000 kg.

a) hissi on levossa

(b) hissi kiihtyy alaspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

(c) hissi kiihtyy ylöspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

(d) hissi vapaassa pudotuksessa

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

Ratkaisu

Tunnettu:

Hissin massa (m) = 2000 kg

Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ ^s²

paino (w) = mg = (2000)(10) = 20 000 Newtonia

Etsitään: Jännitysvoima (T)

ratkaisu:

a) hissi on levossa

hissi on levossa, joten kiihtyvyyttä ei ole (a = 0)

Valitsemme ylöspäin suuntautuvan suunnan positiiviseksi suunnaksi ja alaspäin suuntautuvan suunnan negatiiviseksi suunnaksi.

Σ F = ma

T – w = 0

T = w

T = 20,000 Newtonia

Kaapelin jännitys (T) = hissin paino (w) = 20 000 Newtonia

(b) hissi kiihtyy alaspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten valitsemme positiiviseksi suunnaksi alaspäin.

w – T = ma

T = w – ma

T = 20 000 – (2000)(5)

T = 20 000–10 000

T = 10,000 Newtonia

c) hissi kiihtyy ylöspäin vakionopeudella 5 m/ ^s²

Kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten valitsemme positiiviseksi suunnaksi ylöspäin.

T – w = ma

T = w + ma

T = 20 000 + (2000)(5)

T = 20 000 + 10 000

T = 30,000 Newtonia

(d) hissi vapaassa pudotuksessa

Kiihtyvyyden suunta on alaspäin, joten valitsemme positiiviseksi suunnaksi alaspäin.

w – T = ma

T = w – ma

T = 20 000 – (2000)(10)

T = 20 000–10 000

T = 0

[wpdm_paketin tunnus='482']

1. Massa ja paino
2. normaali vahvuus
3. Newtonin toinen liikelaki
4. Kitka voima
5. Liike vaakasuoralla pinnalla ilman kitkavoimaa
6. Kahden kappaleen liike samalla kiihtyvyydellä karkealla vaakasuoralla pinnalla kitkavoiman avulla
7. Liike kaltevalla tasolla ilman kitkavoimaa
8. Liike karkealla kaltevalla tasolla kitkavoiman vaikutuksesta
9. Liike hississä
10. Kappaleiden liike on yhteydessä narujen ja väkipyörien avulla
11. Kaksi kappaletta, joilla on sama kiihtyvyys
12. Tasaisen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
13. Kallistuneen käyrän pyöristäminen – ympyräliikkeen dynamiikka
14. Tasainen liike vaakasuorassa ympyrässä
15. Keskihakuinen voima tasaisessa ympyräliikkeessä

Lue lisää