功-机械能原理——问题与解决方案

1. 一个质量为 2 kg 的箱子从 10 m/s 的速度减速至静止。动摩擦系数为 0.2，重力加速度为 10 m/s² ^。求位移的大小。

已知；

质量(m) = 2 kg

初始速度（v₀ _）= 10 米/秒

末速度（v_{_t} ）= 0 米/秒

动摩擦系数（_μk ）= 0.2

重量(w) = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 kg m/s² ⁼ 10 N

求：位移的大小（d）

解决方案：

功-机械能原理：

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

W _nc =非保守力作用于物体所做的功

ΔEK =动能变化量

ΔEP =势能变化

m = 质量

v = 速度

g = 重力加速度

h = 高度变化

高度变化量 h = 0，因此 ΔEP = 0

W _nc = ΔEK

非保守力所做的功：

W _nc = -F _c d = – μ _k N d = – μ _k wd = – μ _k mgd

W _nc = -(0.2)(2)(10)(s)

W _nc = – (4)(2)

负号表示动摩擦力的方向与位移方向相反。

动能的变化：

ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

位移的大小：

W _nc = ΔEK

– 4 秒 = – 100

s = -100/-4

s = 25 米

[irp]

2. 一个物块沿斜面下滑。动摩擦系数为0.4。重力加速度为g = 10 m/ ^s²。求物块落地时的末速度。

已知：

初始高度（h _{_o} ）= 6 米

最终高度（h_{_t} ）= 0 米

初始速度（v₀ _）= 0

动摩擦系数（_μk ）= 0.4

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

cos θ = 8/10

重力的垂直分量 = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

法向力 = N = w _y = 8 m

动摩擦力 = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

求：末速度（v _t ）

解决方案：

功-机械能原理：

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

动能的变化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 m (v_t² – 0) = 1/2 mv_t²

势能的变化：

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

动摩擦力所做的功：

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m

负号表示动摩擦力的方向与位移方向相反。

最终速度（v _t ）：

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 米= 米 (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

[irp]

3. 一个物块沿粗糙斜面下滑。初速度为 0 m/s，末速度为10 ms⁻¹ ^。若动摩擦力为 2 N，重力加速度 g = 10 ms⁻² ^，求物块的高度 (h) 。

已知：

质量 (m) = 1 kg

初始速度（v₀ _）= 0 （物体静止）

末速度（v _t ）= 10 ms ^-1

初始高度（h₀ _）= h

最终高度（h_{_t} ）= 0

动摩擦力 (f _k ) = 2 N

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

要求：身高（h）

解决方案：

动摩擦力所做的功：

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

负号表示动摩擦力的方向与位移方向相反。

动能的变化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (1)(10² – 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100）= 50

势能的变化：

ΔEP = mg(ht _– ho ₎ = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

功-机械能原理：

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 小时

10 小时 = 50 + 30

10 小时 = 80

小时=80/10

高= 8 m

4如果一个物体沿大致倾斜的斜面下滑，那么……
A. 重力对木块所做的功大于木块势能的变化。
B. 机械能增加
C. 动能和势能均减少。
D. 摩擦力所做的功等于滑块动能的变化量。
解决方案

A 错误

重力对物体所做的功等于物体重力势能的变化。

B 错了

如果斜面光滑，则滑块的机械能保持不变。当滑块位于斜面顶端且尚未运动时，其机械能等于重力势能。滑块仍处于静止状态，因此其动能为零。当滑块沿斜面下滑时，其高度降低，重力势能也随之降低。重力势能降低是因为它转化为了动能。尽管重力势能转化为动能，但机械能保持不变。

如果斜面粗糙，则由于摩擦力做负功，物体的机械能会减少。摩擦力是一种非保守力。非保守力对物体做功会导致物体的机械能减少。

C 正确

斜面表面粗糙，因此存在摩擦力，阻碍滑块的运动。摩擦力是一种非保守力。根据功-机械能定理，非保守力（例如摩擦力）所做的功等于机械能的变化。在这个过程中，机械能是减少的。

物体的机械能 = 重力势能 + 动能。

D选项错误。

摩擦力对木块所做的功等于木块机械能的变化，而不是木块动能的变化。摩擦力确实会阻碍木块的运动，降低木块的速度，从而减少木块的动能。但需要注意的是，木块的动能来源于重力势能。因此，摩擦力所做的功等于机械能的变化（机械能减少）这一说法是正确的。

正确答案是C。

5.一个物体在粗糙的地面上受到撞击，移动了3秒钟后停止。已知物体的质量为10克，物体与地面之间的摩擦力为2千达因。求摩擦力所做的功。

A. 0.18 焦耳

B. -0.18 J

C. 0.36 焦耳

D. -0.36 J

已知：

时间间隔 (t) = 3 秒

末速度（v _t ）= 0 米/秒（物体静止）

物体质量 (m) = 10 克 = 10/1000 千克 = 1/100 千克 = 0.01 千克

摩擦力 (F) = 2 千达因 = 2 x 10 ³达因

求：摩擦力所做的功 (W)

解决方案：

力的单位换算：

1 牛顿 = 1 × 10⁵^达因

1 达因 = 1 / 10⁵^牛顿= 1 × 10⁻⁵^牛顿= ^10⁻⁵牛顿

摩擦力 (F) = 2 × 10³^达因 = 2 × 10³ ^× 10⁻⁵^牛顿= 2 × 10⁻²^牛顿= 2/100 牛顿 = 0.02 牛顿

功-机械能定理指出，非保守力对物体所做的功等于物体机械能的变化。

如果物体在斜面上运动，则机械能 (ME) = 重力势能 (PE) + 动能 (KE)。但如果物体在水平面上运动，高度不变，则机械能 = 动能。在水平面上，由于高度不变，重力势能为零。

摩擦力是一种非保守力。摩擦力通常会降低物体的速度和动能。由此可以得出结论：摩擦力对物体所做的功等于物体机械能的减少量。

从数学角度来看：

功（W）= 机械能的变化（ΔEM）

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— 公式 1

说明：F = 摩擦力，d = 位移，m = 质量，vo ₌初速度

位移（d）和初速度（v _o ）尚不清楚，因为首先需要计算 v _{o或 d。在已知 v o}或 d后，可以使用公式之一计算摩擦力所做的功。

非匀速直线运动的位移方程（d）：

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

末速度（v _t ）= 0，加速度（a）为负值，因为物体减速（物体的速度减小）。

0 = v_o² – 2 条广告

v_o² = 2 广告

d = v _o ² / 2 a ———— 公式 2

将公式 2 中的 d 替换为公式 1 中的 d：

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ 米

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / m)

a = – 0.02 牛顿 / 0.01 千克

a = – 2 牛顿/千克

a = – 2 米/秒^²

计算非匀速直线运动初始速度（v₀）的_公式：

v _{_t} = v_{_o} + at —–> 末速度 (v_{_t} ) = 0，加速度 (a) = 2 m/s ^²，时间间隔 (t) = 3 秒

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v₀ = 6 米/_秒

摩擦力所做的功（W）：

W = – ½ mv _o ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

W = -1/2 (0.36)

W = -0.18 焦耳

摩擦力所做的功为负值，表示该功会减少物体的机械能。

如果已知d，则可以使用公式W = F d计算所做的功。

正确答案是B。

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