புள்ளியியலில் முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு
பெண்டாஹுலுவான்
முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (PCA) என்பது தரவுத்தொகுப்பின் அத்தியாவசிய பண்புகளைத் தக்கவைத்துக்கொண்டு, தரவின் பரிமாணத்தைக் குறைக்கப் பயன்படும் ஒரு புள்ளியியல் நுட்பமாகும். இது வடிவ அங்கீகாரம், பட செயலாக்கம் மற்றும் மரபணு தரவு பகுப்பாய்வு போன்ற துறைகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது , ஏனெனில் இத்துறைகளில் அதிக அளவிலான தரவுகள், விளக்கத்தையும் செயலாக்கத்தையும் சிக்கலாக்கக்கூடும். PCA, குறிப்பிடத்தக்க தகவல்களை இழக்காமல் தரவை எளிதாக்க உதவுகிறது, இதனால் இது நவீன தரவு பகுப்பாய்வில் மிகவும் பயனுள்ள ஒரு கருவியாக விளங்குகிறது.
PCA-வின் அடிப்படைக் கோட்பாடு
PCA-வின் அடிப்படைக் கொள்கை என்பது தரவை ஒரு புதிய ஆயத்தொகுப்பாக மாற்றுவதாகும். இதில், தரவில் உள்ள அதிகபட்ச மாறுபாடு முதல் கூறாலும், இரண்டாவது அதிகபட்ச மாறுபாடு இரண்டாம் கூறாலும், இப்படியே தொடர்ச்சியாகவும் உள்ளடக்கப்படுகிறது. இந்தக் கூறுகள் முதன்மைக் கூறுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தச் செயல்முறையில் பல முக்கிய படிகள் அடங்கியுள்ளன:
1. தரவுத் தரப்படுத்தல்: வெவ்வேறு தரவுகள் பெரும்பாலும் வெவ்வேறு அளவீடுகளைக் கொண்டிருப்பதால், அவை முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (PCA) முடிவுகளைப் பாதிக்கக்கூடும். எனவே, பொதுவாக சராசரியைக் கழித்து, திட்ட விலக்கத்தால் வகுப்பதன் மூலம் தரவுகள் தரப்படுத்தப்படுகின்றன.
2. கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்: அடுத்த கட்டமாக, தரப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளின் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிட வேண்டும். இரண்டு மாறிகள் எவ்வாறு ஒன்றாக மாறுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ள இந்த மேட்ரிக்ஸ் உதவுகிறது.
3. ஐகன்மதிப்பு மற்றும் ஐகன்வெக்டர்: மாறுபாட்டு அணி (covariance matrix)-யின் ஐகன்மதிப்பு மற்றும் ஐகன்வெக்டர் கணக்கிடப்படுகின்றன. ஐகன்வெக்டர் முதன்மைக் கூறுகளின் திசையைத் தீர்மானிக்கிறது, அதே சமயம் ஐகன்மதிப்பு அவற்றின் முக்கியத்துவத்தைத் தீர்மானிக்கிறது.
4. கூறு வரிசைப்படுத்தல்: முதன்மைக் கூறுகள் அவற்றின் ஐகன் மதிப்புகளின்படி, பெரியதிலிருந்து சிறியதாக வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. முதன்மைக் கூறுத் தேர்வு பொதுவாக ஐகன் மதிப்புகளின் அடிப்படையிலேயே செய்யப்படுகிறது; இதில், பெரிய ஐகன் மதிப்புகளைக் கொண்ட கூறுகள் மேலதிக பகுப்பாய்விற்காகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன.
5. தரவு உருமாற்றம்: பின்னர், அசல் தரவு மேலதிக பகுப்பாய்விற்காக முதன்மை கூறு வெளிக்கு உருமாற்றப்படுகிறது.
பிசிஏ-வில் உள்ள படிகள்
முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வின் (PCA) முதல் படி, தொடர்புடைய தரவுகளைச் சேகரிப்பதாகும். பகுப்பாய்வு அர்த்தமுள்ள முடிவுகளைத் தருவதற்கு இந்தத் தரவு போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும். உதாரணமாக, ஒரு சுகாதாரப் பயன்பாட்டிற்கு, நோயாளியின் உயரம், எடை, இரத்த அழுத்தம் போன்ற தரவுகளைச் சேகரிக்கலாம்.
2. தரவுத் தரப்படுத்தல்
தரவுகள் சேகரிக்கப்பட்ட பிறகு, அதிலுள்ள ஒவ்வொரு அம்சமும் (நெடுவரிசையும்) தரப்படுத்தப்பட வேண்டும். தரப்படுத்தலின் பின்னணியில் உள்ள காரணம், ஒவ்வொரு அம்சமும் அதன் அசல் அளவைப் பொருட்படுத்தாமல், முதன்மை கூறு பகுப்பாய்விற்கு (PCA) ஒப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்வதை உறுதி செய்வதாகும். ஒவ்வொரு அம்சத்திலிருந்தும் சராசரியைக் கழித்து, பின்னர் அதைத் திட்ட விலக்கத்தால் வகுப்பதன் மூலம் தரப்படுத்தல் செய்யப்படுகிறது.
உருவாக்கம்:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
இதில் \(X\) என்பது அசல் பண்பு மதிப்பு, \(\mu\) என்பது பண்பு சராசரி, மற்றும் \(\sigma\) என்பது பண்பு திட்ட விலகல் ஆகும்.
3. கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குதல்
தரப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து ஒரு கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவதே அடுத்த கட்டமாகும். கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்பது பண்புகளின் மாறுபாட்டையும் அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகளையும் குறிக்கும் ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்.
உருவாக்கம்:
\[ Cov(X, Y) = E[(X – E[X])(Y – E[Y])] \]
இதில் \(E\) என்பது எதிர்பார்ப்பு அல்லது சராசரி ஆகும்.
4. ஐகன் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகன் திசையன்களைக் கணக்கிடுதல்
மாறுபாட்டு அணி உருவாக்கப்பட்டவுடன், அடுத்த கட்டமாக ஐகன் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகன் திசையன்களைக் கணக்கிட வேண்டும். ஐகன் திசையன்களும் ஐகன் மதிப்புகளும் முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வின் (PCA) முதுகெலும்பாகும், ஏனெனில் அவை முதன்மை கூறுகளின் திசையையும் முக்கியத்துவத்தையும் தீர்மானிக்கின்றன. ஒரு பெரிய ஐகன் மதிப்பு, அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகன் திசையனால் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் அதிக மாறுபாட்டைக் குறிக்கிறது.
5. ஐகன் மதிப்புகளின் அடிப்படையில் கூறுகளை வரிசைப்படுத்துதல்
முதன்மைக் கூறுகள் அவற்றின் ஐகன் மதிப்புகளின் அடிப்படையில், பெரியதிலிருந்து சிறியதாக வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. மிகப்பெரிய ஐகன் மதிப்பைக் கொண்ட முதன்மைக் கூறு, தரவின் மாறுபாட்டிற்கு அதிக பங்களிப்பை அளிக்கிறது.
6. வைத்துக்கொள்ள வேண்டிய கூறுகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுத்தல்
அனைத்து முதன்மைக் கூறுகளையும் தக்கவைக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. கூறுத் தேர்வு ஐகன் மதிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு பொதுவான அணுகுமுறை 'திரள் விளக்க மாறுபாடு' (Cumulative Explained Variance) ஆகும், இது தரவில் உள்ள மொத்த மாறுபாட்டின் எந்த விகிதம் பல முதன்மைக் கூறுகளால் விளக்கப்படுகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது.
7. தரவு உருமாற்றம்
இறுதிப் படியானது, அசல் தரவைத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முதன்மைக் கூறு வெளியின் ஆயங்களாக மாற்றுவதாகும். இந்த முதன்மைக் கூறு வெளியிலுள்ள மதிப்புகள், மேலும் பகுப்பாய்வு செய்யக்கூடிய புதிய பண்புக்கூறுகளாக மாறுகின்றன.
PCA பயன்பாடுகள்
வகைப்பாடு மற்றும் வடிவ அங்கீகாரம்
வகைப்படுத்துதல் மற்றும் வடிவங்களை அடையாளம் காணுதல் ஆகியவற்றில் PCA பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தரவுகளின் பரிமாணத்தைக் குறைப்பதன் மூலம், PCA வகைப்படுத்துதல் செயல்முறையை மிகவும் திறமையானதாக ஆக்குகிறது மற்றும் கணக்கீட்டுச் சிக்கலையும் குறைக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முகத்தை அடையாளம் காணுதலில், கணினிகள் அவற்றை மிக விரைவாக அடையாளம் காணும் வகையில், PCA படங்களில் உள்ள முகங்களின் பரிமாணத்தைக் குறைக்கிறது.
பட செயலாக்கம்
PCA ஆனது முக்கியமான விவரங்களை இழக்காமல் படத்தின் அளவைக் குறைக்க முடியும். இந்த நுட்பம், பொருள் அடையாளம் காணுதல், விளிம்பு கண்டறிதல் மற்றும் படப் பிரிப்பு போன்ற பல்வேறு பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தக்கூடிய அம்சங்களைப் படங்களிலிருந்து பிரித்தெடுக்கவும் பயன்படுகிறது.
மரபணு தரவு பகுப்பாய்வு
உயிரியலில், மரபணுத் தரவுகள் பெரும்பாலும் மிகப் பெரியதாகவும் சிக்கலானதாகவும் இருக்கும். மரபணுத் தரவுகளின் பரிமாணத்தைக் குறைப்பதற்கு முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (PCA) பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது, தரவுகளுக்குள் உள்ள வடிவங்களையும் தொடர்புகளையும் கண்டறிந்து பகுப்பாய்வு செய்வதை எளிதாக்குகிறது. இது குறிப்பாக மரபணு ஆராய்ச்சி மற்றும் மருந்து உருவாக்கத்தில் மிகவும் உதவியாக இருக்கிறது.
நிதி மற்றும் பொருளாதாரம்
போர்ட்ஃபோலியோ இடர் பகுப்பாய்வு மற்றும் பங்கு விலை முன்கணிப்பில் PCA பயன்படுத்தப்படுகிறது . நிதித் தரவுகளின் பரிமாணத்தைக் குறைப்பதன் மூலம், சந்தையை கணிசமாகப் பாதிக்கும் காரணிகளில் பகுப்பாய்வால் அதிக கவனம் செலுத்த முடியும்.
முடிவுரை
முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (PCA) என்பது புள்ளியியல் மற்றும் இயந்திர கற்றலில் ஒரு சக்திவாய்ந்த நுட்பமாகும். குறிப்பிடத்தக்க தகவல்களை இழக்காமல் தரவின் பரிமாணத்தைக் குறைப்பதன் மூலம், PCA மிகவும் திறமையான மற்றும் விளக்கமான பகுப்பாய்வைச் சாத்தியமாக்குகிறது. PCA சக்திவாய்ந்ததாக இருந்தாலும், அதன் வரம்புகளைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்: தரவு நேரியல் கட்டமைப்பில் இருக்கும்போது மட்டுமே இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். PCA மற்றும் அதன் சாத்தியமான பயன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வது, பெரிய மற்றும் சிக்கலான தரவுத் தொகுப்புகளிலிருந்து ஆழமான நுண்ணறிவுகளைப் பிரித்தெடுக்க நமக்கு உதவுகிறது, இதனால் இது நவீன தரவுப் பகுப்பாய்வில் ஒரு அத்தியாவசியக் கருவியாக அமைகிறது.
