புள்ளிவிவரத் தரவுகளில் சராசரி விலகலைக் கண்டறிவதற்கான நுட்பங்கள்

புள்ளிவிவரத் தரவுகளில் சராசரி விலகலைக் கண்டறிவதற்கான நுட்பங்கள்

புள்ளியியலில், தரவின் 'மையத்தை'—உதாரணமாக, சராசரி அல்லது இடைநிலை மூலம்—புரிந்துகொள்வது மட்டும் பெரும்பாலும் போதுமானதாக இருப்பதில்லை. இரண்டு தரவுத் தொகுப்புகள் ஒரே சராசரியைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் 'மாறுபாட்டின்' அளவுகளில் கணிசமாக வேறுபடலாம். எனவே, பரவலின் அளவீடுகள் முக்கியமானவை. புரிந்துகொள்வதற்கும் பயன்படுத்துவதற்கும் ஒப்பீட்டளவில் எளிதான ஒரு பரவல் அளவீடு சராசரி விலகல் ஆகும். இந்தக் கட்டுரை, பல்வேறு வகையான புள்ளியியல் தரவுகளில் சராசரி விலகலைக் கண்டறிவதற்கான நுட்பங்களை, கணக்கீட்டுப் படிகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விவாதிக்கிறது.

சராசரி விலகலைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

சராசரி விலகல் என்பது, ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியும் மையப் போக்கின் அளவீட்டிலிருந்து, அதாவது பொதுவாக கூட்டுச் சராசரி (சராசரி) அல்லது இடைநிலையிலிருந்து, எவ்வளவு சராசரித் தொலைவில் உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடும் ஒரு அளவீடு ஆகும். இங்கு குறிப்பிடப்படும் தொலைவு என்பது, தரவுக்கும் மைய மதிப்புக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் தனிமதிப்பாகும். அதனால், எந்தவொரு எதிர்மறை வேறுபாடும் ஒரு நேர்மறை வேறுபாட்டை "ரத்து செய்யாது".

பொதுவாக, சராசரி விலகல் என்பது தரவுகள் அதன் மைய மதிப்பிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளன என்பதை விவரிக்கிறது. சராசரி விலகல் குறைவாக இருந்தால், தரவுகள் மையத்தைச் சுற்றி மிகவும் நெருக்கமாகக் குவிந்திருக்கும்; அதன் மதிப்பு அதிகமாக இருந்தால், தரவுகள் அதிக மாறுபாடு உடையவையாக இருக்கும்.

தனிமதிப்பை ஏன் பயன்படுத்த வேண்டும்?

தரவுகளுக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் சராசரியை, தனிமதிப்பு இல்லாமல் கணக்கிட்டால், வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் பூஜ்ஜியமாகவே இருக்கும் (ஏனெனில் சராசரி என்பது சமநிலைப்புள்ளி). எடுத்துக்காட்டாக, +5 மற்றும் -5 வேறுபாடுகள் இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 0 ஆகும். எனவே, விலகல்கள் மையத்திலிருந்து தரவுகளின் தூரத்தை உண்மையாகப் பிரதிபலிக்கும் வகையில் தனிமதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஒற்றைத் தரவுக்கான சராசரி விலகல் சூத்திரம்

ஒற்றைத் தரவுகளுக்கு (குழுவாக்கப்படாதவை), சராசரியிலிருந்து சராசரி விலகல் பின்வருமாறு சூத்திரப்படுத்தப்படுகிறது:

\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]

தகவல்:
– \( SR \): சராசரி விலகல்
– \( x_i \): i-வது தரவு
– \( \bar{x} \): கூட்டுச் சராசரி (சராசரி)
– \( n \): தரவின் அளவு

ஒற்றைத் தரவு கணக்கீட்டு நுட்பம் (படிகள்)
1. அனைத்துத் தரவுகளின் சராசரி \( \bar{x} \) ஐக் கணக்கிடுங்கள்.
2. ஒவ்வொரு தரவிற்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுங்கள்: \( x_i – \bar{x} \).
3. ஒவ்வொரு வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பையும் எடுங்கள்: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. வேறுபாடுகளின் அனைத்து தனிமதிப்புகளையும் கூட்டவும்.
5. தரவுகளின் எண்ணிக்கை \( n \) ஆல் வகுக்கவும்.

ஒற்றை தரவு எடுத்துக்காட்டு
மதிப்புத் தரவுகள்: 6, 8, 10, 12, 14

1) சராசரி:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]

2) வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4

மொத்தம் = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12

3) சராசரி விலகல்:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]

இதன் பொருள் என்னவென்றால், சராசரியாக ஒவ்வொரு மதிப்பும் சராசரியிலிருந்து 2,4 அலகுகள் விலகுகிறது (10).

அடிக்கடி வரும் (தனித்த) தரவுகளுக்கான சராசரி விலகல்

தரவு, மதிப்புகள் மற்றும் நிகழ்வெண்களின் வடிவில் (எ.கா. ஒரு அட்டவணை) வழங்கப்பட்டால், சூத்திரம் பின்வருமாறு அமைகிறது:

\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]

தகவல்:
– \( f_i \): தரவு அதிர்வெண் \( x_i \)

அதிர்வெண் தரவு கணக்கீட்டு நுட்பங்கள்
1. சராசரியைக் கணக்கிடுக: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) -ஐக் கணக்கிடுக.
3. அதிர்வெண்ணால் பெருக்கவும்: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. படி 3-இன் முடிவுகள் அனைத்தையும் கூட்டவும்.
5. மொத்த நிகழ்வெண்ணால் வகுக்கவும்

தனித்த தரவு எடுத்துக்காட்டுகள்
| மதிப்பு (x) | அதிர்வெண் (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |

மொத்த நிகழ்வெண்: \(2+3+1=6\)

அர்த்தம்:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]

விலகலைக் கணக்கிடுங்கள்:
– x=5 எனில்: |5−6,67|=1,67 → f=2 ஆல் பெருக்கினால் → 3,34
– x=7 எனில்: |7−6,67|=0,33 → f=3 ஆல் பெருக்கினால் → 0,99
– x=9 எனில்: |9−6,67|=2,33 → f=1 ஆல் பெருக்கினால் → 2,33

மொத்தம்: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66

சராசரி விலகல்:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான சராசரி விலகல் (வகுப்பு இடைவெளி)

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளில் (எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளி அதிர்வெண் பரவல்கள்), தரவு மதிப்புகள் தனித்தனியாகக் காட்டப்படாமல், வகுப்புகளாகக் காட்டப்படுகின்றன. இந்த நோக்கத்திற்காக, ஒரு வகுப்பிற்குள் உள்ள தரவைக் குறிக்க வகுப்பு மையப்புள்ளி (xi) பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சூத்திரம்:

\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]

இருப்பினும், \(x_i\) என்பது வகுப்பின் மையப்புள்ளி ஆகும்.

குழு தரவு கணக்கீட்டு நுட்பங்கள்
1. ஒவ்வொரு வகுப்பின் மையப்புள்ளியையும் கண்டறியவும்:
\[
x_i=\frac{\text{கீழ் வரம்பு + மேல் வரம்பு}}{2}
\]
2. குழுவின் சராசரியைக் கணக்கிடுக:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) -ஐக் கணக்கிடுக.
4. அதிர்வெண் \( f_i \) ஆல் பெருக்கவும்
5. எல்லா முடிவுகளையும் கூட்டி, பின்னர் மொத்த நிகழ்வெண்ணால் வகுக்கவும்.

குழு தரவு எடுத்துக்காட்டு
| வகுப்பு | எஃப் |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |

மையப்புள்ளி:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22

மொத்த f = 10

அர்த்தம்:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]

விலகல்:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11

மொத்தம் = 13,5 + 2,5 + 11 = 27

சராசரி விலகல்:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]

இடைநிலையிலிருந்து சராசரி விலகல்

சராசரியைத் தவிர, இடைநிலையிலிருந்தும் சராசரி விலகலைக் கணக்கிடலாம். கொள்கை ஒன்றுதான், மைய மதிப்பு மட்டுமே வேறுபடும். தரவுகளில் புறமதிப்புகள் இருக்கும்போது இது பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இடைநிலையானது உச்சபட்ச மதிப்புகளைத் தாங்கும் திறன் கொண்டது.

ஒற்றைத் தரவுகளுக்கு:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]

அதிர்வெண் தரவுகளுக்கு:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]

சராசரி விலகலின் நன்மைகள் மற்றும் வரம்புகள்

மிகை:
1. தரவு மையத்திலிருந்து உள்ள “சராசரி தூரத்தை” இது பயன்படுத்துவதால், புரிந்துகொள்வது எளிது.
2. எல்லாத் தரவுகளையும் பயன்படுத்தவும் (குறிப்பிட்ட தரவுகளை மட்டும் அல்ல).
3. பல்வேறு வகையான தரவு வழங்கல்களுக்குக் கணக்கிட முடியும்.

Keterbatasan:
1. மேம்பட்ட புள்ளியியல் பகுப்பாய்வில் திட்ட விலக்கத்தை விடக் குறைவான பிரபலம்.
2. தனிமதிப்புகளின் பயன்பாடு சில இயற்கணிதக் கையாளுதல்களுக்கு அசௌகரியத்தை ஏற்படுத்துகிறது.
3. பல அனுமான முறைகளில் திட்ட விலக்கத்தைப் போல வலிமையானது அல்ல.

மூடுகிறது

புள்ளிவிவரத் தரவுகளில் சராசரி விலகலைக் கண்டறியும் நுட்பம், அடிப்படையில் ஒரு சீரான முறையைப் பின்பற்றுகிறது: மைய மதிப்பை (சராசரி அல்லது இடைநிலை) நிர்ணயித்து, மையத்திலிருந்து ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியின் (அல்லது வகுப்பு மையப்புள்ளியின்) முழுமையான தூரத்தைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அவற்றைச் சராசரியாக்க வேண்டும்—தரவு ஒரு அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டிருந்தால், அதன் நிகழ்வெண்ணையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். தரவு மாறுபாட்டை உள்ளுணர்வாக விவரிக்க, சராசரி விலகல் என்பது பரவலின் ஒரு வசதியான அளவீடு ஆகும். இந்த வழிமுறைகளைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், நீங்கள் தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு இடையேயான மாறுபாட்டை ஒப்பிட்டு, ஒரு தரவுத் தொகுப்பின் நிலைத்தன்மையை முழுமையாக மதிப்பிட முடியும்.

நீங்கள் விரும்பினால், இந்தக் கட்டுரையின் ஒரு பிரதியை பள்ளி ஒப்படைப்பு வடிவத்தில் (அறிமுகம்–கலந்துரையாடல்–முடிவுரையுடன்) உருவாக்கவோ அல்லது கலந்துரையாடலுடன் பயிற்சி வினாக்களைச் சேர்க்கவோ நான் உங்களுக்கு உதவ முடியும்.