புள்ளியியலில் அதிர்வெண் பலகோணங்களைப் பயன்படுத்தி தரவுப் பகுப்பாய்வு
புள்ளியியலில், முடிவுகளை எடுப்பதற்கு முன் தரவு விளக்கக்காட்சி ஒரு முக்கியமான படியாகும். ஆரம்பத்தில் மூல எண்களைக் கொண்ட தரவுகள், முறையாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்டு காட்சிப்படுத்தப்படாவிட்டால், புரிந்துகொள்வது பெரும்பாலும் கடினமாக இருக்கும். தரவுப் பரவலை முன்வைப்பதற்கான ஒரு சிறந்த வழி அதிர்வெண் பலகோணங்கள் ஆகும். அதிர்வெண் பலகோணங்கள், தரவுப் பரவல் வடிவங்கள், ஆதிக்க மதிப்புப் போக்குகள் மற்றும் பரவலின் வடிவம் (எ.கா., சமச்சீரான, சரிந்த, அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உச்சங்களைக் கொண்ட) ஆகியவற்றைக் காண நமக்கு உதவுகின்றன. இந்தக் கட்டுரை அதிர்வெண் பலகோணங்களின் கருத்து, அவற்றை உருவாக்குவது எப்படி, அவற்றை விளக்குவது எப்படி மற்றும் புள்ளியியல் தரவுப் பகுப்பாய்வில் அவற்றின் பயன்பாடு ஆகியவற்றை விவாதிக்கிறது.
அதிர்வெண் பலகோணங்களைப் புரிந்துகொள்ளுதல்
அதிர்வெண் பலகோணம் என்பது தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளின் அதிர்வெண் பரவலைக் காட்டும் ஒரு கோட்டு வரைபடம் ஆகும். இந்த வரைபடம், அதிர்வெண்களைக் குறிக்கும் புள்ளிகளை வகுப்பு மையப்புள்ளிகளில் இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது. பட்டைகளைக் கொண்ட ஹிஸ்டோகிராமைப் போலல்லாமல், அதிர்வெண் பலகோணம் ஒரு கோடாக இருப்பதால், ஒரே வரைபடத்தில் பல தரவுக் குழுக்களின் பரவல் முறைகளை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பதை பார்வையாளர்களுக்கு எளிதாக்குகிறது.
அதிர்வெண்ணில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் அல்லது போக்குகளை மிகவும் சீராகக் காண்பிக்க விரும்பும்போது, அதிர்வெண் பலகோணங்கள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, தேர்வு மதிப்பெண்கள், உயரம், எடை அல்லது உற்பத்தித் தரவுகளைப் பகுப்பாய்வு செய்யும்போது, அந்தத் தரவு ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பில் பெரும்பாலும் குவிந்துள்ளதா அல்லது சீராகப் பரவியுள்ளதா என்பதை அதிர்வெண் பலகோணங்கள் காட்ட முடியும்.
அதிர்வெண் பலகோணங்கள் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
அதிர்வெண் பலகோணங்கள் முதன்மையாக பின்வரும் தரவுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:
1. அளவுசார் தரவுகளின் வடிவில் (எ.கா. மதிப்பு, எடை, உயரம், நேரம்).
2. வகுப்பு இடைவெளிகளாகத் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன அல்லது தொகுக்கப்பட வேண்டும்.
3. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரவல்களை ஒரே வரைபடத்தில் ஒப்பிடுவது அவசியம், ஏனெனில் ஹிஸ்டோகிராம் பட்டைகளை விட கோடுகளை அடுக்கி வைப்பது எளிது.
புள்ளிவிவரச் சோதனைகள், பின்னடைவு அல்லது முன்கணிப்பு போன்ற மேலதிகப் பகுப்பாய்வுகளை மேற்கொள்வதற்கு முன்பு, தரவின் பொதுவான பண்புகளை ஆய்வாளர்கள் புரிந்துகொள்ள விரும்பும் ஆய்வுசார் தரவுப் பகுப்பாய்வுக் கட்டத்திலும் அதிர்வெண் பலகோணங்கள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றன.
அதிர்வெண் பலகோணத்தில் உள்ள முக்கிய கூறுகள்
அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்க, பல அடிப்படைக் கூறுகளைப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்:
வகுப்பு இடைவெளி: தரவுகளைப் பல குழுக்களாகப் பிரிக்கும் மதிப்புகளின் வரம்பு.
அதிர்வெண்: ஒவ்வொரு வகுப்பு இடைவெளியிலும் உள்ளிடப்படும் தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
– வகுப்பு மையப்புள்ளி: பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் ஒரு இடைவெளியின் நடு மதிப்பு:
\[
நடுப்புள்ளி = கீழ் எல்லை + மேல் எல்லை{2}
\]
– X மற்றும் Y அச்சுகள்: X அச்சானது வகுப்பு மையப்புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, அதே சமயம் Y அச்சானது நிகழ்வெண்ணைக் காட்டுகிறது.
இந்தக் கூறின் மூலம், நாம் புள்ளிகளை (மையப்புள்ளி, அதிர்வெண்) வரைந்து, பின்னர் அவற்றை ஒரு கோடாக இணைக்கலாம்.
அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்குவதற்கான படிகள்
மூலத் தரவிலிருந்து அதிர்வெண் பலகோணத்தை உருவாக்குவதற்கான பொதுவான வழிமுறைகள் பின்வருமாறு:
1. தரவுகளை வரிசைப்படுத்துதல் மற்றும் பல வகுப்புகளைத் தீர்மானித்தல்
முதல் படி மூலத் தரவைத் தயாரிப்பதாகும். அதன்பிறகு, வகுப்புகளின் எண்ணிக்கையை (k) நிர்ணயிக்க வேண்டும். ஸ்டர்ஜஸின் சூத்திரம் ஒரு பிரபலமான அணுகுமுறையாகும்:
\[
k = 1 + 3,3 log(n)
\]
இதில் \(n\) என்பது தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
2. வகுப்பின் வீச்சு மற்றும் அகலத்தைக் கண்டறியவும்.
தரவு வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[
R = x_{\text{max}} – x_{\text{min}}
\]
பின்னர் வகுப்பின் அகலத்தைக் கணக்கிடலாம்:
\[
p = \frac{R}{k}
\]
பயன்பாட்டு எளிமைக்காக வகுப்பு அகலங்கள் பொதுவாக முழுமையாக்கப்படுகின்றன.
3. நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணையை உருவாக்கவும்
வகுப்பு இடைவெளிகளை வரிசைப்படுத்தி, பின்னர் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் எத்தனை தரவுப் புள்ளிகள் அடங்குகின்றன என்பதைக் கணக்கிடுங்கள். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் அட்டவணை ஒரு நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணை ஆகும்.
4. ஒவ்வொரு வகுப்பின் மையப்புள்ளியைக் கணக்கிடுங்கள்.
ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும் மையப்புள்ளியைக் கணக்கிடுங்கள். இந்த மையப்புள்ளி X-அச்சில் பயன்படுத்தப்படும்.
5. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குதல்
வகுப்பின் மையப்புள்ளியை X அச்சில் வைக்கவும்.
அதிர்வெண்ணை Y அச்சில் வைக்கவும்.
– புள்ளி இணைகளை (மையப்புள்ளி, நிகழ்வெண்) வரைபடமாக்குக.
புள்ளிகளை ஒரு நேர்கோட்டால் இணைக்கவும்.
பலகோணம் சரியாக "மூடப்பட்டதாக" இருப்பதற்கு, பொதுவாக முதல் வகுப்புக்கு முந்தைய மற்றும் கடைசி வகுப்புக்குப் பிந்தைய வகுப்புகளின் மையப்புள்ளிகளில், தொடக்கத்திலும் முடிவிலும் பூஜ்ஜிய நிகழ்வெண்ணுடன் ஒரு புள்ளி சேர்க்கப்படுகிறது.
விளக்கத்தின் எளிய உதாரணம்
உதாரணமாக, ஒரு அதிர்வெண் பலகோணம் அதன் மிக உயர்ந்த உச்சத்தை 70 என்ற மையப்புள்ளியில், அதாவது மிக அதிக அதிர்வெண்ணில் காட்டுகிறது. இது, அடிக்கடி நிகழும் மதிப்பு 70-ஐச் சுற்றி உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் பெரும்பாலான மாணவர்களின் செயல்திறன் அந்த மதிப்பைச் சுற்றியே உள்ளது என்பதையும் இது உணர்த்துகிறது. அந்தப் பலகோணம் வலதுபுறம் செங்குத்தாகச் சரிந்து (பெரிய மதிப்புகள்) இடதுபுறம் நீண்டு (சிறிய மதிப்புகள்) இருந்தால், தரவுப் பரவல் இடதுபுறம் சாய்ந்திருக்கலாம்; இதற்கு நேர்மாறாக, அது வலதுபுறம் நீண்டால், பரவல் வலதுபுறம் சாய்ந்திருக்கும்.
வடிவத்தைத் தவிர, கோட்டின் சாய்வும் வகுப்புகளுக்கு இடையிலான அதிர்வெண் மாற்றங்களைக் குறிக்கிறது. ஒரு கூர்மையான அதிகரிப்பு, அடுத்த வகுப்பில் உள்ள தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறது. ஒரு கூர்மையான சரிவு இதற்கு நேர்மாறானதைக் குறிக்கிறது.
அதிர்வெண் பலகோணம் மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம் ஒப்பீடு
இரண்டும் நிகழ்வெண் பரவல்களை விவரித்தாலும், அவற்றுக்கிடையே முக்கியமான வேறுபாடுகள் உள்ளன:
1. காட்சி வடிவம்
ஹிஸ்டோகிராம்: அருகருகே உள்ள பட்டைகள்.
அதிர்வெண் பலகோணம்: புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடுகள்.
2. ஒப்பீட்டு எளிமை
பல குழுக்களுக்கு ஹிஸ்டோகிராம்களை ஒன்றன் மேல் ஒன்றாக அடுக்கி வைப்பது கடினம்.
அதிர்வெண் பலகோணங்களை ஒரே வரைபடத்தில் ஒப்பிடுவது எளிது.
3. வடிவமைப்பு வாசிப்புத்திறன்
பல்கோணங்கள் பரவல் வளைவின் பொதுவான வடிவத்தை மிகவும் தெளிவாகக் காட்டுகின்றன.
ஹிஸ்டோகிராம், வகுப்பு அமைப்பை விரிவாகக் காண உதவுகிறது.
நடைமுறையில், அதிர்வெண் பலகோணங்கள் பெரும்பாலும் ஹிஸ்டோகிராம்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு கட்டமைக்கப்படுகின்றன: ஒவ்வொரு ஹிஸ்டோகிராம் பட்டியின் மையப்புள்ளிகளும் ஒரு கோட்டால் இணைக்கப்படுகின்றன.
தரவுப் பகுப்பாய்வில் அதிர்வெண் பலகோணங்களின் நன்மைகள்
அதிர்வெண் பலகோணங்கள் வெறும் படங்கள் மட்டுமல்ல, அவை பகுப்பாய்வுக் கருவிகளும் ஆகும். அவற்றின் சில நன்மைகள்:
1. தரவு மையத்தை அடையாளம் காணுதல் (மையப் போக்கு)
பலகோணத்தின் உச்சியானது பயன்முறை வகுப்பைக் குறிக்கிறது, அதாவது மிக உயர்ந்த அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளியைக் குறிக்கிறது.
2. பரவலை (மாறுபடும் தன்மையை) கவனியுங்கள்.
அகலமான பலகோணங்கள் அதிக மாறுபட்ட தரவுகளையும், குறுகிய பலகோணங்கள் அதிக செறிவான தரவுகளையும் குறிக்கின்றன.
3. விநியோகப் படிவத்தை மதிப்பிடுங்கள்
பரவல்கள் சமச்சீரானதாகவோ, சரிந்ததாகவோ, அல்லது இருமுனைப் பரவலாகவோ (இரண்டு உச்சங்கள்) இருக்கலாம். மேலதிக பகுப்பாய்வு முறைகளைத் தீர்மானிப்பதற்கு இது முக்கியமானது.
4. குழுக்களை ஒப்பிடுதல்
எடுத்துக்காட்டாக, வகுப்பு A மற்றும் வகுப்பு B-யின் மதிப்புகளையோ, அல்லது இயந்திரம் 1 மற்றும் இயந்திரம் 2-இன் உற்பத்தி முடிவுகளையோ ஒப்பிடுவதன் மூலம், பரவலின் வேறுபாட்டைக் காண இரண்டு பலகோணங்களை ஒன்றாக வரையலாம்.
5. அசாதாரண தரவுகளைக் கண்டறிதல்
பிரதான உச்சியிலிருந்து வெகு தொலைவில் சிறிய உச்சிகள் காணப்பட்டால், அங்கு வெவ்வேறு தரவுக் குழுக்கள், உள்ளீட்டுப் பிழைகள் அல்லது புறத்தளவுகள் இருக்கலாம்.
பொதுவான தவறுகள் மற்றும் பரிமாறும் குறிப்புகள்
அதிர்வெண் பலகோணங்களை உருவாக்கும்போது செய்யப்படும் சில பொதுவான தவறுகள் பின்வருமாறு:
X-அச்சில் வகுப்பு மையப்புள்ளிகளுக்குப் பதிலாக வகுப்பு எல்லைகளைப் பயன்படுத்தவும்.
வகுப்பு அகலங்கள் சீரற்றதாக இருப்பதால், தவறான புரிதல்கள் ஏற்படுகின்றன.
– முனைகளில் பூஜ்ஜிய அதிர்வெண் புள்ளிகளைச் சேர்க்காததால், பலகோணம் "தொங்குவது" போல் தோன்றுகிறது.
– சமமற்ற அச்சு அளவு.
பரிமாறுவதற்கான நல்ல குறிப்புகள்:
– சீரான வகுப்பு இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தவும்.
– தெளிவான தலைப்பு, அச்சு அடையாளங்கள் மற்றும் அளவுகோலை வழங்கவும்.
– இரு குழுக்களை ஒப்பிடும்போது, வெவ்வேறு வண்ணங்கள்/கோடுகளைப் பயன்படுத்தி, விளக்கக் குறிப்பையும் சேர்க்கவும்.
பகிர்வு முறை தெளிவாகத் தெரியும்படி, வகுப்புகளின் எண்ணிக்கை மிகக் குறைவாகவோ அல்லது மிக அதிகமாகவோ இல்லாமல் பார்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
மூடுகிறது
குழுவாக்கப்பட்ட தரவுகளின் பரவலைப் புரிந்துகொள்வதற்கு, அதிர்வெண் பலகோணங்கள் மிகவும் பயனுள்ள ஒரு புள்ளிவிவரக் காட்சிப்படுத்தல் வடிவமாகும். வகுப்பு மையப்புள்ளிகள் மற்றும் அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அதிர்வெண் பலகோணங்கள் தரவு வடிவங்களின் தெளிவான சித்திரத்தை அளிக்கின்றன, குழுக்களிடையே எளிதாக ஒப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் மேலதிக பகுப்பாய்வை மேற்கொள்வதற்கு முன்பு பரவலின் பண்புகளை அடையாளம் காண ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு உதவுகின்றன. புள்ளிவிவர நடைமுறையில், அதிர்வெண் பலகோணங்களைப் படித்து உருவாக்கும் திறன், குறிப்பாக அளவுசார் தரவுப் பகுப்பாய்விற்கு, ஒரு அத்தியாவசியமான அடிப்படைத் திறனாகும். சரியான வகுப்பு அமைப்பு மற்றும் கவனமான விளக்கத்துடன், தரவு சார்ந்த முடிவெடுப்பதை ஆதரிப்பதற்கு அதிர்வெண் பலகோணங்கள் ஒரு எளிய ஆனால் சக்திவாய்ந்த கருவியாக இருக்க முடியும்.
