தரவுப் பரவலில் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தின் பகுப்பாய்வு

தரவுப் பரவலில் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தின் பகுப்பாய்வு

புள்ளியியலில், சராசரி அல்லது இடைநிலை போன்ற மைய மதிப்புகளைப் புரிந்துகொள்வது போலவே, தரவுகளின் பரவலைப் புரிந்துகொள்வதும் மிக முக்கியமானது. இரண்டு தரவுத் தொகுப்புகள் ஒரே சராசரியைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் அவற்றின் பரவல்கள் மிகவும் வேறுபட்டவை: ஒன்று சராசரியைச் சுற்றி நெருக்கமாகக் குவிந்திருக்கலாம், மற்றொன்று பரவலாகப் பரவியிருக்கலாம். இங்குதான் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகியவை வருகின்றன—தரவு அதன் மைய மதிப்பிலிருந்து எவ்வளவு வேறுபடுகிறது என்பதற்கான முக்கிய அளவீடுகளாக அவை இருக்கின்றன. இந்தக் கட்டுரை அவற்றின் கருத்துகள், சூத்திரங்கள், விளக்கங்கள் மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வில் அவற்றின் பயன்பாட்டிற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது.

1. தரவுப் பரவல் ஏன் முக்கியமானது?

தரவுப் பரவல், நிலைத்தன்மை மற்றும் இடர் குறித்த தகவல்களை வழங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தேர்வு மதிப்பெண்களைப் பொறுத்தவரை, 'A' மற்றும் 'B' ஆகிய இரு வகுப்புகளின் சராசரியும் 80 ஆக இருக்கலாம். இருப்பினும், 'A' வகுப்பின் மதிப்பெண்களில் உள்ள வேறுபாடு குறைவாக இருந்தால், பெரும்பாலான மாணவர்கள் ஒரே மாதிரியாகச் செயல்படுகிறார்கள் என்று பொருள். இதற்கு நேர்மாறாக, 'B' வகுப்பின் மதிப்பெண்களில் உள்ள வேறுபாடு அதிகமாக இருந்தால், சில மாணவர்கள் மிக அதிக மதிப்பெண்களையும் மற்றவர்கள் மிகக் குறைந்த மதிப்பெண்களையும் பெற்றிருக்க வாய்ப்புள்ளது. வணிகத்தில், விற்பனைத் தரவுகளின் பரவல் வருவாய் நிலைத்தன்மையைக் குறிக்கிறது; நிதியியலில், முதலீட்டு வருமானங்களின் பரவல் இடரின் அளவைக் குறிக்கிறது.

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகலைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், முடிவெடுப்பவர்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய முடியும்:
– ஒரு செயல்முறை நிலையானதா இல்லையா என்பதை மதிப்பிடுங்கள் (எ.கா. தொழிற்சாலை உற்பத்தி).
குழுக்களுக்கு இடையேயான நிலைத்தன்மையை ஒப்பிடுதல் (எ.கா. இரண்டு கற்றல் முறைகள்).
– மதிப்பாய்வு செய்யத் தகுந்த அசாதாரணத் தரவுகளைக் கண்டறிதல்.
கணிப்புகள் மற்றும் மாதிரிகளில் உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மையை மதிப்பிடுதல்.

2. மாறுபாட்டின் அடிப்படைக் கருத்து

மாறுபாடு என்பது ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்பும் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு வர்க்கம் விலகி உள்ளது என்பதை அளவிடுகிறது. விலகல் என்பது தரவு மதிப்புகளுக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். பல மதிப்புகள் சராசரியிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருந்தால், மாறுபாடு அதிகமாக இருக்கும். மதிப்புகள் சராசரிக்கு அருகில் இருந்தால், மாறுபாடு குறைவாக இருக்கும்.

சராசரி \(\bar{x}\) கொண்ட \(x_1, x_2, …, x_n\) என்ற தரவுகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம். ஒவ்வொரு தரவின் விலகல் \(x_i – \bar{x}\) ஆகும். இருப்பினும், விலகல்களை நேரடியாகக் கூட்டினால், அதன் முடிவு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாகவே இருக்கும். ஏனெனில், ஒன்றுக்கொன்று சமன்செய்யும் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை விலகல்கள் உள்ளன. இதைச் சரிசெய்ய, விலகல்கள் அனைத்தும் நேர்மறையாக மாறும் வகையில் அவை வர்க்கப்படுத்தப்படுகின்றன. இங்குதான் மாறுபாடு பிறக்கிறது.

அ) மக்கள்தொகை மாறுபாடு
தரவு முழு மக்கள்தொகையையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகக் கருதப்பட்டால், மக்கள்தொகை மாறுபாடு பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
எங்கே:
– \(N\) என்பது மக்கள்தொகை தரவுகளின் எண்ணிக்கை,
– \(\mu\) என்பது மக்கள்தொகை சராசரி,
– \(\sigma^2\) என்பது மக்கள்தொகை மாறுபாடு ஆகும்.

b) மாதிரி மாறுபாடு
தரவு ஒரு பெரிய மக்கள் தொகையிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மாதிரியாக இருந்தால், மாதிரி மாறுபாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}
\]
வகுப்பான் \(n-1\) பெசல் திருத்தம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மக்கள்தொகைக்கான மாறுபாடு மதிப்பீடு சார்பற்றதாக இருப்பதை உறுதிசெய்யப் பயன்படுகிறது. அடிப்படையில், மாதிரி சராசரியானது தரவுகளிலிருந்தே கணக்கிடப்படுவதால், "சுதந்திரப் படிகளின் இழப்பு" ஏற்படுகிறது, எனவே வகுப்பான் அதற்கேற்ப சரிசெய்யப்படுகிறது.

3. திட்ட விலகல்: மாறுபாட்டின் மூலக்காரணம்

மாறுபாட்டிற்கு ஒரு நடைமுறை குறைபாடு உள்ளது: அதன் அலகுகள், தரவுகளின் அலகுகளின் வர்க்கமாகும். தரவு 'ரூபாயில்' இருந்தால், மாறுபாடு 'ரூபியா²' இல் இருக்கும், இதை நேரடியாகப் புரிந்துகொள்வது கடினம். எனவே, மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமான திட்ட விலக்கத்தை நாம் பயன்படுத்துகிறோம்.

அ) மக்கள்தொகை திட்ட விலகல்
\[
சிக்மா = √σ²
\]

b) மாதிரி திட்ட விலகல்
\[
s = \sqrt{s^2}
\]

திட்ட விலக்கம் அசல் தரவின் அலகுகளையே கொண்டிருப்பதால், அதைப் புரிந்துகொள்வது எளிதாகிறது. அதிக திட்ட விலக்கம், தரவு மிகவும் பரவலாக இருப்பதையும், குறைந்த திட்ட விலக்கம், தரவுத் தொகுப்பு மிகவும் அடர்த்தியாக இருப்பதையும் குறிக்கிறது.

4. எளிய கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டு

உதாரணமாக, தேர்வு மதிப்பெண் தரவுகள்: 70, 75, 80, 85, 90.

1) சராசரியைக் கணக்கிடுக:
\[
\bar{x} = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80
\]

2) ஒவ்வொரு மதிப்பும் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு விலகியுள்ளது என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்:
– 70: \(70-80=-10\)
– 75: \(75-80=-5\)
– 80: (80-80=0)
– 85: (85-80=5)
– 90: (90-80=10)

3) விலகலை வர்க்கப்படுத்துக:
– 100, 25, 0, 25, 100

4) கூட்டவும்:
\[
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 250
\]

5) மாதிரி மாறுபாடு:
\[
s^2 = \frac{250}{5-1} = 62.5
\]

6) மாதிரி திட்ட விலகல்:
\[
s = \sqrt{62.5} \approx 7.91
\]

விளக்கம்: சராசரி மதிப்பெண் 80 ஆகும், மேலும் “வழக்கமாக” மதிப்பெண்கள் சராசரியிலிருந்து சுமார் 7–8 புள்ளிகள் வேறுபடும்.

5. மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தின் விளக்கம்

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் என்பவை வெறும் எண்கள் அல்ல; அவற்றைச் சூழலுக்கு ஏற்பப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்.

– குறைந்த திட்ட விலக்கம்: அதிக நிலைத்தன்மை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளின் அளவில் மிகக் குறைந்த திட்ட விலக்கத்தைக் கொண்ட உற்பத்திச் செயல்முறை, நிலையான தரத்தைக் குறிக்கிறது.
– பெரிய திட்ட விலக்கம்: அதிக மாறுபாடு. முதலீட்டில், வருமானத்தின் அதிக திட்ட விலக்கம் என்பது அதிக நிலையற்ற தன்மையைக் (அதிக இடர்) குறிக்கிறது.
குழுக்களுக்கு இடையேயான ஒப்பீடு: இரண்டு குழுக்களின் சராசரி சமமாகவும், திட்ட விலக்கங்கள் வேறுபட்டும் இருந்தால், குறைந்த விலக்கம் கொண்ட குழு அதிக ஒருபடித்தானதாக இருக்கும்.

இருப்பினும், திட்ட விலக்கம் புறமதிப்புகளால் பாதிக்கப்படக்கூடியது என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். ஒரேயொரு உச்சபட்ச மதிப்பு, மாறுபாட்டையும் திட்ட விலக்கத்தையும் கணிசமாக அதிகரிக்கக்கூடும். எனவே, பரவல் பகுப்பாய்வானது பெரும்பாலும் காட்சிப்படுத்தல்கள் (நிகழ்தகவு வரைபடங்கள், பெட்டி வரைபடங்கள்) அல்லது IQR (இடைக்கால் வீச்சு) போன்ற வலுவான அளவீடுகளால் பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

6. இயல்நிலைப் பரவல் மற்றும் அனுபவ விதிகளுடனான தொடர்பு

ஒரு இயல்நிலைப் பரவலில் (மணி வடிவ வளைவு), திட்ட விலக்கம் மிகவும் வலுவான முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அனுபவ விதி உள்ளது:
– சுமார் 68% தரவுகள் \(\bar{x} \pm 1s\) என்ற வரம்பில் உள்ளன.
– சுமார் 95% தரவுகள் \(\bar{x} \pm 2s\) என்ற வரம்பில் உள்ளன.
– சுமார் 99,7% தரவுகள் \(\bar{x} \pm 3s\) என்ற வரம்பில் உள்ளன.

இந்த விதி, விரைவான விளக்கங்களை அளிக்க உதவுகிறது; உதாரணமாக, ஒரு மதிப்பு "இயல்புக்கு மாறானதா" அல்லது பொதுவான வரம்பிற்குள் உள்ளதா என்பதை மதிப்பிட உதவுகிறது.

7. பல்வேறு துறைகளில் பயன்பாடுகள்

1) கல்வி: மாணவர்களின் தரமதிப்பீடுகளின் பரவலைக் கண்காணித்தல். சிறிய விலகல்கள் சமத்துவமான கற்றல் விளைவுகளைக் குறிக்கின்றன, அதே சமயம் பெரிய விலகல்கள் புரிதலில் உள்ள இடைவெளிகளைக் குறிக்கலாம்.
2) தொழில்துறை: தரக் கட்டுப்பாடு. உற்பத்தி நிலைத்தன்மையை மதிப்பிடுவதற்கு மாறுபாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.
3) நிதி: பங்கு விலை ஏற்ற இறக்கம், முதலீட்டுத் தொகுப்பு வருமானம் மற்றும் முதலீட்டு இடர் ஆகியவற்றை அளவிடுகிறது.
4) உடல்நலம்: ஒரு நோயாளிக் குழுவினரிடையே இரத்த அழுத்தம், சர்க்கரை அளவு அல்லது பிற மருத்துவக் குறிகாட்டிகளில் ஏற்படும் மாறுபாடுகளைக் கவனித்தல்.
5) சமூக ஆராய்ச்சி: கணக்கெடுப்பு பதில்களின் பன்முகத்தன்மையையும், பதிலளிப்பவர்களின் பண்புகளின் பல்வகைத்தன்மையையும் மதிப்பிடுதல்.

8. பொதுவான தவறுகள் மற்றும் நடைமுறை ஆலோசனைகள்

சில பொதுவான தவறுகள்:
– தரவு முழு மக்கள்தொகையாக இருந்தாலும், மாதிரி மாறுபாட்டை (வகுப்பான் \(n-1\)) பயன்படுத்துதல், அல்லது நேர்மாறாக.
மாறுபாட்டை அதன் வர்க்க அலகுகளைக் கருத்தில் கொள்ளாமல் விளக்க வேண்டாம்; விளக்கத்திற்குத் திட்ட விலக்கத்தைப் பயன்படுத்துவதே பாதுகாப்பானது.
அசாதாரணமான தரவுகளைப் புறக்கணிக்கவும்; முதலில் தரவுகளைச் சரிபார்ப்பதே சிறந்தது.
– இயல்பாக்கம் செய்யாமல், வெவ்வேறு அளவுகோல்களைக் கொண்ட தரவுகளுக்கு இடையேயான திட்ட விலக்கங்களை ஒப்பிடவும்; சில சந்தர்ப்பங்களில், மேலும் நியாயமான ஒப்பீட்டிற்காக மாறுபாட்டுக் குணகத்தை (CV) அதாவது \(CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%\) பயன்படுத்தவும்.

மூடுகிறது

தரவுப் பரவலைப் புரிந்துகொள்வதற்கு மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகியவை அடிப்படைக் கருவிகளாகும். மாறுபாடு ஒரு வலுவான கணித அடிப்படையை வழங்குகிறது, அதேசமயம் திட்ட விலக்கம் என்பது அசல் தரவைப் போலவே இருப்பதால், எளிதில் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய ஒரு அளவீட்டை வழங்குகிறது. இந்த இரண்டு அளவீடுகளையும் பயன்படுத்துவதன் மூலம், தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான பரவல் பண்புகளின் நிலைத்தன்மை, இடர் மற்றும் வேறுபாடுகளை நாம் இன்னும் தெளிவாக மதிப்பிட முடியும். தரவுப் பகுப்பாய்வு நடைமுறையில், தரவின் முழுமையான சித்திரத்தை வழங்கவும், மேலும் தகவலறிந்த முடிவுகளை எடுக்கவும், மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகியவை மையப் போக்கு அளவீடுகள் மற்றும் காட்சிப்படுத்தலுடன் இணைந்து சிறப்பாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நீங்கள் விரும்பினால், நான் மேலும் சிக்கலான கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டுகளை (எ.கா. தொகுக்கப்பட்ட தரவு) சேர்க்கலாம், அல்லது திட்ட விலகலுக்கும் z-மதிப்பு மற்றும் புறத்தன்மை கண்டறிதலுக்கும் உள்ள தொடர்பை விளக்கலாம்.