ஒற்றை மற்றும் குழு தரவுகளுக்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடுவதற்கான நுட்பங்கள்

ஒற்றை மற்றும் குழு தரவுகளுக்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடுவதற்கான நுட்பங்கள்

இடைநிலை என்பது புள்ளியியலில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு மையப் போக்கு அளவீடு ஆகும். அனைத்து மதிப்புகளையும் கூட்டி, பின்னர் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கும் சராசரியைப் (மீன்) போலல்லாமல், இடைநிலையானது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தரவுத் தொகுப்பின் "நடு மதிப்பை" வலியுறுத்துகிறது. நிலை மீது கவனம் செலுத்துவதால், ஒரு மதிப்பு மற்றவற்றுடன் ஒப்பிடும்போது மிக அதிகமாகவோ அல்லது மிகக் குறைவாகவோ இருப்பது போன்ற உச்சநிலை மதிப்புகளை (புறநிலை மதிப்புகள்) இடைநிலை ஒப்பீட்டளவில் எதிர்க்கும் திறன் கொண்டது. இதனால்தான் பொருளாதாரத் தரவுப் பகுப்பாய்வு, கல்வி, சமூக ஆராய்ச்சி மற்றும் தேர்வு மதிப்பெண் மதிப்பீடு போன்றவற்றில் இடைநிலை பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்தக் கட்டுரையில், இரண்டு வகையான தரவுகளுக்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடும் நுட்பங்களைப் பற்றி விவாதிப்போம்: ஒற்றைத் தரவு (குழுவாக்கப்படாதது) மற்றும் குழுவாக்கப்பட்ட தரவு (அதிர்வெண் பரவல் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டது). சூத்திரத்துடன், எளிதாகச் செயல்படுத்துவதற்கான நடைமுறை வழிமுறைகளும் இந்த விவாதத்தில் அடங்கும்.

-

1. இடைநிலையின் அடிப்படைக் கருத்து

தரவுகளைச் சிறியதிலிருந்து பெரியதாக வரிசைப்படுத்திய பிறகு கிடைக்கும் நடு மதிப்பே இடைநிலை ஆகும். தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படையாக இருந்தால், இடைநிலை என்பது துல்லியமான நடு மதிப்பாகும். தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படையாக இருந்தால், இடைநிலை என்பது நடுவில் உள்ள இரண்டு மதிப்புகளின் சராசரியாகும்.

உள்ளுணர்வின்படி, இடைநிலை தரவை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது:
– 50% தரவுகள் இடைநிலைக்குக் கீழே (அல்லது சமமாக) உள்ளன.
– 50% தரவுகள் இடைநிலைக்கு மேல் (அல்லது சமமாக) உள்ளன.

இடைநிலை என்பது வரிசை அடிப்படையிலானது என்பதால், கிட்டத்தட்ட எப்போதும் தேவைப்படும் முதல் படி, தரவுகளை வரிசைப்படுத்துவதே ஆகும்.

-

2. ஒற்றைத் தரவுகளுக்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடுதல்

ஒற்றைத் தரவு என்பது, குழுத் தரவில் உள்ளது போல இடைவெளிப் பிரிவுகளில் சுருக்கப்படாமல், உள்ளபடியே வழங்கப்படும் தரவு ஆகும் (எடுத்துக்காட்டாக, மாணவர்களின் மதிப்பெண் பட்டியல்).

அ. பொதுவான படிகள்

1. தரவுகளைச் சிறிய மதிப்பிலிருந்து பெரிய மதிப்பிற்கு வரிசைப்படுத்தவும்.
2. தரவுகளின் அளவை, எடுத்துக்காட்டாக n, நிர்ணயிக்கவும்.
3. நடுக்கோட்டின் நிலையைத் தீர்மானிக்கவும்:
– n ஒற்றை எண்ணாக இருந்தால், இடைநிலை \((n+1)/2\) என்ற இடத்தில் இருக்கும்.
– n இரட்டை எண்ணாக இருந்தால், இடைநிலை என்பது \(n/2\) மற்றும் \((n/2)+1\) ஆகிய நிலைகளில் உள்ள தரவுகளின் சராசரியாகும்.

B. ஒற்றைத் தரவுகளுக்கான இடைநிலை சூத்திரம்

– n ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருந்தால்:
\[
Me = x_{(n+1)/2}
\]
இதன் பொருள், இடைநிலை என்பது \((n+1)/2\) ஆவது வரிசையில் உள்ள தரவு மதிப்பாகும்.

– n இரட்டை எண்ணாக இருந்தால்:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]

C. ஒற்றைத் தரவுக்கான எடுத்துக்காட்டு (n ஒற்றைப்படை)

தரவுகள்: 7, 2, 9, 4, 3
1) வரிசைப்படுத்து: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (ஒற்றைப்படை)
3) இடைநிலை நிலை = \((5+1)/2 = 3\)
இடைநிலை = 3வது தரவு = 4

எனவே, தரவுகளின் இடைநிலை 4 ஆகும்.

D. ஒற்றைத் தரவுக்கான எடுத்துக்காட்டு (n இரட்டைப்படை)

தரவுகள்: 10, 4, 6, 8
1) வரிசைப்படுத்து: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (இரட்டை எண்)
3) நடு நிலை என்பது 2வது மற்றும் 3வது தரவு ஆகும்.
இடைநிலை = \((6 + 8)/2 = 7\)

எனவே, தரவுகளின் இடைநிலை 7 ஆகும்.

இ. முக்கிய குறிப்பு: அதிர்வெண் கொண்ட தரவு

சில நேரங்களில் ஒரு தரவுத் தொகுப்பு ஒரு மதிப்பாகவும் அதிர்வெண்ணாகவும் கொடுக்கப்படலாம் (எ.கா., 60 இரண்டு முறை தோன்றுகிறது, 70 ஐந்து முறை தோன்றுகிறது). இந்த நிலையில், தரவுகளின் "வரிசைப்படுத்தலின்" அடிப்படையில் இடைநிலை கண்டறியப்படுகிறது, ஆனால் தரவுப் புள்ளிகளைத் தனித்தனியாகப் பட்டியலிடாமல் இடைநிலை நிலையைத் தீர்மானிக்க நாம் திரள் அதிர்வெண்ணைப் பயன்படுத்தலாம். கொள்கை ஒன்றுதான்: (n+1)/2வது நிலையை (ஒற்றைப்படை) அல்லது (n/2) மற்றும் (n/2)+1வது நிலையை (இரட்டைப்படை) கண்டறிந்து, பின்னர் திரள் அதிர்வெண்ணின் அடிப்படையில் அந்த நிலையை உள்ளடக்கும் மதிப்புகளைப் பார்க்க வேண்டும்.

-

3. தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடுதல்

தொகுக்கப்பட்ட தரவு என்பது வகுப்பு இடைவெளிகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்வெண்களாகச் சுருக்கப்பட்ட தரவு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக: 150–154 செ.மீ உயரம் கொண்ட 3 நபர்கள், 155–159 செ.மீ உயரம் கொண்ட 8 நபர்கள், மற்றும் பல. தனிப்பட்ட தரவைப் போலல்லாமல், தொகுக்கப்பட்ட தரவின் இடைநிலை பொதுவாகத் துல்லியமாக நிர்ணயிக்கப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அந்த இடைவெளிக்குள் உள்ள தனிப்பட்ட மதிப்புகள் நமக்குத் தெரியாது. எனவே, தொகுக்கப்பட்ட பரவல்களுக்கான இடைநிலை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தோராயத்தின் (மதிப்பீட்டின்) மூலம் இடைநிலை கணக்கிடப்படுகிறது.

அ. குழுத் தரவு இடைநிலையில் உள்ள முக்கிய சொற்கள்

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், நாம் பல கூறுகளைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்:

– n = மொத்த நிகழ்வெண் (மொத்த தரவுகளின் எண்ணிக்கை)
– n/2 = ஒட்டுமொத்த இடைநிலை நிலை
– இடைநிலை வகுப்பு = n/2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட திரள் நிகழ்வெண்ணைத் தரும் முதல் இடைவெளி வகுப்பு
– L = இடைநிலை வகுப்பின் கீழ் விளிம்பு (கீழ் எல்லை அல்ல, வகுப்பின் விளிம்பு; தொடர்ச்சியான தரவுகளுக்கு, அவை முழு எண்களாக இருந்தால் பொதுவாக 0,5 சரிசெய்தல் பயன்படுத்தப்படும்)
– F = இடைநிலை வகுப்பிற்கு முந்தைய திரள் நிகழ்வெண்
– f = இடைநிலை வகுப்பு அதிர்வெண்
– c = வகுப்பு நீளம் (இடைவெளி அகலம்)

B. குழுத் தரவுகளின் இடைநிலையைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறைகள்

1. ஒரு நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணையை உருவாக்கி, அதில் ஒரு திரள் நிகழ்வெண் பத்தியைச் சேர்க்கவும்.
2. n (அதிர்வெண்களின் எண்ணிக்கை) ஐக் கணக்கிட்டு, n/2 ஐத் தீர்மானிக்கவும்.
3. திரள் நிகழ்வெண்ணின் அடிப்படையில் n/2 இடங்களை உள்ளடக்கிய வகுப்பான இடைநிலை வகுப்பைத் தீர்மானிக்கவும்.
4. குழுத் தரவுகளுக்கான இடைநிலை சூத்திரத்தில் மதிப்புகளை உள்ளிடவும்.

C. குழுத் தரவுகளுக்கான இடைநிலை சூத்திரம்

\[
Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]

வகுப்பு இடைவெளியில் தரவு சீராகப் பரவியுள்ளது எனக் கருதி, இந்த சூத்திரம் இடைநிலை வகுப்பிற்குள் நேரியல் இடைச்செருகலைச் செய்கிறது.

D. குழுத் தரவுகளின் இடைநிலைக்கான எடுத்துக்காட்டு

உதாரணமாக, பின்வரும் தேர்வு மதிப்பெண் தரவுகள்:

மதிப்பு இடைவெளி | அதிர்வெண் (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |

1) மொத்த நிகழ்வெண்:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) n/2 ஐக் கணக்கிடுக:
\[
n/2 = 20
\]

3) ஒட்டுமொத்த நிகழ்வெண்:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40

நிலை 20 என்பது, முதல் ஒட்டுமொத்த மதிப்பெண் ≥ 20 ஆக உள்ள, அதாவது 60–69 என்ற வகுப்பில் உள்ளது. எனவே இது இடைநிலை வகுப்பு ஆகும்.

4) கூறுகளைத் தீர்மானிக்கவும்:
– L = இடைநிலை வகுப்பின் கீழ் விளிம்பு. 60–69 என்ற இடைவெளிக்கு, கீழ் விளிம்பு 59,5 ஆகும் (தரவு ஒரு முழு எண் மதிப்பாக இருந்தால்).
– F = இடைநிலை வகுப்புக்கு முந்தைய திரள் நிகழ்வெண் = 13
– f = இடைநிலை வகுப்பு அதிர்வெண் = 12
– c = வகுப்பு நீளம் = 10

5) சூத்திரத்தில் உள்ளிடவும்:
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10
\]
\[
Me = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\times 10
\]
\[
Me = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]

எனவே, குழுத் தரவுகளின் இடைநிலை மதிப்பு தோராயமாக 65,33 ஆகும்.

-

4. பொதுவான தவறுகள்

இடைநிலையைக் கணக்கிடும்போது செய்யப்படும் சில பொதுவான தவறுகள்:

1. ஒற்றைத் தரவை வரிசைப்படுத்தாததால், நடு மதிப்பு துல்லியமாக இல்லை.
2. n இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்போது இடைநிலையின் நிலையைத் தவறாகத் தீர்மானித்தல் (நடுவில் உள்ள இரண்டு மதிப்புகளின் சராசரியை எடுக்க வேண்டும்).
3. குழுத் தரவுகளுக்கு இடைநிலை வகுப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது தவறானது, ஏனெனில் அது ஒரு திரள் நிகழ்வெண்ணை உருவாக்குவதில்லை.
4. தரவு தொடர்ச்சியான/இடைவெளி முழு எண்களாக இருக்கும்போது, ​​கீழ் விளிம்பு (L) வகுப்பின் கீழ் எல்லையைப் பயன்படுத்துதல்.
5. வகுப்பு நீளத்தை (c) தவறாகக் கண்டறிதல், குறிப்பாக இடைவெளிகள் சீரற்றதாக இருக்கும்போது.

-

5. முடிவுரை

இடைநிலை என்பது மையப் போக்கின் ஒரு எளிய ஆனால் சக்திவாய்ந்த அளவீடு ஆகும், குறிப்பாகத் தரவுகளில் உச்சநிலை மதிப்புகள் இருக்கும்போது இது பயன்படுகிறது. ஒற்றைத் தரவுத் தொகுப்புகளைப் பொறுத்தவரை, தரவுகள் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு, ஒற்றை மற்றும் இரட்டை எண்ணிக்கையிலான தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு வெவ்வேறு விதமாகக் கையாளப்பட்டு, நடுநிலையானது நேரடியாக அதன் மைய நிலையிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதே சமயம், தொகுக்கப்பட்ட தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு, இடைநிலை வகுப்பு, திரள் நிகழ்வெண் மற்றும் வகுப்பு நீளம் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் அமைந்த ஒரு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இடைநிலை கணக்கிடப்படுகிறது.

கருத்தையும் அதற்கான வழிமுறைகளையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், எளிய தரவுகளிலும் அட்டவணைகளில் தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளிலும் இடைநிலையை விரைவாகவும் துல்லியமாகவும் கணக்கிடலாம். பல பகுப்பாய்வுச் சூழ்நிலைகளில், குறிப்பாகத் தரவுப் பரவல் சமச்சீரற்றதாகவோ அல்லது புறமதிப்புகளைக் கொண்டதாகவோ இருக்கும்போது, ​​சராசரியை விட இடைநிலையே மிகவும் பொருத்தமான தேர்வாக அமைகிறது.

நீங்கள் விரும்பினால், தனிநபர் மற்றும் குழுத் தரவுகளின் இடைநிலை குறித்த உங்கள் புரிதலை வலுப்படுத்த, கலந்துரையாடல்களுடன் பயிற்சி வினாக்களையும் என்னால் சேர்க்க முடியும்.