Huinga
Pendahuluan
I roto i te pāngarau, ko te huinga he ariā taketake e whakamahia ana hei whakatau i te maha o ngā huarahi hei tīpako i tētahi huinga o ngā mea me te kore e aro ki tō rātou raupapa. He maha ngā whakamahinga o ngā huinga i roto i ngā momo mara pūtaiao, tae atu ki ngā tatauranga, te tūponotanga, me te rorohiko, tae atu ki ngā mahi o ia rā, pērā i te whakarite wā, ngā kēmu kāri, me ētahi atu. Ka tūhuratia e tēnei tuhinga te ariā o ngā huinga, ngā tātai e whakamahia ana, me ētahi o ā rātou tono mahi.
Te Whakamāramatanga o te Huinga
Ko te huinga he huarahi hei tīpako i te maha o ngā mea mai i tētahi huinga, me te kore e aro ki te raupapa i tīpakohia ai. Mena he \( n \) ngā mea rerekē, ā, e hiahia ana tātou ki te tīpako i ngā \( r \) mea mai i te huinga, ka taea te whakaatu i te huinga mā te tuhi \( C(n, r) \) me \( \binom{n}{r} \).
Tātai Whakakotahitanga
Ko te tātai mō te tatau i te maha o ngā huinga \( \binom{n}{r} \) ko:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (nr)!} \]
Ko te \( n! \) (pānuihia "n factorial") ko te hua o ngā tauoti pai katoa tae atu ki te \( n \). Hei tauira, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).
Tauira Tātaitanga Huinga
Mehemea e rima ā tātou taonga rerekē, ā, e hiahia ana tātou ki te tīpako i ētahi taonga e toru mai i te huinga. E hia ngā huarahi ka taea e tātou te mahi i tēnei?
Mā te whakamahi i te tātai whakakotahi:
\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \]
Nō reira, e 10 ngā huarahi hei whiriwhiri i ngā taonga e 3 mai i ngā taonga e 5, me te kore e aro ki te raupapa.
Ngā Huinga i roto i te Tūponotanga
He maha ngā wā ka whakamahia ngā huinga i roto i te tūponotanga hei whakatau i te tūponotanga o tētahi huihuinga. Hei tauira, i roto i ngā kēmu kāri, ka taea e tātou te whakamahi i ngā huinga hei tatau i te tūponotanga o te whiwhi i tētahi ringaringa.
Tauira 1: Kēmu Kāri
Me kī, me tatau tātou i te tūponotanga o te whiwhinga o tētahi takirua kāri Āce i roto i ngā kāri e rima mai i tētahi kete kāri paerewa o ngā kāri 52. Ka taea e tātou te whakamahi i ngā huinga kāri hei tatau i te tapeke o ngā huarahi hei whiriwhiri i ngā kāri e rima mai i ngā kāri 52, me te maha o ngā huarahi hei whiriwhiri i ngā Āce e rua mai i ngā Āce e whā.
Ngā huarahi katoa hei whiriwhiri i te 5 kāri mai i te 52:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Me pēhea te whiriwhiri i ngā Āce e 2 mai i ngā Āce e 4:
\[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]
Me pēhea te whiriwhiri i ngā kāri e 3 mai i ngā kāri e 48 e toe ana (nā te mea kua whiriwhiria kētia ngā kāri e 2 mai i ngā Āke e 4):
\[ \binom{48}{3} = \frac{48!}{3! \cdot 45!} \]
Nā, ko te tūponotanga o te whiwhi i ngā Ace e rua i roto i tētahi ringaringa kāri e rima ko:
\[ P = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} \]
Ngā Huinga i roto i ngā Tatauranga
I roto i ngā tatauranga, ka whakamahia ngā huinga i roto i ngā momo tātaritanga, tae atu ki te tauira me te whakamātautau whakapae. Ka āwhina ngā huinga ki te whakatau i te maha o ngā huarahi hei whiriwhiri i tētahi tauira motuhake mai i tētahi taupori.
Tauira 2: Te Tauira
Mehemea he 20 tā tātou taupori, ā, e hiahia ana tātou ki te whiriwhiri i tētahi tauira o te 4 tāngata. Ka taea e tātou te whakamahi i ngā huinga hei whakatau i te maha o ngā huarahi hei whiriwhiri i taua tauira.
\[ \binom{20}{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} \]
He mea nui tēnei tau mō ngā tātaritanga tatauranga, pērā i ngā tataunga tūponotanga, i te whakatau tata rānei i ngā tawhā.
Te Whakakotahitanga me te Ariā Tau
He mea nui anō hoki ngā huinga i roto i te ariā tau, inā koa i roto i te horopaki o ngā tauwehenga rua-ira me ētahi atu tuakiri pāngarau. Hei tauira, ka whakamahia e te Ariā Rua-ira ngā huinga hei whakawhanake i ngā kīanga taurangi.
Te ariā rua-ira
E mea ana te ariā Binomial:
\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{nk} y^k \]
I konei, ko te tauwehenga rua-ira \( \binom{n}{k} \) e tohu ana i te maha o ngā huarahi hei whiriwhiri i ngā mea \( k \) mai i ngā mea \( n \).
Ngā Whakamahinga Whakakotahi i roto i te Oranga o Ia Rā
Kāore te ariā o ngā whakakotahitanga e herea noa ki te pāngarau ariā, engari he maha ngā tono mahi i roto i te oranga o ia rā.
Tauira 3: Ngā Tautuhinga Whakarite
Me kī e rima ā tātou mahi hei whakaoti i roto i te wiki, ā, e hiahia ana tātou ki te whiriwhiri i te toru hei mahi i te Rāhina. Ka taea e tātou te whakamahi i ngā huinga hei whakatau i te maha o ngā huarahi hei whiriwhiri i te toru o ngā mahi mai i aua rima.
\[ \binom{5}{3} = 10 \]
Nō reira, e tekau ngā huarahi hei whakarite i te kaupapa.
Tauira 4: Ngā Kōwhiringa Kai
Me kī he tahua kai tā tātou me ngā whiringa kai e 10, ā, e hiahia ana tātou ki te whiriwhiri i ngā rihi e 4 mō tētahi pāti. Ka taea e tātou te whakamahi i ngā huinga hei whakatau i te maha o ngā huarahi hei whiriwhiri i ngā rihi e 4 mai i ngā rihi e 10.
\[ \binom{10}{4} = 210 \]
Nō reira, e 210 ngā huarahi hei whiriwhiri i ngā kai e 4 mai i ngā kōwhiringa e 10.
Whakamutunga
He ariā nui ngā huinga i roto i te pāngarau, ā, he whānuitia te whakamahinga i roto i ngā momo mara pūtaiao me te oranga o ia rā. Mā te mārama ki te ariā o ngā huinga me te pēhea te tatau i a rātou, ka taea e tātou te whakaoti ngāwari i ngā raruraru maha e pā ana ki te whiriwhiri i ngā mea me te kore e aro ki te raupapa. He āwhina ngā huinga i roto i ngā tataunga tūponotanga, te tātari tatauranga, te ariā tau, tae noa ki te whakarite i ngā mahi o ia rā. Ko te tumanako, kua whakaratohia e tēnei tuhinga he māramatanga pai ake mō ngā huinga me ō rātou whai huatanga i roto i ngā horopaki maha.
