Tauira Pātai me te Kōrero mō ngā Pūwāhi Tino Rahi: Te Uara Whakahoki Iti rawa me te Uara Whakahoki Mōrahi
Ko te whakatau i ngā pūwāhi tino nui, arā, ngā pūwāhi e tae atu ai tētahi mahi ki tōna uara iti rawa, mōrahi rānei, he ariā matua tēnei i roto i te tātaitai me te tātari pāngarau. I roto i tēnei tuhinga, ka tūhuratia e mātou me pēhea te kimi me te tātari i ngā pūwāhi tino nui mā roto i ētahi tauira rapanga e pā ana ki ngā uara whakahoki iti rawa me te mōrahi.
Ngā Whakamāramatanga Kaupapa me ngā Ariā
I mua i te matapaki i ngā tauira rapanga, me mārama tātou ki ētahi ariā me ngā ariā matua:
1. Pūwāhi Aromatawai: Ko te uara o \( x \) ina kore, kāore rānei i te tīariari te pānga tuatahi \( f'(x) \) o te mahi \( f(x) \).
2. Uara Whakahoki Mōrahi: Ko te uara o \( f(x) \) he nui ake i te uara o \( f(x) \) huri noa i taua pūwāhi.
3. Uara Whakahoki Mōkito: Ko te uara o \( f(x) \) he iti iho i te uara o \( f(x) \) huri noa i taua pūwāhi.
4. Te Ariā a Fermat: Mena he uara tino ā-rohe tō \( f \) kei \( c \) ā, kei reira te tauwehenga \( f'(c) \), ko \( f'(c) = 0 \).
Tauira Pātai 1: Mahi Tapawhā
Tuatahi, ka tīmata tātou me tētahi mahi tapawhā māmā:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Ngā Hipanga:
1. Kimihia te taupū tuatahi o \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Kimihia ngā pūwāhi matua mā te whakaoti rapanga \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \te tikanga x = 1
\]
3. Whakatauhia te uara o te mahi i te pūwāhi matua:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Whakamahia te tuarua o ngā tauwhitinga hei whakatau i te āhua o te pūwāhi:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Nā te mea ko te \( f”(1) > 0 \), ko te pūwāhi \( x = 1 \) he pūwāhi iti rawa ā-rohe.
Tauira Pātai 2: Ngā Mahi Pūrau
Nā, me whakamātau tātou ki tētahi mahi pūrau uaua ake:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Ngā Hipanga:
1. Whakatauhia te pānga tuatahi \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Kimihia ngā pūwāhi matua mā te whakaoti rapanga \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \te tikanga 3x(x – 2) = 0 \te tikanga x = 0 \text{ or } x = 2
\]
3. Whakatauhia te uara o te mahi i te pūwāhi matua:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Whakamahia te tuarua o ngā tauwhitinga hei whakatau i te āhua o te pūwāhi:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{uara mōrahi ā-rohe})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{uara iti rawa o te rohe})
\]
Nō reira, ko te mōrahi ā-rohe o \( g(x) \) kei \( x = 0 \) me te mōrahi ā-rohe kei \( x = 2 \).
Tauira Pātai 3: Ngā Mahi Whakawhitiwhiti
Me titiro tātou ki tētahi mahi e whakamahi ana i te taupūtanga:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Ngā Hipanga:
1. Whakatauhia te pānga tuatahi \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. Kimihia te pūwāhi matua mā te whakaoti rapanga \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]
3. Whakatauhia te uara o te mahi i te pūwāhi matua:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Whakamahia te tuarua o ngā tauwhitinga hei whakatau i te āhua o te pūwāhi:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Karena \( h”(1) < 0 \), titik \( x = 1 \) adalah titik maksimum lokal.
Contoh Soal 4: Fungsi Rasional
Terakhir, kita evaluasi fungsi rasional:
\[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]
Langkah-langkah:
1. Tentukan turunan pertama menggunakan aturan hasil bagi:
\[
k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2}
\]
2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( k'(x) = 0 \):
\[
\frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2}
\]
3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik:
\[
k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2}
\]
\[
k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2}
\]
4. Gunakan turunan kedua untuk memeriksa sifat titik tersebut:
\[
k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right)
\]
Penghitungan lebih lanjut dapat dilakukan dengan menurunkan kembali \( k'(x) \) yang hasilnya akan menunjukkan apakah \( x = \sqrt{2} \) dan \( x = -\sqrt{2} \) adalah titik maksimum atau minimum lokal.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal yang menunjukkan cara mencari titik ekstrim, yaitu nilai balik minimum dan nilai balik maksimum, dari berbagai jenis fungsi. Teknik yang digunakan meliputi mencari turunan pertama untuk menemukan titik kritik, menggunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik, dan mengevaluasi fungsi pada titik-titik tersebut. Ini adalah dasar yang kuat untuk menyelami lebih dalam analisis fungsional dalam kalkulus.
