Ngā Tauira Pātai Kōrero Te Whakaoti Rapanga me ngā Mahi Tapawhā
I roto i tēnei tuhinga, ka ako tātou me pēhea te whakaoti rapanga mā te whakamahi i ngā mahi tapawhā mā te whakarato tauira me ngā kaupae matapaki taipitopito. Ko te mahi tapawhā he mahi pūrau tuarua-tohu e whai ana i te āhua whānui \( ax^2 + bx + c \), ko \( a \), \( b \), me \( c \) he pūmau, ā, ko \( a \neq 0 \). He maha ngā wā ka puta ngā mahi tapawhā i roto i ngā horopaki rerekē i roto i te ahupūngao, te ōhanga, me te hangarau, ā, he kaupapa tino nui hei ako.
Me tīmata tātou mā te matapaki i ētahi ariā taketake, kātahi ka uru atu ki ētahi tauira rapanga.
Ngā Ariā Taketake o ngā Mahi Tapawhā
1. Āhua Whānui: Ka whakaatuhia te mahi tapawhā penei \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
2. Pūtake Tapawhā: Ka kitea ngā pūtake o te whārite tapawhā \( ax^2 + bx + c = 0 \) mā te whakamahi i te tātai tapawhā, arā:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
3. Whakawehewehe: Ko te whakawehewehe o tētahi whārite tapawhā ko \( D = b^2 – 4ac \). Ko te uara o te whakawehewehe e tohu ana i te āhua o ngā pūtake o te whārite tapawhā:
– Mēnā ko \( D > 0 \), e rua ōna pūtake tūturu motuhake.
– Mēnā ko \( D = 0 \), kotahi tōna pūtake tūturu (pūtake māhanga).
– Jika \( D < 0 \), memiliki dua akar kompleks konjugat.
4. Puncak Parabola: Koordinat puncak dari parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat dapat ditemukan dengan rumus:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
Untuk nilai \( y \) pada puncak, dapat dihitung dengan mensubstitusi \( x \) ke fungsi kuadrat.
5. Sumbu Simetri: Garis vertikal yang membagi parabola secara simetris mempunyai persamaan \( x = -\frac{b}{2a} \).
6. Pembukaan Parabola: Arah pembukaan parabola bergantung pada tanda koefisien \( a \):
- Jika \( a > 0 \), parabola terbuka ke atas.
– Ki te \( a < 0 \), ka tuwhera te parabola ki raro. Me ēnei ariā taketake katoa i roto i te hinengaro, me titiro tātou me pēhea te whakamahi i ēnei ki te whakaoti rapanga. Tauira Rapanga 1: Te Kimi i ngā Pūtake o tētahi Mahi Tapawhā Rapanga: Kimihia ngā pūtake o te whārite tapawhā \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). Otinga: Hei kimi i ngā pūtake o tētahi whārite tapawhā, ka taea e tātou te whakamahi i te tātai tapawhā. Ko ngā mahi e whai ake nei: 1. Tāutuhia ngā tauwehenga \( a \), \( b \), me \( c \): \[ a = 2, \quad b = -3, \quad c = -2 \] 2. Tātaihia te wehewehe: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] 3. Mai i te \( D > 0 \), ka rua ā tātou pūtake tūturu motuhake. Haere tonu mā te tatau i ēnei pūtake:
\[
x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}
\]
4. Tātaihia ngā uara e rua o \( x \):
\[
x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \text{and} \quad x_2 = \frac{3 – 5}{4} = -\frac{1}{2}
\]
Nō reira, ko ngā pūtake o te whārite \( 2x^2 – 3x – 2 = 0 \) ko \( x = 2 \) me \( x = -\frac{1}{2} \).
Tauira Pātai 2: Te Kimi i ngā Taunga o te Puku o te Parabola
Pātai:
Kimihia ngā taunga o te tihi o te mahi tapawhā \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \).
Kōrero:
Hei kimi i ngā taunga o te tihi, whakamahia te tātai taunga tihi:
1. Tāutuhia ngā taunga tau \( a \) me \( b \):
\[
a = 3, \quad b = -6
\]
2. Tātaihia te \( x \) kei runga:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1
\]
3. Tātaihia te \( y \) mā te whakakapi i te \( x = 1 \) ki roto i te mahi \( f(x) \):
\[
f(1) = 3(1)^2 – 6(1) + 2 = 3 – 6 + 2 = -1
\]
Nō reira, ko ngā taunga o te tihi o te mahi \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \) ko \( (1, -1) \).
Tauira Pātai 3: Te Whakatau i te Aronga Tīmatanga o te Parabola
Pātai:
Whakatauhia te ahunga o te whakatuwheratanga o te parabola o te mahi tapawhā \( f(x) = -x^2 + 4x – 7 \).
Kōrero:
Hei whakatau i te ahunga o te whakatuwheratanga o te parabola, ka titiro noa tātou ki te tohu o te tauwehenga \( a \):
1. Tāutuhia te tauwehenga \( a \):
\[
a = -1
\]
2. Karena \( a < 0 \), parabola terbuka ke bawah. Jadi, arah pembukaan parabola dari fungsi \( f(x) = -x^2 + 4x - 7 \) adalah ke bawah. Contoh Soal 4: Mengaplikasikan Fungsi Kuadrat dalam Konteks Nyata Soal: Sebuah bola dilempar dari tanah dengan persamaan kuadrat \( h(t) = -5t^2 + 20t \), di mana \( h \) adalah tinggi bola dalam meter dan \( t \) adalah waktu dalam detik. Berapa waktu yang dibutuhkan bola mencapai tinggi maksimum, dan berapa tinggi maksimumnya? Pembahasan: 1. Temukan waktu di mana tinggi maksimumnya dicapai (koordinat puncak): \[ a = -5, \quad b = 20 \] \[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = \frac{20}{10} = 2 \quad \text{detik} \] 2. Hitung tinggi maksimum dengan mensubstitusi \( t \) ke persamaan \( h(t) \): \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \quad \text{meter} \] Jadi, waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai tinggi maksimum adalah 2 detik, dan tinggi maksimumnya adalah 20 meter. Kesimpulan Dalam artikel ini, kita telah membahas berbagai aspek penting dari fungsi kuadrat serta cara menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi kuadrat melalui beberapa contoh soal. Membahas akar-akar persamaan kuadrat, menemukan koordinat puncak, menentukan arah pembukaan parabola, hingga menerapkan fungsi kuadrat dalam konteks nyata seperti menggambarkan gerak benda. Dengan pemahaman yang kuat tentang konsep-konsep dasar ini, Anda akan dapat menghadapi berbagai masalah matematika dan ilmu pengetahuan yang melibatkan fungsi kuadrat dengan lebih percaya diri. Fungsi kuadrat tidak hanya penting dalam teori tetapi juga sangat berguna dalam aplikasi dan pemecahan masalah nyata di berbagai bidang.
