Dull Jackknife mewn Ystadegau
Mae'r dull cyllell jac yn dechneg ail-samplu bwysig mewn ystadegaeth, yn enwedig ar gyfer mesur ansicrwydd amcangyfrif. Defnyddir y cyllell jac yn aml i amcangyfrif tuedd ac amrywiant amcangyfrifwr, yn ogystal ag i lunio mesurau manwl gywirdeb fel y gwall safonol. Mae'r dechneg hon yn gymharol syml, nid yw'n gofyn am dybiaethau dosbarthiadol rhy gaeth, a gellir ei chymhwyso i ystod eang o broblemau, o ystadegaeth glasurol i ddadansoddi data modern.
Cefndir a syniadau sylfaenol
Cyflwynwyd y cyllell boced gan Maurice Quenouille ac yn ddiweddarach cafodd ei phoblogeiddio gan John Tukey. Mae'r enw "cyllell boced" wedi'i ysbrydoli gan gyllell boced amlbwrpas, gan fod y dull yn hyblyg a gellir ei ddefnyddio mewn amrywiaeth o gyd-destunau. Y syniad sylfaenol yw hwn: os oes gennym sampl o faint n, rydym yn creu sawl "sampl ffug" trwy dynnu un arsylwad bob tro, ac yna ailgyfrifo'r amcangyfrif ar bob sampl. Trwy arsylwi sut mae'r amcangyfrif yn newid pan gaiff un arsylwad ei dynnu, rydym yn cael cipolwg ar sefydlogrwydd yr amcangyfrif dros amrywiad yn y data.
Er enghraifft, tybiwch fod gennym ddata \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ac eisiau amcangyfrif paramedr \(\theta\) gan ddefnyddio'r amcangyfrifydd \( \hat{\theta}=t(x_1,\dots,x_n)\). Yn jackknife, rydym yn ffurfio n is-sampl o faint \(n-1\), sef yr \(i\)fed is-sampl sy'n dileu \(x_i\). Yna rydym yn cyfrifo:
\[
\hat{\theta}_{(i)} = t(x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n)
\]
Gelwir y gwerth \(\hat{\theta}_{(i)}\) yn amcangyfrif gadael-un-allan.
Camau dull Jackknife
Yn weithdrefnol, gellir esbonio jackknife yn y camau canlynol:
1. Cyfrifwch yr amcangyfrifwr ar y data cyflawn
Cyfrifwch \(\hat{\theta}\) dros y sampl gyfan.
2. Creu n is-samplau gadael-un-allan
Ar gyfer pob \(i = 1,2,\dots,n\), tynnwch yr arsylwad \(x_i\) a chyfrifwch yr amcangyfrif \(\hat{\theta}_{(i)}\).
3. Cyfrifwch gyfartaledd yr amcangyfrifwr cyllell jac
Cyfartaledd gadael un allan:
\[
\bar{\theta}_{(\cdot)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat{\theta}_{(i)}
\]
4. Amcangyfrif amrywiant (neu wall safonol)
Fel arfer cyfrifir amrywiant y cyllell jac gyda:
\[
\widehat{\mathrm{Var}}_{J}(\hat{\theta}) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\hat{\theta}_{(i)} – \bar{\theta}_{(\cdot)}\right)^2
\]
Y gwall safonol yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant.
5. Amcangyfrif rhagfarn a chywiro rhagfarn (dewisol)
Gall Jackknife hefyd amcangyfrif rhagfarn drwy:
\[
\widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta}) = (n-1)\chwith(\bar{\theta}_{(\cdot)} - \hat{\theta}\iawn)
\]
Gellir cywiro rhagfarn drwy:
\[
\hat{\theta}_{J} = \hat{\theta} – \widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta})
\]
Dehongliad: os yw'r cymedr lle na chaiff un ei gynnwys yn wahanol i'r amcangyfrifwr llawn yn systematig, mae arwydd o duedd y gellir ei gywiro.
Enghraifft reddfol: cymedr sampl
I ddeall y cyllell jac yn reddfol, ystyriwch amcangyfrif cymedr y sampl:
\[
\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\]
Os tynnwn un arsylwad \(x_i\), mae'r cymedr yn dod yn:
\[
\hat{\mu}_{(i)} = \frac{1}{n-1}\sum_{j\ne i} x_j
\]
Yn achos cyfartaleddau, nid yw'r gyllell gefn yn darparu "syndod" mawr oherwydd bod y cyfartaledd yn sefydlog a'r rhagfarn yn fach (mewn llawer o gyd-destunau). Fodd bynnag, ar gyfer amcangyfrifon mwy cymhleth—megis y canolrif, cyfernod atchweliad penodol, cydberthynas, neu ystadegyn anlinellol—gall y newid sy'n deillio o gael gwared ar un pwynt data ddatgelu sensitifrwydd yr amcangyfrif a chynhyrchu amcangyfrif defnyddiol o'i wall safonol.
Ffugwerth: cysyniad pwysig mewn cyllell jackknife
Mewn rhai trafodaethau, mae jackknife yn cyflwyno ffug-werth ar gyfer pob arsylwad:
\[
\theta_i^{ } = n\hat{\theta} – (n-1)\hat{\theta}_{(i)}
\]
Yna gellir ysgrifennu'r amcangyfrifwr jackknife fel cyfartaledd y ffug-werthoedd:
\[
\hat{\theta}_{J} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta_i^{ }
\]
Mae'r dull ffug-werth yn helpu i esbonio sut mae pob arsylwad yn "cyfrannu" at yr amcangyfrif terfynol ac yn hwyluso dadansoddiad rhagfarn.
Y berthynas rhwng jackknife a bootstrap
Yn aml, cymharir Jackknife â bootstrap, gan fod y ddau yn ddulliau ail-samplu. Fodd bynnag, mae gwahaniaethau pwysig:
– Mae Jackknife yn defnyddio is-samplu drwy gael gwared ar un data (gadael un allan). Mae nifer yr atgynhyrchiadau yn benderfynol: yn union n.
– Mae bootstrapping yn creu ailsamplu gydag amnewidiad, fel arfer sawl gwaith (e.e. 1000 neu 10.000 o weithiau), gan ddarparu amcangyfrif o ddosraniad empirig yr amcangyfrifwr.
Yn gyffredinol, mae'r 'bootstrap' yn fwy hyblyg ac yn aml yn fwy cywir ar gyfer problemau cymhleth, ond mae'r 'jackknife' yn symlach ac yn rhatach yn gyfrifiadurol. Ar setiau data mawr, gall y 'jackknife' fod yn ddewis arall cyflym ar gyfer cael gwallau safonol bras, yn enwedig pan fo cyfrifo'r amcangyfrifwr yn ddrud ond yn dal yn ymarferol n gwaith.
Manteision y dull jackknife
Mae rhai o fanteision cyllell jac yn cynnwys:
1. Syml a hawdd i'w weithredu
Mae'r cysyniad o adael un allan yn reddfol, ac mae'r fformiwla amrywiant yn syml.
2. Ychydig o dybiaethau dosbarthu
Nid yw Jackknife bob amser yn gofyn am y dybiaeth o normalrwydd neu ffurflen ddosbarthu sicr.
3. Effeithlon ar gyfer rhai cyfrifiadau
Gan mai dim ond n gwaith o gyfrifiadau amcangyfrif sydd eu hangen, mae jackknife yn aml yn ysgafnach na bootstrapping sy'n gofyn am filoedd o atgynhyrchiadau.
4. Defnyddiol ar gyfer amcangyfrif rhagfarn
Yn enwedig mewn amcangyfrifon anlinellol nad ydynt fel arfer yn hawdd eu cyfrifo'n ddadansoddol.
Cyfyngiadau a phethau i gadw llygad amdanynt
Er ei fod yn bwerus, mae gan y gyllell jac gyfyngiadau:
1. Llai cywir ar gyfer amcangyfrifwyr anesmwyth iawn
Er enghraifft, y canolrif neu'r cwanteiliau mewn rhai amodau, neu ystadegau sy'n dibynnu ar werthoedd eithafol, mae'r cyllell jac weithiau'n darparu amcangyfrifon llai manwl gywir o amrywiant.
2. Ddim bob amser yn addas ar gyfer data â dibyniaethau
Mewn cyfresi amser neu ddata gofodol, nid yw arsylwadau'n annibynnol. Gall tynnu un pwynt dorri'r strwythur dibyniaeth. Ar gyfer achosion fel hyn, defnyddir amrywiadau fel bloc jackknife (tynnu un bloc o ddata ar y tro).
3. Sensitif i arsylwadau effaith uchel
Os oes allanolion neu ddata "trosoledd", gall yr amcangyfrif gadael un allan newid yn sylweddol. Nid yw hyn bob amser yn wendid—mewn gwirionedd, gall fod yn arwydd pwysig—ond gall yr amrywiant sy'n deillio o hyn fod yn fawr ac mae angen dehongli'n ofalus.
4. Graddadwyedd ar n mawr iawn
Er ei fod yn rhatach na bootstrapping, mae jackknife yn dal i fod angen gwerthusiadau amcangyfrif n. Os yw n yn y miliynau ac mae amcangyfrifon yn ddrud, gall hyn fod yn broblemus.
Amrywiadau: cyllell jac dileu-d a chyllell jac bloc
Ar wahân i adael un allan, mae yna amrywiadau:
– Dileu-d jackknife: yn dileu d arsylwad fesul atgynhyrchiad (yn lle dim ond 1). Gall hyn wella cywirdeb mewn rhai sefyllfaoedd, yn enwedig ar gyfer amcangyfrifwyr nad ydynt yn llyfn.
– Cyllell bloc: yn tynnu bloc sy'n cynnwys sawl arsylwad cyfagos, sy'n addas ar gyfer data sydd ag awtogysylltiad (e.e. data dyddiol, wythnosol, neu ofodol).
Mae'r dewis o d neu faint bloc yn dibynnu ar y strwythur data a'r nod casgliad.
Cymhwyso cyllell jac yn ymarferol
Defnyddir Jackknife mewn amrywiol feysydd:
– Bioystadegau ac epidemioleg: amcangyfrif gwallau safonol ar gyfer mesurau risg neu baramedrau model pan fo fformwlâu dadansoddol yn anodd.
– Econometreg: gwerthuso sefydlogrwydd paramedr, yn enwedig mewn samplau cyfyngedig.
– Cyfrifiadureg a dysgu peirianyddol: mae'r cysyniad o adael un allan yn gysylltiedig yn agos â chroes-ddilysu, er bod y nodau'n wahanol (dilysu rhagfynegiad yn erbyn amcangyfrif cywirdeb paramedr).
– Ecoleg ac arolygon: amcangyfrif amrywiaeth neu fynegeion penodol ac ansicrwydd ystadegau cymhleth.
Cau
Mae'r dull jackknife yn dechneg ail-samplu glasurol sy'n parhau i fod yn berthnasol heddiw. Drwy ddefnyddio syniad syml—hepgor un arsylwad ac ailgyfrifo'r amcangyfrif—gall y jackknife ddarparu amcangyfrifon o amrywiant, gwall safonol, a rhagfarn heb gyfrifiadau mathemategol cymhleth. Fodd bynnag, mae ei ddefnydd yn gofyn am ystyried natur yr amcangyfrif, maint y sampl, a strwythur dibyniaeth y data. Yn ymarferol, mae'r jackknife yn aml yn opsiwn cyflym a thryloyw, neu fel ategiad i ddefnyddio dulliau ail-samplu mwy cadarn fel bootstrapping.
Os dymunwch, gallaf hefyd ychwanegu enghraifft fach o gyfrifiad rhifiadol (e.e. ar gyfer cydberthynas neu atchweliad) neu gynnwys gweithrediad jackknife yn R/Python i egluro'r cymhwysiad.
