Sut i Gyfrifo Amrywiant: Canllaw Cyflawn
Mae amrywiant yn ystadegyn sylfaenol a ddefnyddir mewn amrywiol feysydd, o economeg a pheirianneg i seicoleg ac ystadegaeth ei hun. Mae'n darparu gwybodaeth am y graddau y mae'r gwerthoedd mewn set ddata wedi'u gwasgaru o amgylch y cymedr. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio sut i gyfrifo amrywiant yn fanwl, o'r diffiniad i gamau ymarferol.
Rhagymadrodd
I ddeall amrywiant, mae angen i ni ddeall rhai cysyniadau sylfaenol mewn ystadegaeth. Mae amrywiant yn fesur o ba mor bell y mae'r gwerthoedd mewn set ddata yn gwyro o'r cymedr. Cyfrifir amrywiant fel cyfartaledd y gwahaniaethau sgwâr rhwng pob gwerth a'r cymedr. Mae amrywiant yn rhoi syniad o'r "amrywioldeb" yn y data.
Diffiniad o Amrywiant
Yn fathemategol, amrywiant yw:
\[ \text{Amrywiant} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]
Ble:
– \( \sigma^2 \) yw'r amrywiant poblogaeth.
– \( N \) yw cyfanswm y gwerthoedd yn y boblogaeth.
– \( x_i \) yw gwerth yr unigolyn i-fed.
– \( \mu \) yw cymedr y boblogaeth.
Ar gyfer samplau, mae'r fformiwla amrywiant ychydig yn wahanol:
\[ \text{Amrywiant Sampl} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
Ble:
– \( s^2 \) yw'r amrywiant sampl.
– \(n \) yw cyfanswm y gwerthoedd yn y sampl.
– \( x_i \) yw gwerth yr unigolyn i-fed yn y sampl.
– \( \bar{x} \) yw cymedr y sampl.
Camau i Gyfrifo Amrywiant
Gadewch i ni adolygu'r camau ymarferol ar gyfer cyfrifo amrywiant trwy enghraifft goncrit.
Enghraifft: Cyfrifo Amrywiant Poblogaeth
Tybiwch fod gennym set ddata fach sy'n cynnwys y gwerthoedd canlynol: 2, 4, 6, 8, 10.
1. Cam 1: Cyfrifwch y Cyfartaledd (Cymedr)
\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. Cam 2: Cyfrifwch y Gwahaniaeth rhwng Pob Gwerth a'r Cymedr a'i Sgwario
\[
\begin{alinio}
(2 – 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 a= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 a= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 a= 4^2 = 16 \\
\end{alinio}
\]
3. Cam 3: Adio holl sgwariau'r gwahaniaethau
\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
4. Cam 4: Rhannwch Swm Sgwariau'r Gwahaniaethau â Nifer y Gwerthoedd (N)
\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]
Felly, amrywiant poblogaeth y data hwn yw 8.
Enghraifft: Cyfrifo Amrywiant Sampl
Nawr, tybiwch ein bod yn cymryd sampl fach o'r set ddata uchod: 2, 4, 6.
1. Cam 1: Cyfrifwch y Cymedr Sampl
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]
2. Cam 2: Cyfrifwch y Gwahaniaeth rhwng Pob Gwerth a'r Cymedr a'i Sgwario
\[
\begin{alinio}
(2 – 4)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 a= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 a= 2^2 = 4 \\
\end{alinio}
\]
3. Cam 3: Adio holl sgwariau'r gwahaniaethau
\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]
4. Cam 4: Rhannwch Swm Sgwariau'r Gwahaniaethau â (n – 1)
\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Felly, amrywiant sampl y data hwn yw 4.
Amrywiad yn y Boblogaeth a'r Sampl
Mae'n bwysig deall y gwahaniaeth rhwng amrywiant poblogaeth ac amrywiant sampl. Mae amrywiant poblogaeth yn mesur lledaeniad data ar draws y boblogaeth gyfan, tra bod amrywiant sampl yn mesur y lledaeniad o fewn is-set (sampl) o'r boblogaeth. Mewn llawer o achosion, defnyddir amrywiant sampl i amcangyfrif amrywiant poblogaeth. Mae rhannu â \( (n-1) \) wrth gyfrifo amrywiant sampl yn lleihau rhagfarn yn yr amcangyfrif o amrywiant poblogaeth.
Cais Amrywiant
Defnyddir amrywiant mewn amrywiaeth o gymwysiadau, megis:
1. Dadansoddi Risg Ariannol: Mewn cyllid, defnyddir amrywiant i fesur risg a rheoli portffolios buddsoddi. Mae amrywiant uwch yn golygu buddsoddiad mwy peryglus.
2. Gwyddorau Cymdeithasol: Mewn ymchwil seicoleg neu gymdeithaseg, defnyddir amrywiant i fesur gwahaniaethau rhwng grwpiau poblogaeth.
3. Rheoli Ansawdd: Mewn gweithgynhyrchu, defnyddir amrywiannau i fonitro a rheoli ansawdd cynnyrch.
4. Ystadegaeth Arbrofol: Fe'i defnyddir i ddadansoddi canlyniadau arbrofol a phennu arwyddocâd gwahaniaethau.
Amrywiant a Gwyriad Safonol
Defnyddir amrywiant yn aml ar y cyd â gwyriad safonol, sef gwreiddyn sgwâr yr amrywiant. Mae gwyriad safonol yn darparu mesur mwy uniongyrchol a haws ei ddehongli o ledaeniad nag amrywiant. Yr hafaliad rhwng y ddau yw:
\[ \text{Gwyriad Safonol} (\sigma) = \sqrt{\text{Amrywiant} (\sigma^2)} \]
Casgliad
Mae cyfrifo amrywiant yn rhan hanfodol o ddadansoddi ystadegol, gan ddarparu mesur o'r lledaeniad neu'r gwasgariad o fewn set ddata. Drwy ddeall y cysyniadau sylfaenol a sut i gyfrifo amrywiant, gallwn ddadansoddi data yn well, asesu risg, a gwneud penderfyniadau mwy gwybodus.
Boed yn defnyddio amrywiant poblogaeth ar gyfer dadansoddiad mwy gwyddonol neu amrywiant sampl ar gyfer amcangyfrif o is-set o ddata, mae dealltwriaeth drylwyr o amrywiant yn ein helpu i ddeall yr amrywiaeth mewn data a'i gymhwyso i amrywiaeth o sefyllfaoedd yn y byd go iawn. Gobeithio bod yr erthygl hon yn darparu canllaw ymarferol a defnyddiol i ddeall a chyfrifo amrywiant.
