Dadansoddiad Dosbarthiad Data Gan Ddefnyddio Gwyriad Safonol
Mewn ystadegaeth, nid yw deall "canol" set ddata yn unig yn ddigon. Gall dwy set o ddata fod â'r un cymedr, ond mae eu nodweddion yn wahanol yn sylweddol oherwydd eu graddfa o wasgariad. Dyma lle mae cysyniad gwasgariad data yn dod yn bwysig. Un o'r mesurau gwasgariad mwyaf poblogaidd, cadarn, a ddefnyddir yn aml mewn gwahanol feysydd—o addysg ac economeg i iechyd a gwyddor data—yw gwyriad safonol. Mae'r erthygl hon yn trafod y cysyniad, y cyfrifiad, y dehongliad, a'r defnydd o wyriad safonol i ddadansoddi pa mor wasgaredig yw data o'i werth canol.
1. Pam mae angen dadansoddi dosbarthiad data?
Dychmygwch ddau ddosbarth gyda sgôr prawf mathemateg cyfartalog o 80. Yn nosbarth A, sgoriodd bron pob myfyriwr rhwng 78 ac 82. Yn nosbarth B, sgoriodd rhai myfyrwyr 50 a rhai 100. Mae'r cyfartaleddau yr un fath, ond mae'r sefyllfaoedd yn y ddau ddosbarth yn gwbl wahanol. Mae Dosbarth A yn dangos perfformiad cyson, tra bod dosbarth B yn dangos anghydraddoldeb sylweddol.
Drwy ddadansoddi'r dosbarthiad, gallwn:
– Asesu cysondeb neu amrywiad ffenomen.
– Mesur risg (e.e. amrywiad mewn enillion buddsoddi).
– Cymharu sefydlogrwydd prosesau (e.e. ansawdd cynhyrchu).
– Canfod anomaleddau posibl neu ddata eithafol.
Gwyriad safonol yw'r prif offeryn at y diben hwn oherwydd ei fod yn mesur pa mor bell mae'r data wedi'i wasgaru o'r cymedr.
2. Diffiniad o Wyriad Safonol
Gwreiddyn sgwâr yr amrywiant yw'r gwyriad safonol. Er bod yr amrywiant yn mesur cyfartaledd sgwariau'r gwahaniaethau rhwng y data a'r cymedr, mae'r gwyriad safonol yn dychwelyd yr unedau mesur i'w graddfa wreiddiol (e.e., sgoriau profion, cilogramau, rupiah, ac ati). Mae hyn yn gwneud y gwyriad safonol yn haws i'w ddehongli.
Yn reddfol:
– Gwyriad safonol bach → mae'r data a gasglwyd yn agos at y cymedr (mwy unffurf).
– Gwyriad safonol mawr → mae data wedi'i wasgaru ymhell o'r cymedr (mwy amrywiol).
3. Fformiwla Gwyriad Safonol: Poblogaeth vs Sampl
Mewn ystadegaeth, rydym yn gwahaniaethu rhwng cyfrifo gwyriad safonol ar gyfer poblogaethau a samplau.
a) Gwyriad Safonol Poblogaeth (σ)
Os yw'r data sy'n cael ei ddadansoddi yn cynnwys pob aelod o'r boblogaeth, y fformiwla yw:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i – \mu)^2}{N}}
\]
Gwybodaeth:
– \(x_i\) = gwerth data-ifed
– \(\mu\) = cymedr y boblogaeth
– \(N\) = nifer y data poblogaeth
b) Gwyriad Safonol Sampl (au)
Os mai dim ond rhan o'r boblogaeth (sampl) yw'r data sy'n cael ei ddadansoddi, y fformiwla yw:
\[
s = \sqrt{\frac{\sum(x_i – \bar{x})^2}{n-1}}
\]
Gwybodaeth:
– \(\bar{x}\) = cymedr sampl
– \(n\) = nifer y data sampl
– Gelwir \(n-1\) yn raddau rhyddid (cywiriad Bessel), a ddefnyddir fel bod yr amcangyfrif amrywiant/gwyriad safonol yn ddiduedd.
Mewn ymarfer beunyddiol, mae'r data sydd gennym fel arfer ar ffurf samplau, felly defnyddir y fformiwla \(n-1\) yn gyffredin iawn.
4. Camau i Gyfrifo Gwyriad Safonol
I ddeall y broses, dyma'r camau cyffredinol ar gyfer cyfrifo gwyriad safonol sampl:
1. Cyfrifwch y cyfartaledd (\(\bar{x}\)).
2. Cyfrifwch y gwahaniaeth rhwng pob data a'r cyfartaledd (\(x_i – \bar{x}\)).
3. Sgwariwch y gwahaniaeth \((x_i – \bar{x})^2\).
4. Adio'r holl sgwariau at ei gilydd.
5. Rhannwch â \(n-1\) i gael yr amrywiant sampl.
6. Cymerwch ail isradd y canlyniad i gael y gwyriad safonol (au).
Enghraifft Syml
Tybiwch mai gwerthoedd y data yw: 70, 75, 80, 85, 90 (n = 5)
– Cyfartaledd: \(\bar{x} = (70+75+80+85+90)/5 = 80\)
– Gwahaniaeth: -10, -5, 0, 5, 10
– Gwahaniaeth sgwâr: 100, 25, 0, 25, 100
– Nifer y sgwariau: 250
– Amrywiant sampl: \(250/(5-1)=62,5\)
– Gwyriad safonol: \(s = \sqrt{62,5} \approx 7,91\)
Y dehongliad syml: mae'r gwerthoedd yn gwyro tua 7,91 pwynt ar gyfartaledd o'r cyfartaledd o 80.
5. Dehongli Gwyriad Safonol mewn Dadansoddi Data
Nid yw gwyriad safonol yn sefyll ar ei ben ei hun; mae ei ystyr yn dibynnu ar gyd-destun. Fodd bynnag, gall rhai canllawiau cyffredinol fod yn ddefnyddiol:
– Os yw'r gwyriad safonol yn agos at 0, mae'r data wedi'i ganoli'n fawr o amgylch y cymedr.
– Os yw'r gwyriad safonol yn fawr, mae'r data yn fwy amrywiol, sy'n dynodi anghysondeb.
Defnyddir gwyriad safonol yn aml hefyd ar gyfer:
– Cymharu dau grŵp: er enghraifft dau ddosbarth gyda'r un cymedr, ond gwyriadau safonol gwahanol.
– Asesu sefydlogrwydd prosesau: mae cynhyrchu ffatri gyda gwyriad safonol bach o faint y cynnyrch yn golygu ansawdd mwy cyson.
– Mesur anwadalrwydd: ym maes cyllid, defnyddir gwyriad safonol enillion stoc yn aml fel dangosydd risg.
6. Perthynas rhwng Gwyriad Safonol a Dosraniad Normal
Mewn data sy'n dilyn dosraniad normal, mae gan y gwyriad safonol ddehongliad cryf iawn trwy'r rheol empirig:
– Mae tua 68% o'r data yn yr ystod \(\bar{x} \pm 1s\)
– Mae tua 95% o'r data yn yr ystod \(\bar{x} \pm 2s\)
– Mae tua 99,7% o'r data yn yr ystod \(\bar{x} \pm 3s\)
Mae'r rheol hon yn ddefnyddiol ar gyfer amcangyfrif faint o ddata sy'n "normal" o amgylch y cymedr ac mae'n ei gwneud hi'n haws canfod gwerthoedd eithafol. Fodd bynnag, mae'n bwysig cofio mai dim ond os yw'r data mewn gwirionedd yn agos at normal y mae'r rheol hon yn gywir.
7. Gwyriad Safonol vs. Mesurau Eraill o Lledaeniad
Er bod gwyriad safonol yn boblogaidd iawn, mae mesurau eraill o wasgariad sydd hefyd yn bwysig:
– Amrediad: y gwahaniaeth rhwng y gwerthoedd uchaf a lleiaf. Syml ond yn sensitif iawn i allanolion.
– IQR (amrediad rhyngchwartel): yr amrediad rhwng chwartel 1 a chwartel 3. Yn fwy gwrthsefyll allanolion na gwyriad safonol.
– MAD (gwyriad absoliwt canolrifol): mesur cadarn yn seiliedig ar y canolrif, sy'n addas ar gyfer data gyda llawer o allanolion.
Mae'r gwyriad safonol yn well pan fydd y data'n gymharol "lân" a phan nad yw'r dosraniad wedi'i gynffonio'n rhy drwm. Os yw'r data'n cynnwys llawer o allanolion, gall y gwyriad safonol ddod yn fwy ac yn llai cynrychioliadol o'r rhan fwyaf o'r data.
8. Manteision a Chyfyngiadau Gwyriad Safonol
Gormodedd
– Yn defnyddio'r holl ddata (nid gwerthoedd eithafol yn unig).
– Mae ganddo sail ddamcaniaethol gref ac fe'i defnyddir yn aml mewn llawer o ddulliau ystadegol uwch.
– Hawdd ei ddehongli oherwydd bod yr unedau yr un fath â'r data gwreiddiol.
Cyfyngiadau
– Sensitif iawn i allanolion oherwydd ei fod yn cynnwys sgwâr y gwahaniaeth.
– Mae dehongliad “mawr” neu “bach” yn dibynnu ar raddfa a chyd-destun.
– Mewn dosraniadau hynod annormal, gall y gwyriad safonol fod yn llai cynrychioliadol.
9. Casgliad
Mae dadansoddi gwasgariad data yn gam hanfodol wrth ddeall nodweddion set ddata. Mae'r gwyriad safonol yn darparu mesur clir o ba mor bell mae data'n ymledu o'r cymedr, gan ein helpu i asesu cysondeb, risg ac ansawdd proses neu ffenomen. Drwy ddeall sut i'w gyfrifo a'i ddehongli, gallwn wneud penderfyniadau mwy gwybodus, boed mewn ymchwil academaidd, gwerthuso perfformiad, rheoli ansawdd neu ddadansoddi busnes.
Yn y pen draw, nid rhif yn unig yw gwyriad safonol, ond yn hytrach crynodeb pwysig o'r ansicrwydd a'r amrywiad sy'n gynhenid yn y data. Ar gyfer dadansoddiad mwy cadarn, dylid defnyddio gwyriad safonol ar y cyd â mesurau eraill—megis y canolrif, IQR, neu ddelweddu data—i ddarparu darlun mwy cyflawn a chywir o'r dosraniad.
