Dadansoddiad o Amrywiant a Gwyriad Safonol mewn Dosbarthiad Data
Mewn ystadegaeth, mae deall dosbarthiad data yr un mor bwysig â deall gwerthoedd canolog fel y cymedr neu'r canolrif. Gall dau set ddata gael yr un cyfartaledd, ond mae eu dosraniadau'n wahanol iawn: gall un fod wedi'i glystyru'n dynn o amgylch y cyfartaledd, tra gall y llall fod wedi'i wasgaru'n eang. Dyma lle mae amrywiant a gwyriad safonol yn dod i rym—nhw yw'r mesurau allweddol o faint o ddata sy'n amrywio o'i werth canolog. Mae'r erthygl hon yn trafod eu cysyniadau, fformwlâu, dehongliadau, ac enghreifftiau o'u cymhwysiad mewn dadansoddi data.
1. Pam mae Lledaenu Data yn Bwysig?
Mae gwasgariad data yn darparu gwybodaeth am gysondeb a risg. Er enghraifft, yng nghyd-destun sgoriau profion, gallai'r cyfartaledd ar gyfer dosbarthiadau A a B fod yn 80. Fodd bynnag, os yw'r amrywiad yn sgoriau dosbarth A yn fach, mae mwyafrif y myfyrwyr yn perfformio'n debyg. I'r gwrthwyneb, os yw'r amrywiad yn sgoriau dosbarth B yn fawr, mae'n debygol bod gan rai myfyrwyr sgoriau uchel iawn a bod gan eraill sgoriau isel iawn. Mewn busnes, mae gwasgariad data gwerthiant yn dynodi sefydlogrwydd refeniw; mewn cyllid, mae gwasgariad enillion buddsoddiad yn dynodi lefel y risg.
Drwy ddeall amrywiant a gwyriad safonol, gall gwneuthurwyr penderfyniadau:
– Asesu a yw proses yn sefydlog ai peidio (e.e. cynhyrchu mewn ffatri).
– Cymharu cysondeb rhwng grwpiau (e.e. dau ddull dysgu).
– Nodi data allanol sy'n werth ei adolygu.
– Amcangyfrif ansicrwydd mewn rhagfynegiadau a modelau.
2. Cysyniad Sylfaenol Amrywiant
Mae amrywiant yn mesur y gwyriad sgwâr cyfartalog o bob set ddata o'r cymedr. Gwyriad yw'r gwahaniaeth rhwng gwerthoedd y data a'r cymedr. Os yw llawer o werthoedd ymhell o'r cymedr, bydd yr amrywiant yn fawr. Os yw'r gwerthoedd yn agos at y cymedr, bydd yr amrywiant yn fach.
Tybiwch fod data: \(x_1, x_2, …, x_n\) gyda chymedr o \(\bar{x}\). Gwyriad pob data yw \(x_i – \bar{x}\). Fodd bynnag, os yw'r gwyriadau'n cael eu hadio'n uniongyrchol, mae'r canlyniad bob amser yn sero oherwydd bod gwyriadau positif a negatif sy'n canslo ei gilydd. I oresgyn hyn, mae'r gwyriadau'n cael eu sgwario fel eu bod nhw i gyd yn bositif. Dyma lle mae amrywiant yn cael ei eni.
a) Amrywiad Poblogaeth
Os ystyrir bod y data yn cynrychioli'r boblogaeth gyfan, ysgrifennir yr amrywiant poblogaeth fel:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Ble:
– \(N\) yw nifer y data poblogaeth,
– \(\mu\) yw cymedr y boblogaeth,
– \(\sigma^2\) yw'r amrywiant poblogaeth.
b) Amrywiant Sampl
Os yw'r data yn sampl o boblogaeth fwy, defnyddir yr amrywiant sampl:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}
\]
Gelwir y rhannwr \(n-1\) yn gywiriad Bessel, ac fe'i defnyddir i sicrhau bod yr amcangyfrif amrywiant ar gyfer y boblogaeth yn ddiduedd. Yn ei hanfod, oherwydd bod cymedr y sampl yn cael ei gyfrifo o'r data ei hun, mae "colli graddau o ryddid," felly mae'r rhannwr yn cael ei addasu yn unol â hynny.
3. Gwyriad Safonol: Gwreiddyn yr Amrywiad
Mae gan amrywiant un anfantais ymarferol: ei unedau yw sgwâr unedau'r data. Os yw'r data mewn "rupiah", mae'r amrywiant mewn "rupiah²", sy'n anodd ei ddehongli'n uniongyrchol. Felly, rydym yn defnyddio'r gwyriad safonol, sef gwreiddyn sgwâr yr amrywiant.
a) Gwyriad Safonol Poblogaeth
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
b) Gwyriad Safonol Sampl
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
Mae gan y gwyriad safonol yr un unedau â'r data gwreiddiol, gan ei gwneud hi'n haws i'w ddeall. Mae gwyriad safonol uchel yn dynodi data mwy gwasgaredig; mae gwyriad safonol isel yn dynodi set ddata fwy dwys.
4. Enghraifft Cyfrifo Syml
Er enghraifft, data sgôr y prawf: 70, 75, 80, 85, 90.
1) Cyfrifwch y cyfartaledd:
\[
\bar{x} = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80
\]
2) Cyfrifwch wyriad pob gwerth o'r cymedr:
– 70: \(70-80=-10\)
– 75: \(75-80=-5\)
– 80: \(80-80=0\)
– 85: \(85-80=5\)
– 90: \(90-80=10\)
3) Sgwariwch y gwyriad:
– 100, 25, 0, 25, 100
4) Adio i fyny:
\[
\sum(x_i-\bar{x})^2 = 250
\]
5) Amrywiant sampl:
\[
s^2 = \frac{250}{5-1} = 62.5
\]
6) Gwyriad safonol sampl:
\[
s = \sqrt{62.5} \tua 7.91
\]
Dehongliad: y sgôr gyfartalog yw 80, ac mae sgoriau “fel arfer” yn gwyro tua 7–8 pwynt o’r cyfartaledd.
5. Dehongli Amrywiant a Gwyriad Safonol
Nid rhifau yn unig yw amrywiant a gwyriad safonol; rhaid eu dehongli yn eu cyd-destun.
– Gwyriad safonol bach: cysondeb uchel. Er enghraifft, mae proses gynhyrchu gyda gwyriad safonol bach iawn ym maint y cynnyrch yn dynodi ansawdd sefydlog.
– Gwyriad safonol mawr: amrywiad uchel. Wrth fuddsoddi, mae gwyriad safonol uchel o enillion yn golygu anwadalrwydd uchel (risg uwch).
– Cymhariaeth rhwng grwpiau: os oes gan ddau grŵp yr un cymedr ond gwyriadau safonol gwahanol, mae'r grŵp gyda'r gwyriad llai yn fwy homogenaidd.
Fodd bynnag, mae'n bwysig cofio bod gwyriad safonol yn sensitif i allanolion. Gall un gwerth eithafol gynyddu'r amrywiant a'r gwyriad safonol yn sylweddol. Felly, mae dadansoddiad dosbarthiad yn aml yn cael ei ategu gan ddelweddau (histogramau, plotiau blwch) neu fesurau cadarn fel yr IQR (ystod rhyngchwartel).
6. Perthynas â Dosbarthiad Normal a Rheolau Empirig
Mewn dosraniad arferol (cromlin gloch), mae gan y gwyriad safonol ystyr cryf iawn. Mae rheol empirig a ddefnyddir yn aml:
– Mae tua 68% o'r data yn yr ystod \(\bar{x} \pm 1s\)
– Mae tua 95% o'r data yn yr ystod \(\bar{x} \pm 2s\)
– Mae tua 99,7% o'r data yn yr ystod \(\bar{x} \pm 3s\)
Mae'r rheol hon yn helpu i wneud dehongliadau cyflym, er enghraifft asesu a yw gwerth yn "annaturiol" neu'n dal i fod o fewn yr ystod gyffredinol.
7. Cymwysiadau mewn Amrywiol Feysydd
1) Addysg: Monitro dosbarthiad graddau myfyrwyr. Mae gwyriadau bach yn dynodi canlyniadau dysgu teg, tra gall gwyriadau mawr ddynodi bylchau mewn dealltwriaeth.
2) Diwydiant: rheoli ansawdd. Defnyddir amrywiant i werthuso cysondeb cynhyrchu.
3) Cyllid: yn mesur anwadalrwydd prisiau stoc, enillion portffolio, a risg buddsoddi.
4) Iechyd: arsylwi amrywiadau mewn pwysedd gwaed, lefelau siwgr, neu ddangosyddion clinigol eraill mewn poblogaeth o gleifion.
5) Ymchwil gymdeithasol: asesu amrywioldeb ymatebion arolwg ac amrywiaeth nodweddion yr ymatebwyr.
8. Camgymeriadau Cyffredin ac Awgrymiadau Ymarferol
Rhai camgymeriadau cyffredin:
– Defnyddio amrywiant sampl (rhannwr \(n-1\)) er bod y data yn boblogaeth lawn, neu i'r gwrthwyneb.
– Dehongli amrywiant heb ystyried ei unedau sgwâr; mae'n fwy diogel defnyddio gwyriad safonol ar gyfer dehongli.
– Anwybyddwch allanolion; mae'n well gwirio'r data yn gyntaf.
– Cymharwch wyriadau safonol rhwng data â gwahanol raddfeydd heb normaleiddio; mewn rhai achosion, defnyddiwch y cyfernod amrywiad (CV) h.y. \(CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%\) am gymhariaeth decach.
Cau
Mae amrywiant a gwyriad safonol yn offer sylfaenol ar gyfer deall dosbarthiad data. Mae amrywiant yn darparu sylfaen fathemategol gref, tra bod gwyriad safonol yn darparu mesur sy'n haws i'w ddehongli oherwydd ei fod yn debyg i'r data gwreiddiol. Drwy ddefnyddio'r ddau fesur hyn, gallwn asesu'n gliriach y cysondeb, y risg a'r gwahaniaethau yn nodweddion y dosbarthiad rhwng setiau data. Mewn ymarfer dadansoddi data, defnyddir amrywiant a gwyriad safonol orau ar y cyd â mesurau o duedd ganolog a delweddu i roi darlun cyflawn o'r data a gwneud penderfyniadau mwy gwybodus.
Os ydych chi eisiau, gallaf ychwanegu enghreifftiau cyfrifo mwy cymhleth (e.e. data wedi'i grwpio), neu egluro'r berthynas rhwng gwyriad safonol a sgôr-z a chanfod allanolion.
