Technegau ar gyfer Pennu'r Gwyriad Cyfartalog mewn Data Ystadegol
Mewn ystadegaeth, mae deall "canol" y data yn unig—er enghraifft, drwy'r cymedr neu'r canolrif—yn aml yn annigonol. Gall dau set ddata fod â'r un cyfartaledd, ond maent yn wahanol iawn yn eu lefelau o "amrywiad". Felly, mae mesurau gwasgariad yn bwysig. Un mesur gwasgariad sy'n gymharol hawdd i'w ddeall a'i ddefnyddio yw'r gwyriad cymedrig. Mae'r erthygl hon yn trafod technegau ar gyfer pennu'r gwyriad cymedrig mewn gwahanol ffurfiau o ddata ystadegol, ynghyd â chamau cyfrifo ac enghreifftiau.
Deall Gwyriad Cymedrig
Mae'r gwyriad cymedrig yn fesur sy'n nodi pellter cyfartalog pob pwynt data o fesur o duedd ganolog, fel arfer y cymedr rhifyddol (cymedr) neu'r canolrif. Y pellter dan sylw yw gwerth absoliwt y gwahaniaeth rhwng y data a'r gwerth canolog, fel nad oes unrhyw wahaniaeth negyddol yn "canslo" gwahaniaeth positif.
Yn gyffredinol, mae'r gwyriad cymedrig yn disgrifio pa mor bell mae'r data wedi'i wasgaru o'i werth canolog. Po leiaf yw'r gwyriad cymedrig, y mwyaf tynn yw'r data wedi'i glystyru o amgylch y canol; po fwyaf yw'r gwerth, y mwyaf amrywiol yw'r data.
Pam Defnyddio Gwerth Absoliwt?
Os cyfrifwn gyfartaledd y gwahaniaethau rhwng y data a'r cymedr heb werth absoliwt, bydd swm y gwahaniaethau bob amser yn sero (oherwydd mai'r cymedr yw'r pwynt ecwilibriwm). Er enghraifft, os oes gwahaniaethau o +5 a -5, maent yn adio i 0. Felly, defnyddir gwerthoedd absoliwt fel bod y gwyriadau'n adlewyrchu pellter y data o'r canol yn wirioneddol.
Fformiwla Gwyriad Cymedrig ar gyfer Data Sengl
Ar gyfer data sengl (heb ei grwpio), mae'r gwyriad cyfartalog o'r cymedr wedi'i lunio:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Gwybodaeth:
– \(SR \): gwyriad cyfartalog
– \( x_i \): data-i
– \( \bar{x} \): cymedr rhifyddol (cymedr)
– \(n \): faint o ddata
Techneg Cyfrifo Data Sengl (Camau)
1. Cyfrifwch gymedr \( \bar{x} \) yr holl ddata.
2. Cyfrifwch y gwahaniaeth rhwng pob data a'r cymedr: \( x_i – \bar{x} \).
3. Cymerwch werth absoliwt pob gwahaniaeth: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Adio holl werthoedd absoliwt y gwahaniaethau.
5. Rhannwch â nifer y data \(n \).
Enghraifft Data Sengl
Data gwerth: 6, 8, 10, 12, 14
1) Cymedr:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Gwerth absoliwt y gwahaniaeth:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Cyfanswm = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Gwyriad cyfartalog:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Mae hyn yn golygu bod pob gwerth ar gyfartaledd yn gwyro 2,4 uned o'r cymedr (10).
Gwyriad Cymedrig ar gyfer Data Mynych (Arwahanol)
Os cyflwynir y data ar ffurf gwerthoedd ac amleddau (e.e. tabl), mae'r fformiwla'n dod yn:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Gwybodaeth:
– \( f_i \): amlder data \( x_i \)
Technegau Cyfrifo Data Amledd
1. Cyfrifwch y cymedr: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Cyfrifwch \( |x_i-\bar{x}| \)
3. Lluoswch â'r amlder: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. Adio holl ganlyniadau cam 3 at ei gilydd
5. Rhannwch â chyfanswm yr amledd
Enghreifftiau Data Arwahanol
| Gwerth (x) | Amlder (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Cyfanswm amlder: \(2+3+1=6\)
Cymedr:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Cyfrifwch y gwyriad:
– Ar gyfer x=5: |5−6,67|=1,67 → lluosogi f=2 → 3,34
– Ar gyfer x=7: |7−6,67|=0,33 → lluosogi f=3 → 0,99
– Ar gyfer x=9: |9−6,67|=2,33 → lluosogi f=1 → 2,33
Cyfanswm: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Gwyriad cyfartalog:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Gwyriad Cymedrig ar gyfer Data wedi'i Grwpio (Cyfwng Dosbarth)
Mewn data wedi'i grwpio (er enghraifft, dosraniadau amledd cyfwng), nid yw gwerthoedd data yn cael eu harddangos yn unigol, ond yn hytrach mewn dosbarthiadau. At y diben hwn, defnyddir canolbwynt y dosbarth (xi) i gynrychioli'r data o fewn dosbarth.
Y fformiwla:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Fodd bynnag, \(x_i\) yw canolbwynt y dosbarth.
Technegau Cyfrifo Data Grŵp
1. Penderfynwch ar ganolbwynt pob dosbarth:
\[
x_i=\frac{\text{terfyn isaf + terfyn uchaf}}{2}
\]
2. Cyfrifwch gymedr y grŵp:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. Cyfrifwch \( |x_i-\bar{x}| \)
4. Lluoswch â'r amlder \( f_i \)
5. Adio'r holl ganlyniadau at ei gilydd, yna rhannu â chyfanswm yr amlder.
Enghraifft o Ddata Grŵp
| Dosbarth | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Canolbwynt:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Cyfanswm f = 10
Cymedr:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Gwyriad:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Cyfanswm = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Gwyriad cyfartalog:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Gwyriad Cymedrig o'r Canolrif
Yn ogystal â'r cymedr, gellir cyfrifo'r gwyriad cyfartalog o'r canolrif hefyd. Mae'r egwyddor yr un peth, dim ond y gwerth canolog sy'n wahanol. Mae hyn yn ddefnyddiol pan fydd y data'n cynnwys allanolion oherwydd bod y canolrif yn fwy gwydn i werthoedd eithafol.
Ar gyfer data sengl:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
Ar gyfer data amledd:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
Manteision a Chyfyngiadau Gwyriad Cymedrig
Gormodedd:
1. Hawdd ei ddeall oherwydd ei fod yn defnyddio'r "pellter cyfartalog" o'r ganolfan ddata.
2. Defnyddiwch yr holl ddata (nid data penodol yn unig).
3. Gellir ei gyfrifo ar gyfer gwahanol ffurfiau o gyflwyno data.
Cyfyngiadau:
1. Llai poblogaidd na gwyriad safonol mewn dadansoddiad ystadegol uwch.
2. Mae defnyddio gwerthoedd absoliwt yn ei gwneud hi'n llai cyfleus ar gyfer rhai triniaethau algebraidd.
3. Nid yw mor gryf â gwyriad safonol mewn llawer o ddulliau casgliadol.
Cau
Mae'r dechneg ar gyfer pennu'r gwyriad cymedrig mewn data ystadegol yn dilyn patrwm cyson yn ei hanfod: pennu'r gwerth canolog (cymedr neu ganolrif), cyfrifo pellter absoliwt pob pwynt data (neu ganolbwynt dosbarth) o'r canol, ac yna eu cyfartaleddu—gan ystyried yr amlder os cyflwynir y data mewn tabl. Mae'r gwyriad cymedrig yn fesur cyfleus o wasgariad ar gyfer disgrifio amrywioldeb data yn reddfol. Drwy ddeall y camau, gallwch gymharu amrywiad ar draws setiau data ac asesu sefydlogrwydd set ddata yn fwy llawn.
Os ydych chi eisiau, gallaf eich helpu i wneud fersiwn o'r erthygl hon ar ffurf aseiniad ysgol (gyda chyflwyniad–trafodaeth–casgliad) neu ychwanegu cwestiynau ymarfer ynghyd â'r drafodaeth.
