Technegau ar gyfer Cyfrifo'r Canolrif ar gyfer Data Sengl a Data Grwpiedig
Mae'r canolrif yn fesur o duedd ganolog a ddefnyddir yn aml mewn ystadegau. Yn wahanol i'r cyfartaledd (cymedr), sy'n adio'r holl werthoedd ac yna'n rhannu â nifer y gwerthoedd, mae'r canolrif yn pwysleisio "gwerth canol" set ddata wedi'i didoli. Oherwydd ei ffocws ar safle, mae'r canolrif yn gymharol wrthwynebus i werthoedd eithafol (allgleifion), fel pan fydd un gwerth yn fawr iawn neu'n fach iawn o'i gymharu â'r lleill. Dyma pam mae'r canolrif yn cael ei ddefnyddio'n helaeth mewn dadansoddi data economaidd, addysg, ymchwil gymdeithasol, a hyd yn oed gwerthuso sgoriau profion.
Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod technegau ar gyfer cyfrifo'r canolrif ar gyfer dau fath o ddata: data sengl (heb ei grwpio) a data wedi'i grwpio (a gyflwynir mewn tabl dosraniad amlder). Yn ogystal â'r fformiwla, bydd y drafodaeth yn cynnwys camau ymarferol ar gyfer gweithredu hawdd.
-
1. Cysyniad Sylfaenol y Canolrif
Y canolrif yw'r gwerth canol ar ôl i'r data gael ei ddidoli o'r lleiaf i'r mwyaf. Os yw nifer y pwyntiau data yn odrif, y canolrif yw'r gwerth canol union. Os yw nifer y pwyntiau data yn eilrif, y canolrif yw cyfartaledd y ddau werth canol.
Yn reddfol, mae'r canolrif yn rhannu'r data yn ddwy ran:
– Mae 50% o'r data islaw (neu'n hafal i) y canolrif
– Mae 50% o'r data uwchlaw (neu'n hafal i) y canolrif
Gan fod y canolrif yn seiliedig ar drefn, y cam cyntaf sydd bron bob amser yn ofynnol yw didoli'r data.
-
2. Cyfrifo'r Canolrif ar gyfer Data Sengl
Data sengl yw data a gyflwynir fel y mae (er enghraifft rhestr o raddau myfyrwyr), nid wedi'i grynhoi mewn dosbarthiadau cyfwng fel mewn data grŵp.
A. Camau Cyffredinol
1. Trefnwch y data o'r gwerth lleiaf i'r gwerth mwyaf.
2. Penderfynwch faint o ddata, er enghraifft n.
3. Penderfynwch safle'r canolrif:
– Os yw n yn od, mae'r canolrif yn y safle \((n+1)/2\).
– Os yw n yn eilrif, y canolrif yw cyfartaledd y data yn y safleoedd \(n/2\) a \((n/2)+1\).
B. Fformiwla Ganolrif ar gyfer Data Sengl
– Os yw n yn od:
\[
Fi = x_{(n+1)/2}
\]
Mae hyn yn golygu mai'r canolrif yw'r gwerth data yn y drefn \((n+1)/2\)fed.
– Os yw n yn eilrif:
\[
Fi = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Enghraifft o Ddata Sengl (n Od)
Data: 7, 2, 9, 4, 3
1) Trefnu: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (odrif)
3) Safle canolrifol = \((5+1)/2 = 3\)
Canolrif = 3ydd data = 4
Felly canolrif y data yw 4.
D. Enghraifft o Ddata Sengl (n Eithriadol)
Data: 10, 4, 6, 8
1) Trefnu: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (cyfartal)
3) Y safle canol yw'r 2il a'r 3ydd data
Canolrif = \((6 + 8)/2 = 7\)
Felly canolrif y data yw 7.
E. Nodyn Pwysig: Data sydd ag Amlder
Weithiau gellir rhoi un set ddata fel gwerth ac amlder (e.e., mae 60 yn ymddangos ddwywaith, mae 70 yn ymddangos bum gwaith). Yn yr achos hwn, mae'r canolrif yn dal i gael ei ganfod yn seiliedig ar "drefn" y data, ond gallwn ddefnyddio'r amlder cronnus i bennu'r safle canolrif heb restru'r pwyntiau data yn unigol. Mae'r egwyddor yr un peth: dewch o hyd i'r (n+1)/2il safle (odrif) neu'r (n/2) a'r (n/2)+1af safle (eilrif), yna edrychwch ar y gwerthoedd sy'n cwmpasu'r safle hwnnw yn seiliedig ar yr amlder cronnus.
-
3. Cyfrifo'r Canolrif ar gyfer Data wedi'i Grwpio
Data wedi'i grwpio yw data sydd wedi'i grynhoi i gyfnodau dosbarth a'u hamlder. Er enghraifft: 3 o bobl ag uchder o 150–154 cm, 8 o bobl ag uchder o 155–159 cm, ac yn y blaen. Yn wahanol i ddata sengl, nid yw canolrif data wedi'i grwpio fel arfer yn cael ei bennu'n fanwl gywir oherwydd nad ydym yn gwybod y gwerthoedd unigol o fewn y cyfnod. Felly, cyfrifir y canolrif gan ddefnyddio brasamcan (amcangyfrif) gan ddefnyddio'r fformiwla canolrif ar gyfer dosraniadau wedi'u grwpio.
A. Termau Pwysig mewn Canolrif Data Grŵp
Cyn defnyddio'r fformiwla, mae angen i ni ddeall sawl cydran:
– n = cyfanswm amlder (cyfanswm nifer y data)
– n/2 = safle canolrifol cronnus
– Dosbarth canolrif = y dosbarth cyfwng cyntaf sy'n cynhyrchu amlder cronnus ≥ n/2
– L = ymyl isaf y dosbarth canolrif (nid y terfyn isaf, ond ymyl y dosbarth; ar gyfer data parhaus defnyddiwch addasiad 0,5 fel arfer os yw'r data yn gyfanrifau)
– F = amlder cronnus cyn y dosbarth canolrifol
– f = amlder dosbarth canolrifol
– c = hyd y dosbarth (lled y cyfwng)
B. Camau i Bennu Canolrif Data Grŵp
1. Creu tabl dosraniad amlder ac ychwanegu colofn amlder cronnus.
2. Cyfrifwch n (nifer yr amleddau) a phennwch n/2.
3. Penderfynwch ar y dosbarth canolrifol, sef y dosbarth sy'n cynnwys n/2 safle yn seiliedig ar amlder cronnus.
4. Rhowch y gwerthoedd yn y fformiwla canolrif ar gyfer data'r grŵp.
C. Fformiwla Ganolrif ar gyfer Data Grŵp
\[
Fi = L + \left(\frac{\frac{n}{2} – F}{f}\right)\times c
\]
Mae'r fformiwla hon yn perfformio rhyngosodiad llinol o fewn y dosbarth canolrif, gan dybio bod y data wedi'i ddosbarthu'n gyfartal ar draws cyfwng y dosbarth.
D. Enghraifft o Ganolrif Data Grŵp
Er enghraifft, y data sgôr prawf canlynol:
| Cyfwng Gwerth | Amlder (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Cyfanswm amlder:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) Cyfrifwch n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Amlder cronnus:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Mae safle 20 yn y dosbarth gyda'r sgôr gronnus gyntaf ≥ 20, sef 60–69. Felly dyma'r dosbarth canolrifol.
4) Penderfynwch ar y cydrannau:
– L = ymyl isaf y dosbarth canolrif. Ar gyfer y cyfnod 60–69, yr ymyl isaf yw 59,5 (os yw'r data yn werth cyfanrif).
– F = amlder cronnus cyn y dosbarth canolrif = 13
– f = amlder dosbarth canolrifol = 12
– c = hyd y dosbarth = 10
5) Rhowch yn y fformiwla:
\[
Fi = 59,5 + \left(\frac{20 – 13}{12}\right)\times 10
\]
\[
Fi = 59,5 + \left(\frac{7}{12}\right)\times 10
\]
\[
Fi = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Felly mae canolrif data'r grŵp tua 65,33.
-
4. Camgymeriadau Cyffredin
Rhai camgymeriadau cyffredin wrth gyfrifo'r canolrif:
1. Heb ddidoli'r data ar gyfer data sengl, felly nid yw'r gwerth canol yn gywir.
2. Pennu safle'r canolrif yn anghywir pan fo n yn eilrif (rhaid cymryd cyfartaledd y ddau werth canol).
3. Ar gyfer data grŵp, mae'n anghywir dewis y dosbarth canolrif oherwydd nid yw'n creu amlder cronnus.
4. Defnyddio terfyn isaf y dosbarth ymyl isaf (L) pan fo'r data yn barhaus/cyfyngau yn gyfanrifau.
5. Pennu hyd y dosbarth (c) yn anghywir, yn enwedig os yw'r cyfnodau'n anghyson.
-
5. Casgliad
Mae'r canolrif yn fesur syml ond pwerus o duedd ganolog, yn enwedig pan fydd y data'n cynnwys gwerthoedd eithafol. Ar gyfer setiau data sengl, pennir y canolrif yn uniongyrchol o'r safle canol ar ôl i'r data gael ei ddidoli, gyda thriniaeth wahanol ar gyfer odrifau ac eilrifau o setiau data. Yn y cyfamser, ar gyfer setiau data wedi'u grwpio, cyfrifir y canolrif gan ddefnyddio fformiwla rhyngosod yn seiliedig ar ddosbarth y canolrif, amlder cronnus, a hyd y dosbarth.
Drwy ddeall y cysyniad a'r camau, gallwch gyfrifo'r canolrif yn gyflym ac yn gywir, ar ddata syml ac ar ddata sydd wedi'i grynhoi mewn tablau. Mewn llawer o sefyllfaoedd dadansoddol, mae'r canolrif yn ddewis mwy cynrychioliadol na'r cymedr, yn enwedig pan fo dosbarthiad y data yn anghymesur neu'n cynnwys allanolion.
Os ydych chi eisiau, gallaf hefyd ychwanegu cwestiynau ymarfer ynghyd â thrafodaethau i gryfhau eich dealltwriaeth o ganolrif data sengl a grŵp.
