פֿאַרשטיין די אָפּשטאַמונגען פֿון קאָמפּלעקסע נומערן
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַן עיקרדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק, און דינען אָפט ווי די יסוד פֿאַר פֿאַרשידענע צווייגן פֿון וויסנשאַפֿט, אַרייַנגערעכנט פֿיזיק, אינזשעניריע און קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט. אין עיקר, קאָמפּלעקסע נומערן זענען דעוועלאָפּעד געוואָרן ווי לייזונגען צו גלייכונגען וואָס קענען נישט ווערן געלייזט אין דער רעאַלער נומער סיסטעם; זיי לייגן צו אַ נייע דימענסיע צו מאַטעמאַטיק און לאָזן וויסנשאַפֿטלער דורכפֿירן טיפֿערע אַנאַליזן פֿון פֿאַרשידענע דערשיינונגען. דער אַרטיקל וועט דערקלערן די אָנהייבן פֿון קאָמפּלעקסע נומערן, זייער אַנטוויקלונג און זייערע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס.
דער אָנהייב פֿון דעם באַגריף פֿון קאָמפּלעקסע נומערן
די געשיכטע פון קאָמפּלעקסע נומערן קען מען צוריקפירן צום אוראלט גריכנלאנד, ווען מאטעמאטיקער האבן אנגעהויבן טראכטן וועגן ווי אזוי צו לייזן קוואַדראַטישע גלייכונגען. די אַלגעמיינע פאָרעם פון אַ קוואַדראַטישער גלייכונג (ax^2 + bx + c = 0) האט אַ לייזונג געגעבן דורך דער קוואַדראַטישער פאָרמולע:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
די פראבלעם קומט ארויף ווען דער דיסקרימינאנט (\( b^2 – 4ac \)) איז נעגאטיוו, וואס פירט צום קוואדראט ווארצל פון א נעגאטיוון נומער – עפעס וואס איז נישט דעפינירט אין קאנטעקסט פון רעאלע נומערן. דאס איז א דילעמע וואס האט לאנג פארפלאנטערט מאטעמאטיקער.
ערשט אין 16טן יאָרהונדערט האָט אַן איטאַליענישער מאַטעמאַטיקער מיטן נאָמען דזשעראָלאַמאָ קאַרדאַנאָ געמאַכט אַ באַדייטנדיקן שריט פאָרויס דורך אײַנפֿירן דעם באַגריף פֿון וואָרצלען פֿון נעגאַטיווע נומערן בשעת ער האָט פּרובירט צו סאָלווען קובישע גלייכונגען. קאַרדאַנאָ האָט געגעבן די ערשטע אינטערפּרעטאַציע פֿון אימאַגינערע וואָרצלען, כאָטש ער אַליין האָט עס באַטראַכט ווי "טויזנט האַלוצינאַטאָרישע זאַכן".
די עוואָלוציע פֿון געדאַנק וועגן קאָמפּלעקסע נומערן
לעאָנאַרד איילער און קאַרל פרידריך גאַוס, צוויי ריזן אין דער וועלט פון מאַטעמאַטיק, האָבן געמאַכט וויכטיקע ביישטייערונגען צו דער אויפשטעלונג פון דעם באַגריף פון קאָמפּלעקסע נומערן. איילער, וועלכער האָט געלעבט אין 18טן יאָרהונדערט, האָט איינגעפירט די נאָטאַציע (i) פֿאַר (sqrt{-1}), און דעפינירט די קאָמפּלעקסע עקספּאָנענציעלע דורך איילער'ס באַרימטער פֿאָרמולע :
[e^{iθ} = \cos(θ) + i\sin(θ)]
די פֿאָרמולע, אויך באַקאַנט ווי אוילער'ס אידענטיטעט ווען θ = π, איז איינע פֿון די שענסטע באַציִונגען אין מאַטעמאַטיק ווײַל זי פֿאַרבינדט פֿינף פֿונדאַמענטאַלע קאָנסטאַנטן: θ (איילער'ס נומער), θ (אימאַגינערע איינהייט), θ (π) (פּי קאָנסטאַנט), 1 (מולטיפּליקאַטיווע אידענטיטעט), און 0 (אַדיטיוו אידענטיטעט), ווי פֿאָלגט:
\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
גאוס, פון דער אנדערער זייט, האט געשפילט א שליסל ראלע אין איינפירן די נאטאציע פאר קאמפלעקסע נומערן אין דער פארעם textit{a + bi}, און האט איינגעזען די וויכטיקייט פון דעם באגריף אין פארשידענע אספעקטן פון מאטעמאטיק, אריינגערעכנט נומער טעאריע , אלגעברע, און געאמעטריע.
פֿאָרמאַלע דעפֿיניציע און אייגנשאַפֿטן פֿון קאָמפּלעקסע נומערן
קאָמפּלעקסע נומערן ווערן געוויינטלעך אויסגעדריקט אין דער פֿאָרעם z = a + bi, וואו a און b זענען רעאַלע נומערן, און i איז אַן אימאַגינערע איינהייט מיט דער אייגנשאַפֿט i² = -1. אין דער פֿאָרעם ווערט a גערופן דער רעאַלער טייל און b ווערט גערופן דער אימאַגינערע טייל פֿון דער קאָמפּלעקסער נומער z.
קאָמפּלעקסע נומערן קען מען אָפּערירן אויף ווי רעאַלע נומערן, מיט עפּעס ענלעכע גרונטלעכע אַלגעברישע כּללים אָבער מיט אַ פּאָר צוגאָבן:
1. צוגאב און סובטראַקציע:
פֿאַר צוויי קאָמפּלעקסע נומערן \(z_1 = a_1 + b_1i \) און \(z_2 = a_2 + b_2i \):
\[ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a_1 – a_2) + (b_1 – b_2)i \]
2. מולטיפּליקאַציע:
[z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 – b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i]
3. פאַרשפּרייטונג:
פֿאַר דיוויזשאַן, מוזן מיר קאָניוגירן דעם נענער און נוצן דעם רעזולטאַט פֿון דער מאַלטיפּליקאַציע:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \times \frac{a_2 – b_2i}{a_2 – b_2i} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (b_1a_2 – a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2} \]
געאמעטרישע רעפּרעזענטאַציע און אינטערפּרעטאַציע
קאָמפּלעקסע נומערן האָבן אויך אַ וויכטיקע געאָמעטרישע אינטערפּרעטאַציע. זיי קענען געזען ווערן ווי פונקטן אָדער וועקטאָרן אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך (באַקאַנט ווי דער אַרגאַנד פלאַך), וואו די x-אַקס רעפּרעזענטירט דעם רעאַלן טייל און די y-אַקס רעפּרעזענטירט דעם ימאַדזשינערי טייל. די רעפּרעזענטאַציע גיט אַ וויזועלע וועג צו פֿאַרשטיין פֿאַרשידענע אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן, ווי אַדיציע, סובטראַקציע, און אפילו מאַלטיפּליקאַציע און דיוויזיע.
אלס א ביישפיל:
– צולייגן צוויי קאָמפּלעקסע נומערן אין דער אַרגאַנד פלאַך איז אַזוי פּשוט ווי צולייגן צוויי וועקטאָרן.
– טאפל מאכן פון צוויי קאמפלעקסע נומערן האט א געאמעטרישע אויסטײַטשונג אין דער פארעם פון ראָטאַציע און ענדערונג פון וואָג. אויב \( z_1 = r_1(\cos ≤ 1 + i \sin ≤ 1) \) און \( z_2 = r_2(\cos ≤ 2 + i \sin ≤ 2) \), דעמאָלט:
[z_1 ⋅z_2 = r_1/r_2 [γι(θ₁ + θ₂) + i₂sin(θ₁ + θ₂)]
קאָמפּלעקסע נומער אַפּליקאַציעס
א גרינטלעכע פארשטענדעניש פון קאמפלעקסע נומערן גיט אנאליטישע סקילז וואס זענען גאר נוצלעך אין פילע קאנטעקסטן. עטלעכע וויכטיגע אנווענדונגען פון קאמפלעקסע נומערן זענען:
1. עלעקטראָניק און אינזשעניריע:
בילאַנגאַן קאָמפּלעקס ווערט גענוצט צו אנאליזירן און דיזיינען וועקסלשטראָם קרייזן. זיי צושטעלן אַן גרינגערן וועג צו אויסדריקן קראַנט און וואָולטאַזש ווי אַ פֿונקציע פון צייט און צו רעכענען קרייז ימפּידאַנס.
2. עלעקטראָמאַגנעטישע פעלד טעאָריע:
אין פיזיק, מאַקסוועלל'ס גלייכונגען אַרייַננעמען אָפט קאָמפּלעקסע נומערן צו באַשרייבן די אַנטוויקלונג פון עלעקטראָמאַגנעטישע כוואַליעס.
3. סיסטעם קאָנטראָל:
אין קאָנטראָל טעאָריע, ווערט די טראַנספער פונקציע פון אַ לינעאַר סיסטעם אָפט אויסגעדריקט אין טערמינען פון קאָמפּלעקסע נומערן.
4. סיגנאַל פּראַסעסינג:
אין דיגיטאַלער סיגנאַל פּראַסעסינג, ווערן קאָמפּלעקסע נומערן גענוצט פֿאַר פֿוריע אַנאַליז, וואָס מאַכט עס מעגלעך צו צעברעכן און צעלאָזן קאָמפּלעקסע סיגנאַלן אין פּשוטע פֿרעקווענץ קאָמפּאָנענטן.
5. קוואַנטום מעכאַניק:
קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַן אינטעגראַלער טייל פון דער כוואַליע פונקציע אין קוואַנטום מעכאַניק, אַן אומפאַרלאַנגבארער טייל פון פֿאַרשטיין די וואַרשיינלעכקייט און עוואָלוציע פון קוואַנטום סיסטעמען.
קעסימפּולאַן
קאָמפּלעקסע נומערן, כאָטש זיי זענען אָנהייב אַבסטראַקט, האָבן אַ לאַנגע און רייכע געשיכטע, וואָס האָט זיך אַנטוויקלט פֿון אוראַלטן גריכנלאַנד ביז מאָדערנע צייטן. זיי זענען נישט פשוט לייזונגען צו ספּעציפֿישע מאַטעמאַטישע גלייכונגען, נאָר אויך די יסוד פֿאַר אַ ברייטע קייט פֿון טיפֿע וויסנשאַפֿטלעכע און טעכנישע טעאָריעס. פֿאַרשטיין און אָנווענדן קאָמפּלעקסע נומערן עפֿנט די טיר צו ווייטערדיקע כידעש אין מאַטעמאַטיק, וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע. זייער אַנטוויקלונג ניט נאָר באַרייכערט טעאָרעטישע וויסן, נאָר אויך פֿירט אײַן פּראַקטישע מכשירים וואָס זענען קריטיש פֿאַר סאָלווען קאָמפּלעקסע וואָכעדיקע פּראָבלעמען.
