היפּערבאָלאַ גלייכונג אין געאָמעטריע
די היפּערבאָלע איז איינע פון די וויכטיקסטע קורוועס אין אנאליטישער געאמעטריע, צוזאמען מיטן קרייז, עליפסע, און פאראבאָלע. עס דערשיינט אָפט אין ביידע ריינער מאטעמאטיק און אַפּליקאַציעס, ווי נאַוויגאַציע, אַסטראָנאָמיע, און פיזיק. כּדי גאָר צו פֿאַרשטיין די היפּערבאָלע, דאַרפֿן מיר פֿאַרשטיין איר געאמעטרישע דעפֿיניציע, די סטאַנדאַרט פֿאָרעם פֿון איר גלייכונג, אירע קאָנסטיטואַנט עלעמענטן, און ווי היפּערבאָלע גלייכונגען קענען ווערן דערייווד און אינטערפּרעטירט אויף דער קאָאָרדינאַט פלאַך. דער אַרטיקל דיסקוטירט אויספֿירלעך היפּערבאָלע גלייכונגען אין געאמעטריע, מיט אַן אַקצענט אויף אָפֿט גענוצטע גלייכונג פֿאָרמען.
1. געאמעטרישע דעפיניציע פון היפערבאָלע
געאמעטריש, ווערט א היפערבאָלע דעפינירט אלס די גרופע פונקטן אין א פלאך וועמענס דיסטאַנץ פון צוויי פעסטע פונקטן איז קאָנסטאַנט. די צוויי פעסטע פונקטן ווערן גערופן פאָקוסן (מערצאָל: פאָקוסן).
אויב מיר האָבן צוויי פֿאָקוסן \(F_1\) און \(F_2\), דאַן פֿאַר יעדן פּונקט \(P(x,y)\) אויף דער היפּערבאָלע גילט די פֿאָלגנדיקע:
\[
|PF_1 – PF_2| = 2a
\]
די קאָנסטאַנטע \(2a\) איז אַ פּאָזיטיווער ווערט וואָס רעפּרעזענטירט אַ קאָנסטאַנטן דיסטאַנץ חילוק. די דעפֿיניציע איז די באַזע פֿאַר וואָס אַ היפּערבאָלע באַשטייט פֿון צוויי קעגנגעזעצטע צווייגן: יעדער צווייג כּולל פּונקטן וואָס זענען נענטער צו איין פֿאָקוס ווי דער אַנדערער.
2. היפּערבאָלע אין דער קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם
אין אנאליטישע געאמעטריע, ווערן היפערבאָלעס טיפּיש שטודירט דורך גלייכונגען אויף דער קאָאָרדינאַט פלאַך. די פאָרעם פון דער היפערבאָלע גלייכונג דעפּענדס אויף דער אָרט פון דעם צענטער פון דער היפערבאָלע און דער ריכטונג פון איר הויפּט אַקס (צי האָריזאָנטאַל אָדער ווערטיקאַל).
דער צענטער פון אַ היפּערבאָלע איז דער מיטלפונקט צווישן די צוויי פאָקוסן. אויב די היפּערבאָלע איז צענטרירט ביים אָנהייב \((0,0)\), קען איר גלייכונג געשריבן ווערן אין צוויי נאָרמאַלע פֿאָרמען.
א. היפּערבאָלע מיט האָריזאָנטאַלער טראַנסווערסאַלער אַקס
סטאַנדאַרט פאָרעם:
\[
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
די היפּערבאָלע עפֿנט זיך צו לינקס און רעכטס (האָריזאָנטאַל). דאָס מיינט אַז די צווייגן פֿון דער היפּערבאָלע ציען זיך אויף דער \(x\) אַקס. אין דער פֿאָרעם:
– צענטער פון היפּערבאָלע: \((0,0)\)
– שפּיץ: \((\pm a, 0)\)
– פאָקוס: \((\pm c, 0)\)
מיט דער באַציִונג:
\[
c^2 = א^2 + ב^2
\]
דער פּאַראַמעטער \(a\) איז פֿאַרבונדן מיט דער דיסטאַנץ פֿון צענטער צום שפּיץ, בשעת \(b\) איז פֿאַרבונדן מיט דער "ברייט" פֿון דער היפּערבאָלע אין דער ריכטונג פֿון דער אַקס פּערפּענדיקולאַר צו דער טראַנסווערסאַלער אַקס.
ב. היפּערבאָלע מיט אַ ווערטיקאַלער טראַנסווערסאַלער אַקס
סטאַנדאַרט פאָרעם:
\[
\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1
\]
די היפּערבאָלע עפֿנט זיך אַרויף און אַראָפּ (ווערטיקאַל). פֿאַר דער פֿאָרעם:
– צענטער: \((0,0)\)
– שפּיץ: \((0, \pm a)\)
– פאָקוס: \((0, \pmc)\)
מיט דער זעלבער באַציִונג:
\[
c^2 = א^2 + ב^2
\]
דער איבערגאַנג צווישן די צוויי פֿאָרמען איז אין עיקר נאָר אויסטוישן די ראָלעס פֿון \(x\) און \(y\), דאָס הייסט, צו וועלכע אַקס די היפּערבאָלע עפֿנט זיך.
3. וויכטיגע עלעמענטן פון היפערבאָלע
כּדי צו פֿאַרשטיין די היפּערבאָלאַ גלייכונג זאָל נישט נאָר זײַן אַבסטראַקט, איז וויכטיק צו דערקענען אירע געאָמעטרישע עלעמענטן.
1. טראַנסווערסאַלע אַקס: אַ ליניע וואָס גייט דורך דעם צענטער און ביידע עקן פון דער היפּערבאָלע. די אַקס איז די ריכטונג אין וועלכער די היפּערבאָלע עפֿנט זיך.
2. קאָניוגאַט אַקס: אַ ליניע וואָס גייט דורך דעם צענטער אָבער איז פּערפּענדיקולאַר צו דער טראַנסווערסאַלער אַקס. איר לענג איז פֿאַרבונדן מיטן ווערט פֿון \(b\).
3. שפּיץ: דער נאָענטסטער פּונקט אויף דער היפּערבאָלע צום צענטער. דער שפּיץ איז אויף דער טראַנסווערסאַלער אַקס.
4. פאָקוסן: צוויי פיקסירטע פונקטן געניצט אין דער דעפֿיניציע פֿון אַ היפּערבאָלע. די פאָקוסן זענען שטענדיק אויף דער טראַנסווערסאַלער אַקס.
5. אסימפטאטן: צוויי גלייכע ליניעס צו וועלכע די היפערבאָלע קומט ווען \(x\) אדער \(y\) וואקסט, אבער זיי שניידן זיך קיינמאל נישט אין דעם זין אז די קורוועס "ווערן" נישט יענע ליניעס. אסימפטאטן זענען זייער וויכטיג ביים צייכענען היפערבאָלעס.
פֿאַר אַ היפּערבאָלע צענטרירט בײַם אָנהייב, די אַסימפּטאָטן זענען:
– פֿאַר \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\):
\[
y = ∫_pm \frac{b}{a}x
\]
– פֿאַר \(\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1\):
\[
y = ∫_pm \frac{a}{b}x
\]
די אַסימפּטאָטן געבן אַן אָנצייגונג פון דעם שיפּוע פון די צווייגן פון דער היפּערבאָלע און שטאַרק ערלייכטערן דאָס צייכענען דעם גראַף.
4. היפּערבאָלע צענטרירט ביי פּונקט \((h,k)\)
נישט אַלע היפּערבאָלעס זענען צענטרירט ביים אָנהייב. אויב דער צענטער פֿון דער היפּערבאָלע איז ביי \((h,k)\), דאַן גייט די סטאַנדאַרט גלייכונג דורך אַן טראַנסלאַציע.
א. האָריזאָנטאַלע טראַנסווערסאַלע אַקס
\[
\frac{(קסה)^2}{אַ^2} – \frac{(יק)^2}{ב^2} = 1
\]
דער שפּיץ:
\[
(שעה \pm a, \, k)
\]
דער פאָקוס:
\[
(שעה \pm ג, \, ק)
\]
ב. ווערטיקאַלע טראַנסווערסאַלע אַקס
\[
\frac{(יק)^2}{אַ^2} – \frac{(קסה)^2}{ב^2} = 1
\]
דער שפּיץ:
\[
(ה, \, ק \pm a)
\]
דער פאָקוס:
\[
(ה, \, ק \pm ג)
\]
מיט פעסט:
\[
c^2 = א^2 + ב^2
\]
די פאָרעם ווערט זייער אָפט גענוצט אין אַנאַליטישע פּראָבלעמען ווײַל פילע היפּערבאָלעס ווערן "גערוקט" פֿון דעם אָנהייב צו פּאַסן צום קאָנטעקסט פֿון דער פּראָבלעם.
5. ארויספירן די היפערבאָלע גלייכונג פון דער דעפיניציע פון פאָקוס
איינע פון די שטאַרקייטן פון אַנאַליטישער געאָמעטריע איז די מעגלעכקייט צו באַקומען קורווע גלייכונגען פון דער דעפֿיניציע פון דיסטאַנץ. למשל, אויב די פֿאָקוסן פון אַ האָריזאָנטאַלער היפּערבאָלע זענען ביי \((c,0)\) און \((-c,0)\), דאַן פֿאַר דעם פּונקט \(P(x,y)\) גילט די פֿאָלגנדיקע:
\[
\left|\sqrt{(x+c)^2 + y^2} – \sqrt{(x+c)^2 + y^2}\right| = 2a
\]
דורך דורכפירן אַלגעברײַשע מאַניפּולאַציעס (אַראָפּנעמען אַבסאָלוטע ווערטן און וואָרצלען דורך שריטווייז עקספּאָנענטיאַציע), קען די גלייכונג ווערן פאַרפּשוטעט צו:
\[
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
מיט דער באַדינגונג \(c^2=a^2+b^2\). דער פּראָצעס ווײַזט אַז די סטאַנדאַרט פֿאָרעם איז נישט נאָר אַ מעמעריזירטע פֿאָרמולע, נאָר אַ דירעקטע קאָנסעקווענץ פֿון דער געאָמעטרישער דעפֿיניציע פֿון היפּערבאָלע.
6. עקסצענטריציטעט און איר באַדייטונג
א היפּערבאָלע האט א וויכטיגע קוואַנטיטעט גערופן עקסצענטרישקייט, באַצייכנט \(e\), וואָס מעסט דעם "גראַד פון קרומקייט" פון דער קרומקייט. פֿאַר אַ היפּערבאָלע:
\[
e = \frac{c}{a}
\]
זינט \(c^2 = a^2 + b^2\), דעמאָלט \(c > a\) אַזוי אַז:
\[
און > 1
\]
דאָס אונטערשיידט אַ היפּערבאָלע פֿון אַן עליפּס (וואָס האָט \(0 < e < 1\)) און אַ פּאַראַבאָלע (וואָס האָט \(e = 1\)). ווי גרעסער \(e\), אַלץ מער טענדירט די היפּערבאָלע צו "עפֿענען זיך" און אירע צווייגן דערנענטערן זיך שנעלער צו די אַסימפּטאָטן. 7. סקיצירן אַ גראַף באַזירט אויף אַ גלייכונג צו צייכענען אַ היפּערבאָלע פֿון אַ נאָרמאַלער גלייכונג, די אַלגעמיינע טריט זענען: 1. געפֿינט דעם צענטער \((h,k)\). 2. באַשטימט די ריכטונג פֿון דער עפענונג (האָריזאָנטאַל אָדער ווערטיקאַל) פֿון דעם פּאָזיטיוון סימן אין דעם טערמין \((x-h)^2\) אָדער \(yk)^2\). 3. רעכנט אויס \(a\) און \(b\), און געפֿינט דעם שפּיץ. 4. געפֿינט די אַסימפּטאָטן ניצנדיק דעם שיפּוע \(\pm \frac{b}{a}\) אָדער \(\pm \frac{a}{b}\) און צייכנט די אַסימפּטאָט ליניע דורך דעם צענטער. 5. צייכנט די צווייגן פון דער היפערבאָלע וואָס דערנענטערן זיך צו די אַסימפּטאָטן און גייען דורך די ווערטיקס. די פּראָצעדור טראַנספאָרמירט די אַלגעברעישע גלייכונג אין אַ קלאָרע געאָמעטרישע רעפּרעזענטאַציע. 8. מסקנא די היפערבאָלע גלייכונג אין געאָמעטריע איז אַ בריק צווישן דער דעפיניציע פון דיסטאַנץ אין קלאַסישער געאָמעטריע און איר מאַטעמאַטישע רעפּרעזענטאַציע אין אַנאַליטישער געאָמעטריע. אָנהייבנדיק פון דער דעפיניציע פון דעם פאָקוס, באַקומען מיר די סטאַנדאַרט גלייכונג פאָרעם וואָס כּולל די פּאַראַמעטערס \(a\), \(b\), און \(c\), ווי אויך די וויכטיקע באַציִונג \(c^2 = a^2 + b^2\). אין דערצו, עלעמענטן ווי דער ווערטעקס, פאָקוס, און אַסימפּטאָטע צושטעלן אַ געאָמעטרישע ינטערפּריטאַציע וואָס פאַסילאַטייץ צייכענונג און ווייטערדיקע אַנאַליז. פֿאַרשטיין די היפערבאָלע איז נישט בלויז וועגן מעמערירן די גלייכונג פאָרעם, אָבער אויך וועגן זען ווי יעדער פּאַראַמעטער אַפעקץ די פאָרעם פון דער קורווע אויף דער קאָאָרדינאַט פלאַך. אויב איר ווילט, קען איך צולייגן גאַנצע ביישפילן (למשל, באַשטימען די גלייכונג פון אַ היפערבאָלע פון דעם פאָקוס און ווערטעקס, אָדער פּלאַטינג אַ היפערבאָלע פון אַן אַלגעמיינע קוואַדראַטישע גלייכונג) צו מאַכן די דיסקוסיע מער אַפּליקאַבאַל.
