קאַנאָנישע פאָרעם פון קוואַדראַטישער גלייכונג
קוואַדראַטישע גלייכונגען זענען איינע פון די וויכטיקסטע טעמעס אין אַלגעברע, און דערשייַנען אָפט אין שולע מאַטעמאַטיק און אין אַפּליקאַציעס אין וויסנשאַפֿט, עקאָנאָמיק און אינזשעניריע. בכלל, אַ קוואַדראַטישע גלייכונג איז אַ פּאָלינאָם גלייכונג פון צווייטן גראַד וואָס קען געשריבן ווערן ווי:
\[
אַקס ^ 2 + בקס + C = 0
\]
וואו Σθ ≤ 0, און Σθ, Σθ און Σθ זענען רעאַלע נומערן (אָדער קאָמפּלעקסע נומערן, לויטן קאָנטעקסט). כאָטש די אַלגעמיינע פֿאָרעם ווערט אָפֿטער אײַנגעפֿירט, איז דאָ נאָך אַ פֿאָרעם וואָס איז זייער נוצלעך פֿאַר פֿאַרשטיין די אייגנשאַפֿטן פֿון קוואַדראַטישע גלייכונגען, נעמלעך די קאַנאָנישע פֿאָרעם. די קאַנאָנישע פֿאָרעם העלפֿט אונדז "לייענען" די כאַראַקטעריסטיקס פֿון אַ פּאַראַבאָלע — ווי דער שפּיץ, מאַקסימום/מינימום ווערטן, און סימעטריע אַקס — שנעלער און קלאָרער.
וואָס איז די קאַנאָנישע פֿאָרעם?
די קאַנאָנישע פֿאָרעם (אָפֿט אויך גערופֿן די ווערטעקס פֿאָרעם) פֿון אַ קוואַדראַטישער פֿונקציע איז:
\[
y = a(x-h)^2 + k
\]
מיט:
– \(a\) באַשטימט די ריכטונג און "קרומקייט" פון דער פּאַראַבאָלע,
– \((h, k)\) זײַנען די קאָאָרדינאַטן פֿון דעם שפּיץ פֿון דער פּאַראַבאָלע.
אויב וואָס ווערט דיסקוטירט איז אַ קוואַדראַטישע גלייכונג (נישט אַ פֿונקציע), קען מען שרייבן די פֿאָרעם:
\[
a(x-h)^2 + k = 0
\]
אדער איבערגעפירט צו פונקציע פאָרעם אויב נייטיק. די פאָרעם ווערט גערופן קאַנאָניש ווייַל עס גיט די "מערסט אינפאָרמאַטיווע" רעפּרעזענטאַציע פון די פאָרעם פון די גראַף און די נאַטור פון די פונקציע ווערטן.
פארוואס איז קאנאנישע פארעם וויכטיג?
עס זענען דא עטלעכע סיבות פארוואס קאנאנישע פארמען זענען אזוי נוצלעך:
1. באַשטימען דעם שפּיץ פּונקט לייכט
אין דער אַלגעמיינער פֿאָרעם \(ax^2+bx+c\), מוזן מיר ערשט רעכענען \(x_p = -\frac{b}{2a}\) צו געפֿינען דעם שפּיץ. אָבער, אין דער קאַנאָנישער פֿאָרעם \(a(x-h)^2+k\), איז דער שפּיץ גלייך קענטיק, נעמלעך \((h, k)\).
2. וויסן דעם מאַקסימום/מינימום ווערט
אויב \(a>0\), עפֿנט זיך די פּאַראַבאָלע אַרויף אַזוי אַז דער שפּיץ איז דער מינימום ווערט. אויב \(a<0\), עפֿנט זיך די פּאַראַבאָלע אַראָפּ אַזוי אַז דער שפּיץ איז דער מאַקסימום ווערט. דער עקסטרעמער ווערט איז \(k\). 3. מאַכט עס גרינגער צו סקיצירן גראַפֿן דורך וויסן דעם שפּיץ און די ריכטונג פֿון דער פּאַראַבאָלע עפֿענונג, קענען מיר צייכענען גראַפֿן שנעלער, אַרייַנגערעכנט באַשטימען די אַקס פֿון סימעטריע \(x=h\). 4. העלפֿט סאָלווען קוואַדראַטישע גלייכונגען אין עטלעכע פֿאַלן, איז סאָלווען \(ax^2+bx+c=0\) שנעלער אויב עס ווערט ערשט קאָנווערטירט אין אַ פּערפֿעקטער קוואַדראַטישער פֿאָרעם דורך דער קאַנאָנישער פֿאָרעם. ווי אַזוי צו ענדערן די אַלגעמיינע פֿאָרעם צו דער קאַנאָנישער פֿאָרעם ענדערן \(ax^2+bx+c\) צו \(a(x-h)^2+k\) ווערט געטאָן דורך דער מעטאָדע פֿון פֿאַרענדיקן דעם קוואַדראַט (פֿאַרענדיקן דעם קוואַדראַט). די טריט זענען ווי פאלגט: געגעבן: \[ y = ax^2 + bx + c \] טריט 1: פאַקטאָרירן \(a\) פון די טערמינען וואָס אַנטהאַלטן \(x\) \[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \] טריט 2: צולייגן און אַראָפּרעכענען די זעלבע נומערן אין קלאַמערן צו מאַכן אַ פּערפעקט קוואַדראַט צו מאַכן \(x^2 + \frac{b}{a}x\) אין דער פאָרעם \((x+p)^2\), נעמען מיר: \[ p = \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{2a} \] צולייגן און אַראָפּרעכענען \(p^2\): \[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] טריט 3: גרופּירן אין אַ פּערפעקט קוואַדראַט [ y = a((x + b}{2a)^2 – (b}{2a)^2) + c ] שריט 4: פארשפרייטן (a) און פארפּשוטערן [ y = a(x + b}{2a)^2 – a(b}{2a)^2 + c ] ווייל: [ a(b}{2a)^2 = a \cdot b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a} ] דעמאלט: [ y = a(x + b}{2a)^2 + (c – b^2}{4a}) ] דאס איז די קאנאנישע פארעם מיט: [ h = -b}{2a}, k = c – באַמערק אז \(h\) קאָרעספּאָנדירט צו דער פֿאָרמולע פֿאַר דער אַקס פֿון סימעטריע, בשעת \(k\) גיט דעם ווערט פֿון דער פֿונקציע בײַם שפּיץ. בייַשפּיל פון קאָנווערטירן צו קאַנאָנישער פאָרעם למשל: \[ y = 2x^2 – 8x + 3 \] שריט 1: פאַקטאָרירן 2 פון די ערשטע צוויי טערמינען \[ y = 2(x^2 – 4x) + 3 \] שריט 2: פאַרענדיקן דעם קוואַדראַט אין די קלאַמערן נעמען העלפט פון \(-4\), וואָס איז \(-2\), און קוואַדראַט עס צו באַקומען \(4\): \[ y = 2(x^2 – 4x + 4 – 4) + 3 \] שריט 3: גאנץ קוואַדראַט פאָרעם \[ y = 2((x-2)^2 – 4) + 3 \] שריט 4: פאַרפּשוטערן \[ y = 2(x-2)^2 – 8 + 3 \] \[ y = 2(x-2)^2 – 5 \] אַזוי די קאַנאָנישע פאָרעם איז: \[ y = 2(x-2)^2 – 5 \] פון דאָ מיר גלייך וויסן אַז דער שפּיץ איז \((2, -5)\), די אַקס פון סימעטריע איז \(x=2\), די פּאַראַבאָלע עפֿנט זיך אַרויף (ווײַל \(a=2>0\)), און דער מינימום ווערט פון דער פֿונקציע איז \(-5\).
די באַציִונג צווישן דער קאַנאָנישער פֿאָרעם און די וואָרצלען פֿון דער גלייכונג
אויב מיר ווילן געפֿינען די וואָרצלען פֿון אַ קוואַדראַטישער גלייכונג:
\[
אַקס^2+bx+c=0
\]
מיר קענען עס איבערקערן אין קאנאנישער פארעם:
\[
a(x-h)^2 + k = 0
\]
אַזוי:
\[
a(x-h)^2 = -k
\]
\[
(x-h)^2 = -\frac{k}{a}
\]
קעמודיאַן:
\[
xh = ∫pm √ - √k/a
\]
\[
x = h ⋅ µm² (-³k/a)
\]
פון דעם קען מען זען אז אן עכטער ווארצל עקזיסטירט אויב:
\[
-\frac{k}{a} \ge 0
\]
וואָס איז אין לויט מיטן באַגריף פֿון דיסקרימינאַנט. דער דיסקרימינאַנט \(D = b^2-4ac\) באַשטימט צי עס זענען דאָ צוויי רעאַלע וואָרצלען, איין צווילינג וואָרצל, צי קיין רעאַלע וואָרצלען נישט. אין קאַנאָנישער פֿאָרעם, ענטשטייט דער צושטאַנד נאַטירלעך דורך דעם סימן פֿון דעם אויסדרוק אינעווייניק פֿון דער וואָרצל.
קאַנאָנישע פֿאָרמען און פֿאַרשטיין גראַפֿן
דער גראַף פֿון אַ קוואַדראַטישער פֿונקציע איז אַ פּאַראַבאָלע. מיט קאַנאָנישער פֿאָרעם:
\[
y = a(x-h)^2 + k
\]
מיר קענען פֿאַרשטיין די טראַנספֿאָרמאַציע פֿון דער נאָרמאַלער פּאַראַבאָלע \(y=x^2\):
– \(h\) פארשיבט דעם גראַף רעכטס (אויב \(h>0\)) אדער לינקס (אויב \(h<0\)), – \(k\) פארשיבט דעם גראַף ארויף (אויב \(k>0\)) אדער אראפ (אויב \(k<0\)), – \(a\) ציט אדער קאמפרעסט די פּאַראַבאָלע און באַשטימט די עפענונג ריכטונג (ארויף אויב \(a>0\), אראפ אויב \(a<0\)).
אזוי, די קאנאנישע פארעם איז נישט נאר א רעכענונג-געצייג, נאר אויך א וויזועל געצייג פארן "לייענען" דאס אויפפירונג פון פונקציעס.
קעסימפּולאַן
די קאנאנישע פארעם פון א קוואדראטישע גלייכונג אדער פונקציע, \(y = a(x-h)^2 + k\), איז א שטארק אינפארמאטיווע רעפרעזענטאציע ווייל עס ווייזט גלייך דעם שפיץ \((h,k)\), די אקס פון סימעטריע, און דעם מאקסימום אדער מינימום ווערט. די פארעם באקומט מען פון דער אלגעמיינער פארעם \(ax^2+bx+c\) דורך פארענדיגן דעם קוואדראט. אין צוגאב צו העלפן גראף פאראבלען, פארפּשוטעט די קאנאנישע פארעם אויך די אנאליז פון די ווארצלען און אייגנשאפטן פון קוואדראטישע גלייכונגען. צוליב דעם איז פארשטיין די קאנאנישע פארעם א וויכטיגער שריט אין באהערשן אלגעברע און די אנווענדונגען פון קוואדראטישע גלייכונגען אין פארשידענע פעלדער.
