פּריים נומער טעאָריע
פריים נומערן זענען איינע פון די פשוטסטע אבער מערסט מיסטעריעזע אביעקטן אין מאטעמאטיק. פשוט ווייל זייער דעפיניציע איז קלאר: א פריים נומער איז א גאנצע צאל גרעסער ווי 1 וואס האט נאר צוויי פאזיטיווע דיווייזארן: 1 און זיך אליין. מיסטעריעז ווייל, טראץ דעם וואס מען שטודירט זיי טויזנטער יארן, בלייבן אסאך יסודות'דיגע פראגעס וועגן פריים נומערן אומגעענטפערט ביזן היינטיגן טאג. דער צווייג פון מאטעמאטיק וואס שטודירט די אייגנשאפטן, מוסטערן, און פארשפרייטונג פון פריים נומערן ווערט אפט דיסקוטירט אין נומער טעאריע, און די טעמע איז ברייט באקאנט אלס פריים נומער טעאריע.
דעפֿיניציע און ביישפילן פֿון פּריים נומערן
פריים נומערן הייבן זיך אן מיט 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, און אזוי ווייטער. פון דער ליסטע קענען מיר זען אז 2 איז די איינציגסטע גראדע פריים נומער. אלע אנדערע גראדע נומערן זענען טיילבאר דורך 2, ממילא האבן זיי מער ווי צוויי טיילערס און קענען נישט גערופן ווערן פריים.
דאס פארקערטע פון א פריים נומער איז א צוזאמענגעשטעלטע נומער, וואס איז א גאנצע צאל גרעסער ווי 1 וואס האט מער ווי צוויי דיווייזארן. למשל, 4 האט דיווייזארן 1, 2, און 4; 12 האט דיווייזארן 1, 2, 3, 4, 6, און 12. די צאל 1 איז נישט פריים און נישט צוזאמענגעשטעלט, ווייל זי האט נאר איין דיווייזאר, 1.
פֿאַרשטיין פּרימצאָלן איז וויכטיק ווײַל מען רופֿט זיי אָפֿט אָן ווי די "בוישטיינער" פֿון גאַנצע צאָלן. יעדע גאַנצע צאָל גרעסער פֿון 1 קען מען צעברעכן אין אַ פּראָדוקט פֿון פּרימצאָלן.
פונדאַמענטאַלע טעאָרעמען פון אַריטמעטיק
איינע פון די וויכטיגסטע רעזולטאטן אין פרימצאלן טעאריע איז דער פונדאמענטאלער טעארעם פון אריטמעטיק. דער טעארעם זאגט אז יעדע גאנצע צאל גרעסער ווי 1 קען געשריבן ווערן אלס אן איינציגארטיגער פראדוקט פון פרימצאלן, ביזן סדר פון אירע פאקטארן.
בייַשפּיל:
– 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
– 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
די אייגנארטיקייט פון פריים פאַקטאָריזאַציע איז די יסוד פֿאַר פילע מאַטעמאַטישע קאָנצעפּטן, פֿון דיוויזשאַן, קלענסטער געמיינזאַמער קייפל (LCM), גרעסטער געמיינזאַמער פאַקטאָר (GCF), ביז פֿאַרשידענע אַלגעריטמען אין קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט.
ווי אזוי צו באַשטימען פּריים נומערן
עס זענען דא עטלעכע מעטאָדן צו באַשטימען צי אַ נומער איז אַ פּריים נומער. די מערסט באַזישע מעטאָדע איז צו קאָנטראָלירן צי די נומער איז טיילעוודיק דורך קיין נומער אַנדערש ווי 1 און זיך אַליין. אָבער, די מעטאָדע איז נישט עפֿעקטיוו פֿאַר גרויסע נומערן.
א מער עפעקטיווע מעטאָדע איז צו קאָנטראָלירן די דיווייזאָרן ביזן קוואַדראַט וואָרצל פֿון דער צאָל. אויב אַ צאָל n האט פֿאַקטאָרן אַנדערע ווי 1 און n, דאַן גייט כאָטש איינער פֿון די פֿאַקטאָרן נישט איבער √n. למשל, צו קאָנטראָלירן צי 97 איז אַ פּרים, פּרובירט עס פשוט אויף טיילבארקייט דורך די פּרים נומערן ≤ √97 (אומגעפער 9,8), נעמלעך 2, 3, 5, און 7. זינט 97 איז נישט טיילבאר דורך קיין איינע פֿון די פֿיר, איז עס אַ פּרים.
דערצו, זענען דא קלאסישע מעטאדן ווי דער זיפּ פון עראַטאָסטענעס, וועלכע זענען עפעקטיוו צו געפינען אלע פריים נומערן ביז א געוויסן גרעניץ. די מעטאָדע באַשטייט פון אויסרעכענען אלע נומערן פון 2 ביז N, און דערנאך מאַרקירן די קייפל פון 2, קייפל פון 3, קייפל פון 5, און אזוי ווייטער. די נישט-מאַרקירטע נומערן זענען פריים.
מוסטערן און פאַרשפּרייטונג פון פּריים נומערן
איינע פון די זאכן וואָס מאַכט פּריים נומערן אינטערעסאַנט איז זייער לכאורה צופֿעליקע פֿאַרשפּרייטונג. עס איז נישטאָ קיין פּשוט מוסטער וואָס פּראָדוצירט אַלע פּריים נומערן גלייך. מאַנטשמאָל דערשייַנען פּריים נומערן נאָענט צוזאַמען, ווי 11 און 13, אָדער 17 און 19, אָבער דעמאָלט קען דער דיסטאַנץ צווישן זיי ווערן גרעסער.
א קריטישע פראגע אין פריים נומער טעאריע איז: "ווי אפט קומען פאר פריים נומערן?" כדי צו ענטפערן דעם, האבן מאטעמאטיקער אנטוויקלט דעם פריים נומער טעארעם. דער טעארעם זאגט אז די צאל פריים נומערן קלענער ווי אדער גלייך צו n, געשריבן אלס π(n), איז בערך גלייך צו n / ln(n). דאס מיינט אז ווי n וואקסט, ווערן פריים נומערן זעלטענער, אבער זיי פארבלייבן צו קומען פאר אומבאגרענעצט.
למשל, פֿאַר זייער גרויסע n, די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ צופֿעליקע נומער אַרום n איז אַ פּריים איז אַפּראָקסימאַטלי 1/ln(n). דאָס גיט אַ סטאַטיסטישן איבערבליק פון דער פאַרשפּרייטונג פון פּריים נומערן.
צווילינג פּריים נומערן און באַרימטע השערות
צווילינג פּריימז זענען פּאָרן פון פּריימזאַלן וועמענס חילוק איז 2, אַזאַ ווי (3, 5), (11, 13), (17, 19), און אַזוי ווייטער. א הויפּט קשיא וואָס בלייבט אָפֿן הייַנט איז די צווילינג פּריימז השערה: "זענען דאָ אומענדלעך פילע פּאָרן פון צווילינג פּריימזאַלן?" טראָץ פילע שטיצנדיקע באַווייַזן און באַטייטיק פּראָגרעס אין די לעצטע יאָרצענדליקער, איז די השערה נישט גאָר באַוויזן געוואָרן.
דערצו, איז דא די גאָלדבאַך השערה, וואָס זאָגט אַז יעדע גראָדע צאָל גרעסער ווי 2 קען געשריבן ווערן ווי די סומע פון צוויי פּרימצאָלן. למשל:
– 10 = 3 + 7
– 28 = 11 + 17
– 100 = 47 + 53
די השערה איז געטעסט געווארן פאר זייער גרויסע נומערן און איז שטענדיק אמת אונטער די טעסטן, אבער עס איז נאך אלץ נישטא קיין פולשטענדיגע פארמאלע באווייז.
די ראלע פון פריים נומערן אין מאדערנער קריפּטאָגראַפֿיע
ווייטער פון ריינע מאטעמאטיק, שפילן פריים נומערן א באדייטנדע ראלע אין מאדערנעם לעבן, ספעציעל אין אינפארמאציע זיכערהייט. די RSA קריפטא סיסטעם, איינע פון די מערסט באקאנטע ענקריפּשאַן מעטאָדן, פארלאזט זיך אויף דער שוועריקייט פון פאַקטאָרירן גרויסע נומערן אין פריים פאַקטאָרן. אין RSA, קען מען דזשענערירן א פובליק שליסל פון דעם פּראָדוקט פון צוויי גרויסע פריים נומערן. רעדוצירן דעם פּראָדוקט אין זיינע צוויי אָריגינעלע פריים נומערן איז א זייער שווערע פּראָבלעם אויב די נומערן זענען גרויס גענוג, אזוי צושטעלנדיק א באזע פאר זיכערהייט.
מיט אנדערע ווערטער, די שיינקייט פון פריים נומערן איז נישט נאר טעארעטיש נאר אויך פראקטיש, ווייל זיי העלפן אויפהאלטן די זיכערהייט פון דיגיטאלע טראנזאקציעס, פארשליסטע קאמוניקאציעס, און דעם אויסטויש פון קאנפידענציעלע דאטן אויפן אינטערנעט.
קלאָוזינג
פריים נומער טעאריע איז איינע פון די רייכסטע פעלדער אין מאטעמאטיק. פון דער פשוטער דעפיניציע פון א פריים נומער, דערגרייכן מיר טיפע קאנצעפטן ווי איינציגארטיגע פאקטאריזאציע, די פריים פארטיילונג טעארעם, און אפילו אומגעלייזטע השערות. פריים נומערן פארזעצן צו אינטריגירן אונז ווייל זיי שטייען אויף דער גרענעץ צווישן סדר און צופעליקייט: לכאורה אן קיין מוסטערן, אבער פאלגן טיפע מאטעמאטישע געזעצן.
שטודירן פּרימ נומערן איז נישט נאָר וועגן אויסגעפינען וועלכע נומערן זענען פּרימ און וועלכע נישט, נאָר אויך וועגן פֿאַרשטיין ווי זיי זענען "פאַרטיילט" צווישן די גאַנצע צאָלן, פאַרוואָס זיי שפּילן אַזאַ יסודותדיקע ראָלע, און ווי זיי השפּעה האָבן אויף מאָדערנע טעכנאָלאָגיע. צוליב דעם בלייבט פּרימ נומער טעאָריע איינע פון די מערסט אַקטיוו אויסגעפאָרשטע און פאַסצינירנדע טעמעס פֿאַר מאַטעמאַטיק סטודענטן, לערער און פאָרשער ביזן היינטיקן טאָג.
