פּערמוטאַציע און קאָמבינאַציע כּללים
אין מאטעמאטיק, ספעציעל אין די פעלדער פון ווארשיינליכקייט און סטאטיסטיק, טרעפן מיר אפט די פראגע "וויפיל וועגן" א געשעעניש קען פאסירן. למשל: וויפיל מעגלעכע זיצפּלעצער זענען דא פאר א געגעבענע צאל מענטשן? וויפיל וועגן קען מען אויסוועלן מאַנשאַפֿט מיטגלידער פון א גרופּע סטודענטן? אזעלכע פראגעס ווערן געענטפערט מיט פּערמוטאַציע און קאָמבינאַציע כּללים, צוויי שליסל קאָנצעפּטן אין צייל כּללים. כאָטש ביידע האַנדלען מיט "די צאל וועגן," ליגט דער וויכטיקער אונטערשייד אין צי סדר ווערט גענומען אין באַטראַכט.
1. גרונט־קאָנצעפּט פֿון אויסרעכענונג־רעגולאַציעס
איידער מיר גייען אריין אין פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס, איז דאָ אַ גרונט־אידעע צו פֿאַרשטיין: אויסרעכענונג איז דער פּראָצעס פֿון ציילן די צאָל מעגלעכע רעזולטאַטן פֿון אַ געגעבענער סכום באַדינגונגען. אויסרעכענונג קען געטאָן ווערן מאַנועל פֿאַר קליינע פֿאַלן, אָבער פֿאַר גרעסערע פֿאַלן דאַרפֿן מיר אַן עפֿעקטיווע פֿאָרמולע.
די צוויי גרונט־פּרינציפּן אין אויסרעכענונג זענען:
1. רעגל פון פּראָדוקט
אויב אַ פּראָצעס באַשטייט פֿון עטלעכע שטאַפּלען, און יעדע שטאַפּל האָט אַ צאָל ברירות, דאַן איז די גאַנצע צאָל וועגן דער פּראָדוקט פֿון דער צאָל ברירות אויף יעדן שטאַפּל.
2. סומע-רעגל
אויב אַ ברירה קען געמאַכט ווערן אין עטלעכע קעגנצייַטיק אויסשליסנדיקע (נישט-איבערלאַפּנדיקע) וועגן, דאַן איז די גאַנצע צאָל וועגן די סומע פון יענע וועגן.
פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס זענען ווייטערדיקע אַפּליקאַציעס פון דעם פּרינציפּ, ספּעציעל ווען אָביעקטן אָנהייבן צו זיין אָרגאַניזירט אָדער אויסגעקליבן.
2. פּערמוטאַציע: אָרדענונג דורך אָפּמערקן סדר
פּערמוטאַציע איז אַ וועג פון אָרדענונג אָדער אויסקלייבן אָביעקטן וואו די סדר איז וויכטיק. דאָס מיינט אַז די אָרדענונג AB איז אַנדערש פֿון BA.
א. פּערמוטאַציעס פון n פֿאַרשידענע אָביעקטן (אַלע אַראַנזשירט)
אויב עס זענען n פֿאַרשידענע אָביעקטן צו זיין אָרגאַניזירט אַלע אין אַ סיקוואַנס, די נומער פון אָרגאַניזירונגען איז:
\[
n! = n \מאל (n-1) \מאל (n-2) \מאל \דאטן \מאל 2 \מאל 1
\]
דאס סימן "!" ווערט גערופן דער פאַקטאָריאַל.
קאָנטעקסט:
עס זענען דא 4 פֿאַרשידענע ביכער. אויף וויפֿל וועגן קען מען זיי אויסשטעלן אויף אַ פּאָליצע?
\[
4! = 4 מאָל 3 מאָל 2 מאָל 1 = 24
\]
אַזוי זענען דאָ 24 אַראַנזשירונגען.
ב. טיילווייזע פּערמוטאַציע: אויסקלויבן r פֿון n (סדר ווערט גענומען אין באַטראַכט)
אויב מיר קלייבן פון n פֿאַרשידענע אָביעקטן אויס r אָביעקטן צו אָרדענען (נישט שטענדיק אַלע), דאַן איז די פּערמוטאַציע פֿאָרמולע:
\[
פּ(n,r) = \frac{n!}{(nr)!}
\]
קאָנטעקסט:
פֿון די 6 סטודענטן וועלן 3 סטודענטן אויסגעקליבן ווערן צו זײַן דער פֿאָרזיצער, וויצע־פֿאָרזיצער און סעקרעטאַר. אויף וויפֿל וועגן קען דאָס געטאָן ווערן?
זינט טשערמאַן-וויצע-סעקרעטאַר זענען פֿאַרשידענע פּאָזיציעס, איז די סדר וויכטיק.
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} = 6 × 5 × 4 = 120
\]
עס זענען דא 120 וועגן.
ג. פּערמוטאַציעס מיטן זעלבן אָביעקט (איבערחזרן/אידענטיש)
מאנchmal זענען דא אביעקטן וואס זענען נישט אלע איינציגארטיג. למשל, אין ווארט "נאכט" זענען דא צוויי מ'ס און צוויי א'ס (אדער פאר "נאכט": זענען דא 2 מ'ס, זענען דא 2 א'ס? פאקטיש, "נאכט" = נאכט: מ=2, א=2, ל=1). די צאל פון פארשידענע אראנזשירונגען ווערט אויסגערעכנט דורך:
\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \פונקטן}
\]
וואו \(n\) איז די גאַנצע צאָל פון אָביעקטן, און \(n_1, n_2\) איז די צאָל פון אידענטישע אָביעקטן.
קאָנטעקסט:
וויפיל פֿאַרשידענע אָרדענונגען פֿון די אותיות אין "ניכט" זענען דאָ?
נומער פון אותיות \(n=5\), M האט 2, A האט 2, L האט 1.
\[
\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30
\]
אַזוי זענען דאָ 30 פֿאַרשידענע אַראַנזשירונגען.
3. קאָמבינאַציע: אויסוואַל אָן קיין באַצוג צו סדר
קאָמבינאַציע איז אַ וועג פון אויסקלייבן אָביעקטן וואו די סדר איז נישט וויכטיק. אויסקלייבן A און B איז די זעלבע ווי אויסקלייבן B און A.
די קאָמבינאַציע פֿאָרמולע סעלעקטירט r פֿון n אָביעקטן:
\[
C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!}
\]
א. ביישפּיל פֿון אַ פּשוטער קאָמבינאַציע
קאָנטעקסט:
פֿון 10 סטודענטן וועלן 3 סטודענטן אויסגעקליבן ווערן צו זײַן מיטגלידער פֿון דער קאָנקורענץ־מאַנשאַפֿט (אָן ספּעציפֿישע פּאָזיציעס). אויף וויפֿל אופֿנים?
זינט עס זענען נישטאָ קיין רייען, איז די סדר נישט וויכטיק.
\[
C(10,3)=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10 × 9 × 8}{3 × 2 × 1}=120
\]
עס זענען דא 120 וועגן.
ב. באַציִונג צווישן פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס
באַמערק אז פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס זענען פֿאַרבונדן. כּדי צו אויסקלײַבן r מענטשן און זיי צוזאַמענשטעלן, קענען מיר:
– ערשט אויסקלויבן r מענטשן: \(C(n,r)\)
– אראנזשירן ר יענעם מענטש: \(ר!\)
אַזוי אַז:
\[
P(n,r) = C(n,r)\מאל r!
\]
דאָס ווײַזט אַז די פּערמוטאַציע איז "גרעסער" ווײַל עס אונטערשיידט די סדר.
4. ווי אזוי צו באַשטימען: ניצן פּערמוטאַציע אָדער קאָמבינאַציע?
צו לייזן א פראבלעם, איז דער וויכטיגסטער שריט צו דערקענען צי דער סדר ווערט גענומען אין באטראכט.
ניצט פּערמוטאַציעס אויב:
– עס איז דא א פאזיציע אדער טיטל (פארזיצער, דעפּוטאַט, 1-2-3טער פלאץ),
– עס איז דא א זיצפּלאַץ־אָרדענונג,
– עס איז דא א קאָד אדער סיקווענץ פון אָרדענונג.
ניצט אַ קאָמבינאַציע אויב:
– נאָר אויסגעקליבענע גרופּע מיטגלידער,
– סדר אונטערשיידט נישט די רעזולטאַטן,
– וואָס איז וויכטיק איז ווער ווערט ערוויילט, נישט זייער פּאָזיציע.
שנעל ביישפּיל:
– אויסקלייבן 5 פון 12 מענטשן צו זיין אויפן קאמיטעט: קאָמבינאַציע
– באַשטימען די 1טן, 2טן און 3טן פּלאַץ געווינער פֿון 12 טיילנעמער: פּערמוטאַציע
5. ביישפילן פון אַפּליקאַציעס אין טעגלעך לעבן
פּערמוטאַציעס און קאָמבינאַציעס דערשייַנען נישט נאָר אין מאַטעמאַטיק ביכער, נאָר אויך אין פאַקטישע סיטואַציעס:
1. פּאַראָל זיכערהייט (פּאַראָל/PIN)
די צאָל מעגלעכע 4-ציפֿעריקע פּינס (0–9) מיט איבערחזרן ערלויבט איז \(10^4\). דאָס איז פֿאַרבונדן מיט דער מאַלטיפּליקאַציע-רעגולע און דער געדאַנק פֿון פּערמוטאַציעס מיט איבערחזרן.
2. אָרדענען סקעדזשולז אדער זיצן
באַשטימען זיצפּאָזיציעס אין פאָרמעלע געשעענישן ניצנדיק פּערמוטאַציעס רעכט צו פֿאַרשידענע פּאָזיציעס.
3. אויסוואל פון מאַנשאַפֿט אָדער קאָמיטעט
אויסקלויבן עטלעכע מענטשן פון א גרופע איז א קאמבינאציע, ווייל די סדר איז נישט וויכטיג.
4. קאַרטן שפּילן
קאָמבינאַציעס ווערן אָפט געניצט צו רעכענען די וואַרשיינלעכקייט פון אַ באַזונדער האַנט אין פּאָקער אָדער אַנדערע שפּילן.
6. געוויינטלעכע טעותים צו פארמיידן
עטלעכע טעותים וואָס פּאַסירן אָפט ווען מען אַרבעט אויף פּערמוטאַציע און קאָמבינאַציע פּראָבלעמען:
– באַטראַכטן די סדר ווי נישט וויכטיק כאָטש עס איז וויכטיק, למשל דורך אויסקלייבן דעם פֿאָרזיצער און וויצע-פֿאָרזיצער (עס זאָל זיין אַ פּערמוטאַציע).
– פארגעסן צו צעטיילן אידענטישע אביעקטן, ווי למשל צוזאמענשטעלן ווערטער וואס האבן איבערגעחזרטע אותיות.
– פאַלשע רעכענונגען פון פאַקטאָריאַלן, ספּעציעל ווען מען פאַרפּשוטערט די פֿאָרעם \(\frac{n!}{(nr)!}\).
דער וועג צו פאַרהיטן דאָס איז צו שרייבן די אויסטײַטשונג פון דער פראַגע אין פּשוטע זאַצן: "צי איך קלייב אויס אָדער צי איך אָראַנזשיר?" און "צי מאַכט פּאָזיציע אַ חילוק אין רעזולטאַט?"
קלאָוזינג
די כּללים פון פּערמוטאַציע און קאָמבינאַציע זענען וויכטיקע מכשירים פֿאַר אויסרעכענען די צאָל מעגלעכקייטן אין פֿאַרשידענע סיטואַציעס. פּערמוטאַציעס ווערן גענוצט ווען סדר אָדער פּאָזיציע איז וויכטיק, בשעת קאָמבינאַציעס ווערן גענוצט ווען סדר איז נישט וויכטיק. דורך פֿאַרשטיין דעם אונטערשייד, באַהערשן פאַקטאָריאַלן, און אָנווענדן די פּאַסיקע פֿאָרמולעס, קענען מיר סאָלווען פילע ציילן און וואַרשיינלעכקייט פּראָבלעמען שנעלער און גענויער. אין פּראַקטיק, די מעגלעכקייט צו קלייבן די ריכטיקע מעטאָדע - פּערמוטאַציע אָדער קאָמבינאַציע - איז אָפט מער קריטיש ווי פשוט מעמערירן די פֿאָרמולעס.
