גרונטלעכע לינעאַרע אַלגעברע: פֿאַרשטיין די קאָנצעפּטן און אַפּליקאַציעס
לינעאַרע אַלגעברע איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס באַהאַנדלט וועקטאָר טעאָריע און אָפּעראַציעס ווי סובטראַקציע, אַדיציע און סקאַלאַרע מאַלטיפּליקאַציע. עס נעמט אויך אַרום מאַטריצעס, וועקטאָר פּלעצער און לינעאַרע טראַנספאָרמאַציעס. כאָטש די קאָנצעפּטן קענען אויסזען קאָמפּליצירט, האט לינעאַרע אַלגעברע פֿילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין וויסנשאַפֿט, אינזשעניריע, עקאָנאָמיק און טעכנאָלאָגיע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דעקן די גרונטפּרינציפּן פֿון לינעאַרער אַלגעברע, אַרייַנגערעכנט אַן הקדמה צו וועקטאָרן, מאַטריצעס און וועקטאָר פּלעצער.
1. הקדמה צו וועקטאָרן
וועקטאָר דעפֿיניציע
א וועקטאָר איז אַ קוואַנטיטעט וואָס האט ביידע ריכטונג און גרייס. אין דעם קאָנטעקסט פון לינעאַר אַלגעברע, ווערן וועקטאָרן געוויינטלעך רעפּרעזענטירט ווי ליסטעס (אָדער אַררייז) פון נומערן, וואָס קענען זיין צוויי-דימענסיאָנאַל, דריי-דימענסיאָנאַל, אָדער אפילו העכער-דימענסיאָנאַל. למשל, אַ וועקטאָר אין צוויי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ קען רעפּרעזענטירט ווערן ווי:
\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \]
וואו \(v_1 \) און \(v_2 \) זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר \(\mathbf{v}\).
גרונטלעכע אפעראציעס אויף וועקטאָרן
– וועקטאָר אַדיציע:
לאָמיר זאָגן מיר האָבן צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \) און \(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}\). וועקטאָר אַדיציע ווערט געטאָן דורך אַדיציע זייערע קאָרעספּאָנדירנדיקע קאָמפּאָנענטן:
\[ \mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{pmatrix} \]
– סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע:
סקאלארע מולטיפליקאציע איז אן אפעראציע אין וועלכער א סקאלאר (א רעאלע צאל) ווערט געמערט מיט יעדן קאמפאנענט פון א וועקטאָר. אויב מיר ווילן טאפלען דעם סקאלאר \(k\) מיטן וועקטאָר \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \), איז דער רעזולטאט:
\[ k \mathbf{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \end{pmatrix} \]
2. מאַטריץ
דעפֿיניציע פֿון מאַטריץ
א מאַטריץ איז אַ רעכטעקיקע אָרדענונג פון נומערן וואָס באַשטייט פון רייען און קאָלאָנעס. אַ מאַטריץ \(A\) מיט \(m\) רייען און \(n\) קאָלאָנעס קען באַצייכנט ווערן ווי:
\[ א = \begin{pmatrix}
א_{11} און א_{12} און √ און א_{1n} √
א_{21} און א_{22} און √ און א_{2n} √
\vdots און \vdots און \ddots און \vdots \\
a_{m1} און a_{m2} און √ און a_{mn}
\ענד{pmatrix} \]
גרונטלעכע אפעראציעס אויף מאַטריצעס
– מאַטריץ אַדיציע:
צוויי מאַטריצעס \(A\) און \(B\) פון דער זעלבער גרייס קענען צוגעגעבן ווערן דורך צולייגן קאָרעספּאָנדירנדיקע עלעמענטן:
\[(א + ב)_{י} = א_{י} + ב_{י} \]
– מאַטריץ מולטיפּליקאַציע:
מולטיפליקאציע פון צוויי מאטריצעס באשטייט פון צולייגן די פראדוקטן פון די עלעמענטן אין א רייע פון \(A\) מיט די קארעספאנדירנדע עלעמענטן אין א קאלום פון \(B\). אננעמען אז \(A\) איז א \(m \times n\) מאטריץ און \(B\) איז א \(n \times p\) מאטריץ, דעמאלט איז דער פראדוקט \(C = AB\) א \(m \times p\) מאטריץ מיט עלעמענטן \(C_{ij}\):
\[ C_{ij} = \sum_{ק=1}^{n} א_{יק} ב_{קדזש} \]
– סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע:
ווי מיט וועקטאָרן, קען מען אַ סקאַלאַר \(k\) פֿאַרמערן מיט יעדן עלעמענט פֿון דער מאַטריץ \(A\):
\[ (קA)_{ij} = ק \cdot A_{ij} \]
דעטערמינאַנטן און אינווערסע מאַטריצעס
– דעטערמינאַנט:
דער דעטערמינאַנט איז אַ סקאַלאַר וואָס גיט אינפֿאָרמאַציע וועגן געוויסע אייגנשאַפֿטן פֿון אַ מאַטריץ, ווי למשל צי זי איז ינווערטירבאר (האָט אַן אומגעקערטע) צי נישט. פֿאַר דער מאַטריץ 2 מאָל 2:
\[ \טעקסט{דעט}(א) = \begin{vmatrix}
א_{11} און א_{12} \\
א_{21} און א_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21} \]
– אינווערסע מאַטריץ:
די אינווערסע מאַטריץ \(A^{-1}\) פון \(A\) איז די מאַטריץ וואָס ווען מען מאַלטיפּליצירט מיט \(A\) פּראָדוצירט זי די אידענטיטעט מאַטריץ \(I\):
\[ AA^{-1} = A^{-1} A = I \]
די באַדינגונג פֿאַר אַ מאַטריץ צו האָבן אַן אינווערס איז אַז איר דעטערמינאַנט טאָר נישט זיין נול.
3. וועקטאָר פּלאַץ
דעפֿיניציע פֿון וועקטאָר־פּלאַץ
א וועקטאָר־רוים איז אַ סכום וועקטאָרן וואָס באַפרידיקן געוויסע אַקסיאָמען, ווי למשל קלאָוזשער אונטער אַדיציע און סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע. וועקטאָר־רוים קענען באַשטיין פון סיקוואַנסן פון נומערן, פּאָלינאָמען, קאָנטינויִערלעכע פונקציעס, און אַזוי ווייטער.
באַזע און דימענסיעס
א באזע פון א וועקטאר-רוים איז א סכום פון לינעאר אומאפהענגיקע וועקטארן וואס שפאנען דעם גאנצן וועקטאר-רוים. די דימענסיע פון א וועקטאר-רוים איז די צאל וועקטארן אין דער באזע. למשל, דער רוים \(\mathbb{R}^2\) האט א באזע \(\{\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}\}\) וואו \(\mathbf{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ end{pmatrix}\) און \(\mathbf{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ end{pmatrix}\) מיט דימענסיע 2.
4. לינעאַרע טראַנספאָרמאַציע
דעפֿיניציע פֿון לינעאַרער טראַנספֿאָרמאַציע
א לינעארע טראנספארמאציע איז א פונקציע צווישן צוויי וועקטאָר פּלעצער וואָס מאַפּט וועקטאָר אַדיציע און סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע אין דעם אָריגינעלן פּלאַץ צו וועקטאָר אַדיציע און סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע אין דעם בילד פּלאַץ. אַננעמען אַז \(T\) איז אַ לינעארע טראנספארמאציע, אויב \(\mathbf{v}\) און \(\mathbf{w}\) זענען וועקטאָרן אין דעם אָריגינעלן פּלאַץ און \(c\) איז אַ סקאַלאַרע, דאַן:
[ט(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = ט(\mathbf{v}) + ט(\mathbf{w})]
\[ T(c \mathbf{v}) = c \T(\mathbf{v}) \]
מאַטריץ רעפּרעזענטאַציע פון לינעאַרע טראַנספאָרמאַציעס
יעדע לינעאַרע טראַנספאָרמאַציע פֿון דעם וועקטאָר־פּלאַץ \(\mathbb{R}^n\) צו \(\mathbb{R}^m\) קען רעפּרעזענטירט ווערן מיט אַ מאַטריץ \(m \times n\). לאָמיר זאָגן אַז \(A\) איז די מאַטריץ וואָס רעפּרעזענטירט די לינעאַרע טראַנספאָרמאַציע \(T\), און \(\mathbf{v}\) איז אַ וועקטאָר אין \(\mathbb{R}^n\), דעמאָלט קען די טראַנספאָרמאַציע \(T(\mathbf{v})\) באַשריבן ווערן ווי אַ מאַטריץ־מוּלטיפּיקאַציע:
[ט(v) = A v]
אייגענרוימען און אייגענווערטן
אייגענרוימען אין לינעארער אלגעברע זענען אונטעררוימען וואס ווערן גענערירט דורך אייגענוועקטארן, דאס הייסט, וועקטארן וואס טוישן נישט ריכטונג נאך א לינעארער טראנספארמאציע. לאמיר זאגן אז \(A\) איז א קוואדראטישע מאטריץ און \(\mathbf{v}\) איז א נישט-נול וועקטאר, אויב:
\[ א \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
דעמאָלט איז \(\mathbf{v}\) אַן אייגענוועקטאָר און \(\lambda\) איז אַן אייגענווערט.
אַפּליקאַציעס פון לינעאַר אַלגעברע
לינעאַרע אַלגעברע האט פילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער:
1. אין אינזשעניריע: גענוצט אין עלעקטרישע קרייז אנאליז, סיגנאל פראצעסירונג, און סיסטעם קאנטראל.
2. אין דעם קאָמפּיוטער פעלד: לינעאַרע אַלגעברע ווערט גענוצט אין קאָמפּיוטער גראַפיקס, מאַשין לערנען, און בילד פּראַסעסינג.
3. אין דעם פעלד פון וויסנשאפט: גענעטישע מאַפּינג, קוואַנטום פיזיק, און סטאַטיסטיק נוצן די קאָנצעפּטן פון לינעאַר אַלגעברע ברייט.
4. אין דעם פעלד פון עקאנאמיק: אינפוט-אויטפוט אנאליז אין עקאנאמיק ניצט מאטריצעס צו מאדעלירן די באציאונג צווישן עקאנאמישע סעקטארן.
מיט אַ שטאַרקן גרונט־פאַרשטאַנד פֿון לינעאַרער אַלגעברע, קען מען אַנטוויקלען די פֿעיִקייט צו אַנאַליזירן און סאָלווען פּראָבלעמען אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון דיסציפּלינעס.
