גאַנצע צאָלן און זייערע אייגנשאַפטן
גאַנצע צאָלן זענען איינע פון די מערסט באַזישע קאָנצעפּטן אין מאַטעמאַטיק, אָבער זיי שפּילן אַ באַדייטנדיקע ראָלע אין וואָכעדיקן לעבן. ווען מיר ציילן זאכן, באַשטימען טעמפּעראַטורן אונטער נול, רעכענען די צאָל שטאָקן אין אַ קעלער, אָדער רעקאָרדירן פּראָפיטן און פארלוסטן אין אַ געשעפט, האַנדלען מיר טאַקע מיט גאַנצע צאָלן. פֿאַרשטיין גאַנצע צאָלן און זייערע אייגנשאַפטן וועט מאַכן עס גרינגער צו לערנען אַריטמעטיק, אַלגעברע, און אפילו העכערע מאַטעמאַטישע קאָנצעפּטן.
דעפֿיניציע פֿון גאַנצע צאָלן
די גאַנצע צאָלן זענען די סכום פון נומערן וואָס באַשטייען פון די נעגאַטיווע גאַנצע צאָלן, נול, און די פּאָזיטיווע גאַנצע צאָלן. דער סימבאָל וואָס ווערט אָפט געניצט צו רעפּרעזענטירן די סכום פון גאַנצע צאָלן איז Z (דערייווד פון דעם דײַטשן וואָרט Zahlen, וואָס מיינט "נומערן"). בכלל, קען מען שרייבן גאַנצע צאָלן ווי:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
אנדערש ווי גאנצע נומערן וואס אנטהאלטן נאר 0 און פאזיטיווע נומערן, גאנצע נומערן אנטהאלטן נעגאטיווע נומערן, אזוי זיי זענען מער פולשטענדיג אין באשרייבן פארשידענע סיטואציעס.
ביישפילן פון גאַנצע צאָלן אין וואָכעדיק לעבן
גאַנצע צאָלן זענען ענג פֿאַרבונדן מיט מענטשלעכער טעטיקייט. עטלעכע ביישפילן פֿון זייער באַנוץ זענען:
1. לופט טעמפּעראַטור: א טעמפּעראַטור פון -5°C ווײַזט אָן אַז די טעמפּעראַטור איז 5 גראַד אונטער נול.
2. הייך: א הייך פון -20 מעטער קען מיינען א פאזיציע 20 מעטער אונטערן ים שפיגל.
3. פינאַנצן: א באַלאַנס פון -50.000 ווייזט אויף א חוב אדער מאַנגל פון 50.000.
4. געביידע שטאק: שטאק -1 אדער -2 ווערט געווענליך גענוצט פארן קעלער.
5. שפּיל כעזשבן: אין עטלעכע שפּילן, קען דער כעזשבן העכער אָדער נידעריקער ווערן, אַזוי אַרייננעמענדיג פּאָזיטיווע און נעגאַטיווע נומערן.
פֿון די ביישפּילן קען מען זען אַז גאַנצע צאָלן העלפֿן אונדז אויסדריקן צושטאַנדן פֿון "מער ווי", "ווייניקער ווי", אָדער "גלייך" מיט נול ווי אַ רעפֿערענץ־פּונקט.
גאַנצע נומער ליניע
צו פֿאַרשטיין גאַנצע נומערן, ניצן מיר אָפֿט אַ נומער ליניע. אַ נומער ליניע איז אַ גלייכע ליניע וואָס שטעלט נומערן אין ספּעציפֿישע פּאָזיציעס:
– פּאָזיטיווע נומערן זענען צו רעכטס פון נול.
– נעגאַטיווע נומערן זענען צו דער לינקער זייט פון נול.
– וואָס ווייטער צו רעכטס דער ווערט, אַלץ גרעסער איז ער.
– וואָס ווייטער צו לינקס אַלץ קלענער דער ווערט.
מיט אַ נומער ליניע, קענען מיר לייכט פאַרגלייַכן גאַנצע נומערן. למשל, -2 איז גרעסער ווי -5 ווײַל -2 איז ווײַטער רעכטס ווי -5.
אייגנשאפטן פון גאנצע צאלן
גאַנצע צאָלן האָבן עטלעכע וויכטיקע אייגנשאַפטן אין מאַטעמאַטישע אָפּעראַציעס. די אייגנשאַפטן זענען זייער נוצלעך ווען מיר דורכפירן קאַלקולאַציעס, פאַרפּשוטערן אַלגעברײַשע אויסדרוקן, אָדער באַווייַזן קאָנצעפּטן.
1. פארמאכונג
די סכום פון גאַנצע צאָלן איז פארמאכט אונטער געוויסע אָפּעראַציעס, דאָס הייסט אַז אויב מיר דורכפירן די אָפּעראַציעס אויף גאַנצע צאָלן, וועט דער רעזולטאַט נאָך אַלץ זיין אַ גאַנצע צאָלן.
– צוגאב: אויב a און b זענען גאַנצע צאָלן, דעמאָלט איז a + b אויך אַ גאַנצע צאָל.
בייַשפּיל: -3 + 7 = 4
– סובטראַקציע: אויב a און b זענען גאַנצע צאָלן, דעמאָלט איז a − b אויך אַ גאַנצע צאָלן.
בייַשפּיל: 5 − 12 = -7
– מולטיפּליקאַציע: אויב a און b זענען גאַנצע צאָלן, דעמאָלט איז a × b אויך אַ גאַנצע צאָלן.
בייַשפּיל: (-4) × 6 = -24
אבער, גאנצע צאלן זענען נישט שטענדיק פארמאכט קעגן דיוויזשאן, ווייל דער רעזולטאט פון דיוויזשאן קען זיין א בראכצייל.
בייַשפּיל: 1 ÷ 2 = 1/2 (נישט אַ גאַנצע צאָל).
2. קאָמוטאַטיווע אייגנטום (אויסטויש)
די קאָמוטאַטיווע אייגנשאַפט מיינט אַז די סדר פון נומערן קען ווערן אויסגעטוישט אָן צו ענדערן דעם רעזולטאַט.
– צוגאב: a + b = b + a
בייַשפּיל: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– מולטיפּליקאַציע: a × b = b × a
בייַשפּיל: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
עס איז וויכטיג צו געדענקען אז סובטראַקציע און דיוויזיע זענען נישט קאָמוטאַטיוו.
בייַשפּיל: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. אסאסיאטיווע אייגנשאפטן (גרופע)
די אסאסיאטיווע אייגנשאפט מיינט אז די וועג ווי נומערן ווערן גרופירט אין אן אפעראציע טוישט נישט דעם רעזולטאט.
– צוגאב: (a + b) + c = a + (b + c)
בייַשפּיל: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– מולטיפּליקאַציע: (a × b) × c = a × (b × c)
בייַשפּיל: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
פּונקט ווי קאָמוטאַטיוו, אַססאָסיאַטיווע אייגנשאַפט גילט אויך נישט פֿאַר סובטראַקציע און דיוויזשאַן.
4. דיסטריביוטיווע אייגנשאפטן (פארשפרייטונג)
די דיסטריבוטיווע אייגנשאפט פארבינדט די אפעראציעס פון מאַלטיפּליקאַציע צו אַדיציע אָדער סובטראַקציע:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
בייַשפּיל: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
בייַשפּיל: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
די אייגנשאפט איז זייער וויכטיג אין פארפּשוטערן אַלגעברײַשע פֿאָרמען און סאָלווען גלייכונגען.
5. אידענטיטעט עלעמענטן (צוגאב און פארמערן אידענטיטעטן)
אן אידענטיטעט איז א נומער וואס טוישט נישט דעם ווערט פון אן אנדער נומער ווען מען אפערירט דערויף.
– די אַדיטיווע אידענטיטעט איז 0: a + 0 = a
בייַשפּיל: -9 + 0 = -9
– די מאַלטיפּליקאַציע אידענטיטעט איז 1: a × 1 = a
בייַשפּיל: 8 × 1 = 8
אידענטיטעטן העלפֿן אונדז פֿאַרשטיין דעם נייטראַלן באַגריף אין מאַטעמאַטישע אָפּעראַציעס.
6. אינווערסע עלעמענטן (קעגנגעזעצטע נומערן)
יעדע גאַנצע צאָל האט אַן אַדיטיווע אינווערס, וואָס איז די פאַרקערטע פון אַ נומער וואָס ווען מען לייגט עס צוזאַמען רעזולטירט אין 0.
– די אומגעקערטע פון a איז -a, אַזוי: a + (-a) = 0
בייַשפּיל: 6 + (-6) = 0, און -4 + 4 = 0
אבער, נישט אלע גאנצע צאלן האבן אן אינווערס אין מאַלטיפּליקאַציע. למשל, די מאַלטיפּליקאַטיווע אינווערס פון 2 איז 1/2, וואָס איז נישט קיין גאַנצע צאָל.
7. פאזיטיווע און נעגאטיווע סימנים אין אפעראציע
אין גאַנצע צאָלן, געבן פּאָזיטיווע און נעגאַטיווע סימנים ספּעציעלע כּללים אין מאַלטיפּליקאַציע און דיוויזיע:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
קאָנטעקסט:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
פֿאַר אַדיציע און סובטראַקציע, ניצן מיר אָפֿט דעם באַגריף פֿון אַ נומער־ליניע אָדער די כלל:
– צולייגן נעגאַטיווע נומערן איז די זעלבע ווי "אויסציען".
– אַראָפּרעכענען אַ נעגאַטיווע צאָל איז די זעלבע ווי "צוגעבן".
קאָנטעקסט:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
קעסימפּולאַן
גאַנצע צאָלן זענען אַ סכום נומערן וואָס באַשטייט פון נעגאַטיווע נומערן, נול, און פּאָזיטיווע נומערן. די נומערן זענען זייער וויכטיק ווייל זיי קענען באַשרייבן פֿאַרשידענע באַדינגונגען אין לעבן, ווי למשל טעמפּעראַטורן אונטער נול, פֿינאַנציעלע פֿאַרלוסטן, אָדער לאָקאַציעס אונטערן ים־שפּיגל. גאַנצע צאָלן האָבן אויך יסודותדיקע אייגנשאַפֿטן ווי זײַן פֿאַרמאַכט (פֿאַר אַדיציע, סובטראַקציע, און טאַפּליקאַציע), קאָמוטאַטיוו, אַססאָסיאַטיוו, דיסטריביוטיוו, אידענטיטעט, און אַדיטיווע אינווערס. דורך פֿאַרשטיין די אייגנשאַפֿטן פֿון גאַנצע צאָלן, וועלן מיר גרינגער דורכפֿירן קאַלקולאַציעס, פֿאַרפּשוטערן אָפּעראַציעס, און לערנען זיך שפּעטערדיקע מאַטעמאַטישע טעמעס ווי אַלגעברע, גלייכונגען, און אַנדערע נומער־סיסטעמען.
אויב איר ווילט, קען איך מאַכן אַ ווערסיע פֿון דעם אַרטיקל פֿאַר עלעמענטאַר/מיטלשול לעוועל (פּשוטער) אָדער אַ מער פֿאָרמעלע ווערסיע ווי אַ גאַנצע אַרבעט מיט פּראַקטיק פֿראַגעס און דיסקוסיעס.
