د لږو مربعونو طریقه: د اټکل لپاره ریاضيکي طریقه
پنډاهولوان
د لږترلږه مربع میتود یوه احصایوي تخنیک دی چې د ریګریشن ماډل کې د پیرامیټرو اټکل کولو لپاره کارول کیږي د اصلي ارزښتونو او د ماډل لخوا وړاندوینې شوي ارزښتونو ترمنځ د مربع غلطیو مجموعه کمولو سره. دا میتود خورا مشهور دی او ډیری وختونه په مختلفو برخو لکه اقتصاد، انجینرۍ، بیولوژي، او ټولنیزو علومو کې کارول کیږي . د لږترلږه مربع مفهوم لومړی د 19 پیړۍ په لومړیو کې د اډرین-ماري لیجنډر لخوا وړاندیز شوی و، او وروسته د کارل فریدریش ګاؤس لخوا نور هم پراختیا ورکړل شوه.
اساسي پوهه
په عمومي توګه، د لږترلږه مربع میتود موخه دا ده چې د پاتې شونو د مربعونو مجموعه، یا د وړاندوینې غلطیو کمولو سره د معلوماتو سیټ لپاره غوره مناسب ریګریشن لاین ومومي. پاتې شونه د مشاهده شوي ارزښت او وړاندوینې شوي ارزښت ترمنځ توپیر دی.
که موږ د معلوماتو یوه ټولګه ولرو چې د مشاهدو جوړې ((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)) ولري، نو زموږ هدف دا دی چې هغه کرښه (y = mx + b) ومومئ چې د مربع غلطیو مجموعه کمه کړي sum( sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 ).
دا طریقه په ساده خطي رجعت او څو خطي رجعت دواړو کې پلي کیدی شي . په ساده خطي رجعت کې ، موږ یوازې یو خپلواک متغیر (x) لرو، پداسې حال کې چې څو خطي رجعت له یو څخه ډیر خپلواک متغیرونه لري.
ساده خطي رجعت
راځئ چې د ساده خطي ریګریشن سره پیل وکړو. فرض کړئ چې موږ د معلوماتو سیټ لرو \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)). هغه ساده خطي ریګریشن ماډل چې موږ یې فټ کول غواړو دا دی:
\[ y = mx + b + \ایپسیلون \]
چیرته چې \( m \) سلوپ دی، \( b \) انټرسیپټ دی، او \( \epsilon \) تصادفي تېروتنه ده.
د لږ تر لږه مربع طریقې په کارولو سره، موږ کولی شو د مربع تېروتنې فعالیت کمولو سره د \( m \) او \( b \) پیرامیټرونو اټکلونه ومومو:
\[ S(m, b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \]
د \( S(m, b) \) د کمولو لپاره، موږ د \( m \) او \( b \) په اړه د \( S \) جزوي مشتقات پیدا کوو، او بیا د \( m \) او \( b \) لپاره دا معادله حل کوو:
\[ \ پیل { سمون شوی}
\frac{\جزوی S}{\جزوی m} &= -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i – (mx_i + b)) = 0 \\
\frac{\جزوی S}{\جزوی b} &= -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b)) = 0
\ پای { سمون شوی} \]
د ساده کولو وروسته، موږ لاندې دوه نورمال معادلې ترلاسه کوو:
\[ \ پیل { سمون شوی}
n\bar{y} او= m \sum_{i=1}^{n} x_i + nb \\
\sum_{i=1}^{n}x_i y_i &= m \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + b \sum_{i=1}^{n}x_i
\ پای { سمون شوی} \]
د پورته معادلو سیسټم په حل کولو سره، موږ کولی شو د \( m \) او \( b \) ارزښتونه ومومو چې د مربع تېروتنه کموي.
څو خطي ریګریشن
په څو خطي ریګریشن کې، موږ له داسې وضعیت سره مخ کیږو چې موږ له یو څخه ډیر خپلواک متغیر لرو. فرض کړئ چې موږ د ټپل په بڼه معلومات لرو \((x_{i1}, x_{i2}, …, x_{ik}, y_i)\). هغه ریګریشن ماډل چې موږ یې کاروو دا دی:
\[ y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + … + b_k x_k + \ایپسیلون \]
دا معادله په میټریکس بڼه لیکل کیدی شي په لاندې ډول:
\[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{b} + \mathbf{\epsilon} \]
چیرته:
– \( \mathbf{y} \) د مشاهده شوي y ارزښتونو یو ستون ویکتور دی.
– \( \mathbf{X} \) د مشاهده شوي x ارزښتونو میټریکس دی (د مداخلې لپاره د کالم 1 په شمول).
– \( \mathbf{b} \) د پیرامیټرو یو ستون ویکتور دی (د \( b_0 \) په ګډون).
د لږترلږه مربع میتود هدف د لاندې مربع تېروتنې فعالیت کمول دي:
\[ S(\mathbf{b}) = (\mathbf{y} - \mathbf{Xb})^T (\mathbf{y} - \mathbf{Xb}) \]
د دې فعالیت د کمولو لپاره، موږ د S جزوي مشتق د \( \mathbf{b} \) په اړه اخلو او صفر ته یې تنظیموو. دا د څو خطي ریګریشن لپاره نورمال معادله ترلاسه کوي:
\[ \mathbf{X}^T \mathbf{Xb} = \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
د پورته معادلو سیسټم په حل کولو سره، موږ کولی شو د پیرامیټر \( \mathbf{b} \) اټکل ترلاسه کړو:
\[ \mathbf{b} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
ګټې او محدودیتونه
د لږ تر لږه مربع میتود ډیری ګټې لري. دا د کارولو لپاره خورا مؤثره او ساده میتود دی. دا یو ځانګړی حل وړاندې کوي که چیرې \( \mathbf{X}^T \mathbf{X} \) بدلیدونکی وي، دا د ډیری عملي غوښتنلیکونو لپاره د باور وړ کوي.
په هرصورت، د لږترلږه مربع میتود هم محدودیتونه لري. دا د بهرنیانو لپاره خورا حساس دی ځکه چې مربع تېروتنه د کوچنیو په پرتله لوی توپیرونو باندې ډیر ټینګار کوي. سربیره پردې، کلاسیک انګیرنه چې تېروتنې د صفر اوسط او دوامداره توپیر سره عادي ویش لري باید د ښو پایلو لپاره پوره شي.
عملي غوښتنلیکونه
د لږ مربع طریقه ډیری وختونه د معلوماتو رجحان تحلیل، وړاندوینې، او د ماشین زده کړې کې د وړاندوینې ماډلونو جوړولو لپاره کارول کیږي. په مالي صنعت کې، د لږ مربع طریقه د ونډو نرخونو یا د بازار فعالیت وړاندوینې لپاره کارول کیږي. په طب کې، دا د درملو دوز او د ناروغ غبرګون ترمنځ د اړیکو ماډل کولو لپاره کارول کیږي. په ټولنیزو علومو کې، دا د متغیرونو لکه تعلیم او عاید ترمنځ د اړیکو په پوهیدو کې مرسته کوي.
پایله
د لږترلږه مربع طریقه د احصایو او معلوماتو تحلیل کې یو له بنسټیزو تخنیکونو څخه دی. که څه هم دا طریقه په مفهوم کې ساده ده، دا طریقه د متغیرونو ترمنځ د اړیکو په ماډل کولو او پوهیدو کې د پام وړ ځواک وړاندې کوي. د پراخو ساحو په اوږدو کې د پراخه غوښتنلیکونو سره، د دې میتود قوي پوهه د مسلکیانو او څیړونکو لپاره یو شان ارزښت لري. په راتلونکي کې، د لویو معلوماتو په دوره کې د معلوماتو د مخ په زیاتیدونکي حجم سره، د کلاسیک میتودونو تطبیق او پلي کول لکه لږترلږه مربع به یوازې په زیاتیدونکي توګه اړونده شي.
