د ساده خطي ریګریشن تحلیل
ساده خطي رجعت یوه احصایوي تخنیک دی چې د دوو کمیتي متغیرونو ترمنځ د اړیکو تحلیل لپاره کارول کیږي. هغه متغیر چې موږ یې د وړاندوینې هڅه کوو د انحصاري یا غبرګون متغیر په نوم یادیږي، پداسې حال کې چې هغه متغیر چې د وړاندوینې کولو لپاره کارول کیږي خپلواک یا وړاندوینې کونکی متغیر بلل کیږي. په ساده خطي رجعت کې، موږ هڅه کوو چې غوره مستقیمه کرښه ومومو چې د دې دوو متغیرونو ترمنځ اړیکه تشریح کوي.
د ساده خطي ریګریشن اساسي مفاهیم
ساده خطي رجعت د دې انګیرنې پر بنسټ والړ دی چې د انحصاري متغیر \(Y\) او خپلواک متغیر \(X\) ترمنځ خطي اړیکه شتون لري. د ساده خطي رجعت ماډل عمومي بڼه دا ده:
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon \]
چیرته:
– \( Y \) یو انحصاري متغیر دی.
– \( X \) خپلواک متغیر دی.
– \( \beta_0 \) هغه وقفه ده، کوم چې د \(Y\) ارزښت دی کله چې \(X = 0\) وي.
– \( \beta_1 \) هغه سلوپ یا ګریډینټ دی، کوم چې په \(Y\) کې د هر واحد بدلون لپاره په \(X\) کې اوسط بدلون دی.
– \( \epsilon \) هغه تېروتنه یا پاتې شوې اصطلاح ده چې په \(Y\) کې د تغیر استازیتوب کوي چې د \(X\) لخوا نشي تشریح کیدی.
د ساده خطي ریګریشن هدف د \(\beta_0\) او \(\beta_1\) پیرامیټرونو اټکل کول دي ترڅو ماډل د \(Y\) ارزښت وړاندوینه کولو لپاره وکارول شي چې د \(X\) ارزښت سره تړاو لري.
د لږ تر لږه مربع طریقه
د ساده خطي ریګریشن ماډل د فټ کولو لپاره یو له خورا عامو کارول شویو میتودونو څخه د لږترلږه مربع میتود دی. دا میتود موخه لري چې د اصلي مشاهدو او ماډل لخوا وړاندوینې شوي ارزښتونو ترمنځ د عمودی انحرافاتو مربعونو مجموعه کمه کړي. فرض کړئ چې موږ n مشاهدې لرو چې د \(i = 1, 2, …, n\ لپاره جوړې \((x_i, y_i)\) څخه جوړ شوي دي. هغه فعالیت چې باید کم شي دا دی:
\[ S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \]
د دې لپاره چې \(\beta_0\) او \(\beta_1\) ومومئ چې دا فعالیت کموي، موږ د هر پیرامیټر په اړه د \(S(\beta_0, \beta_1)\) جزوي مشتقات اخلو او دا مشتقات صفر ته تنظیموو. ریاضيکي محاسبه په لاندې ډول ساده کیدی شي:
\[ \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]
\[ beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \]
چیرته:
– \(\bar{x}\) د \(X\) اوسط دی
– \(\bar{y}\) د \(Y\) اوسط دی
د \(\beta_0\) او \(\beta_1\) پیرامیټرونو ترلاسه کولو وروسته، د \(X\) د هر ارزښت لپاره د \(Y\) ارزښت وړاندوینې لپاره یو ساده خطي ریګریشن ماډل کارول کیدی شي.
په ساده خطي ریګریشن کې انګیرنې
د باوري او باوري پایلو لپاره، ساده خطي ریګریشن څو شیان فرض کوي:
۱. خطي والی: د انحصاري متغیر او خپلواک متغیر ترمنځ اړیکه باید خطي وي.
۲. خپلواکي: مشاهدات باید له یو بل څخه خپلواک وي.
۳. همجنسبازي: د خپلواک متغیر د ارزښتونو په ټوله لړۍ کې د پاتې شونو تغیرات باید ثابت وي.
۴. پاتې شوني نورمالیت: پاتې شوني (غلطۍ) باید د عادي ویش تعقیب کړي.
که چیرې دا انګیرنې پوره نشي، د ساده خطي ریګریشن ماډل پایلې به د اعتبار وړ نه وي او ممکن دقیق وړاندوینې ونشي کولی.
د ریګریشن ماډل ارزونه
د دې ارزولو لپاره یوه لاره چې یو ساده خطي ریګریشن ماډل څومره ښه وړاندوینه کړې ده د ټاکلو ضریب (\(R^2\)) کارول دي. د ټاکلو ضریب په انحصاري متغیر کې د تغیر تناسب ښیي چې په خپلواک متغیرونو کې د تغیر لخوا تشریح کیدی شي.
\[ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} \]
چیرته:
– \(\hat{y}_i\) د \(Y\) اټکل شوی ارزښت دی.
– \(y_i\) د \(Y\) اصلي ارزښت دی.
– \(\bar{y}\) د \(Y\) د ارزښتونو اوسط دی.
د \(R^2\) ارزښت له 0 څخه تر 1 پورې دی. د \(R^2\) ارزښت چې 1 ته نږدې وي ښیي چې ماډل کولی شي په انحصاري متغیر کې ډیری تغیرات تشریح کړي.
د پروګرام کولو په ژبه کې پلي کول
د ساده خطي ریګریشن پلي کولو لپاره، موږ کولی شو مختلف احصایوي سافټویر یا د پروګرام کولو ژبې وکاروو. لاندې د `scikit-learn` کتابتون په کارولو سره په پایتون کې د پلي کولو یوه بیلګه ده:
«پېتون
numpy د np په توګه وارد کړئ
matplotlib.pyplot د plt په توګه وارد کړئ
له sklearn.linear_model څخه د LinearRegression واردول
د sklearn.metrics وارداتو mean_squared_error، r2_score څخه
د معلوماتو د
ایکس = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)
نمونه
ماډل = خطي فشار ()
model.fit (X, y)
وړاندوینه
y_pred = ماډل.predict(X)
ضريب
بیټا_۰ = ماډل.انټرسیپټ_
بیټا_۱ = ماډل.کوف_[0]
چاپ کړئ (f'Intercept: {beta_0}')
چاپ (f'سلوپ: {beta_1}')
چاپ (f'منځنۍ مربع تېروتنه: {mean_squared_error(y, y_pred)}')
چاپ کړئ (f'د ټاکلو ضريب (R^2): {r2_score(y, y_pred)}')
د معلوماتو پلاټ او ریګریشن لاین
plt.scatter(X، y، رنګ = 'آبي')
plt.plot(X, y_pred, رنګ = 'سور')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
"
په پورته مثال کې، موږ لومړی اړین کتابتونونه واردوو، ډاټا \(X\) او \(Y\) تعریفوو، او بیا د `scikit-learn` څخه د `LinearRegression` څیز کاروو ترڅو یو ماډل د معلوماتو سره فټ کړو. یوځل چې ماډل فټ شي، موږ وړاندوینې کوو او ضریبونه محاسبه کوو، او همدارنګه د اوسط مربع تېروتنه او د ټاکلو ضریب. په پای کې، موږ ډاټا او د رجعت کرښه پلاټ کوو.
پایله
ساده خطي رجعت د احصایوي تحلیل یوه پیاوړې وسیله ده چې د دوو کمیتي متغیرونو ترمنځ اړیکه تشریح کولو لپاره کارول کیږي. د خطي توب، خپلواکۍ، همجنسبازۍ او نورمالیت په اړه د ځینو اساسي انګیرنو سره، موږ کولی شو د خپلواک متغیرونو د ارزښتونو پراساس د انحصاري متغیر ارزښت وړاندوینه وکړو. د لږ مربع میتود د رجعت کرښې سره د سمون او غوره پیرامیټرو ټاکلو لپاره یوه مؤثره لاره چمتو کوي. د ټاکلو ضخامت (R2) له لارې د ماډل ارزونه زموږ ماډل څومره ښه فعالیت کوي په اړه بصیرت چمتو کوي.
که څه هم ساده خطي رجعت محدودیتونه لري، لکه یوازې د دوو متغیرونو اداره کولو وړتیا او هغه انګیرنې چې باید پوره شي، دا تخنیک د احصایو او معلوماتو تحلیل کې یو مهم بنسټ پاتې دی، او ډیری وختونه د ډیرو پیچلو میتودونو ته د تګ دمخه د متغیرونو ترمنځ د اړیکو په پوهیدو کې د لومړي ګام په توګه کارول کیږي.
