ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ: ທິດສະດີ, ການນຳໃຊ້, ແລະ ຕົວຢ່າງ

Pendahuluan

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນສະຖິຕິ ແລະ ທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້. ໃນຖານະທີ່ເປັນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງທີ່ໃຊ້ເລື້ອຍທີ່ສຸດ, ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວສະເໜີໃຫ້ການນຳໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ການແພດ, ເສດຖະສາດ, ຊີວະສາດ, ແລະ ສັງຄົມສາດ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວຢ່າງລະອຽດ, ລວມທັງຄຳນິຍາມຂອງມັນ, ຄຸນສົມບັດທີ່ສຳຄັນ, ສູດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ, ແລະ ຕົວຢ່າງການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຫຼາຍຢ່າງ.

ເຂົ້າໃຈການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມອະທິບາຍຜົນໄດ້ຮັບຂອງການທົດລອງ n ການທົດລອງ Bernoulli, ບ່ອນທີ່ແຕ່ລະການທົດລອງມີພຽງແຕ່ສອງຜົນໄດ້ຮັບທີ່ເປັນໄປໄດ້ຄື: "ສຳເລັດ" ຫຼື "ລົ້ມເຫຼວ". ຕົວຢ່າງ, ໃນການໂຍນຫຼຽນ, ຜົນໄດ້ຮັບທີ່ເປັນໄປໄດ້ແມ່ນ "ຫົວ" ຫຼື "ຫົວ".

ສອງພາລາມິເຕີຫຼັກໃນການແຈກຢາຍແບບ binomial ແມ່ນ:
1. n (ຈຳນວນການທົດລອງ)
2. p (ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງ)

ຢ່າງເປັນທາງການກວ່ານັ້ນ, ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງ n ຄັ້ງສາມາດອະທິບາຍໄດ້ໂດຍການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ \( B(n, p) \).

ຟັງຊັນມວນສານຄວາມເປັນໄປໄດ້ (PMF)

ຟັງຊັນມວນສານຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນສູດດັ່ງນີ້:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
ຢູ່ໃສ:
– \( \binom{n}{k} \) ເປັນການລວມກັນຂອງ n k ທີ່ເລືອກ,
- \( p \) ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງດຽວ,
– \( k \) ແມ່ນຈຳນວນຄວາມສຳເລັດ,
– \( n \) ແມ່ນຈຳນວນການທົດລອງທັງໝົດ.

ຄຸນສົມບັດຫຼັກຂອງການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ການແຈກຢາຍແບບ binomial ມີຄຸນສົມບັດສຳຄັນຫຼາຍຢ່າງຄື:
1. ຄ່າສະເລ່ຍ (ຄ່າສະເລ່ຍ): ໄດ້ມາຈາກການຄູນຈຳນວນການທົດລອງດ້ວຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງ. ຄ່າສະເລ່ຍແມ່ນ \( \mu = np \).
2. ຄວາມແປປ່ວນ: ຄວາມແປປ່ວນຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນຜົນຄູນຂອງຈຳນວນການທົດລອງ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ, ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມລົ້ມເຫຼວ, ນັ້ນຄື, \( \sigma^2 = np(1 – p) \).
3. ຄວາມສົມມາດ ແລະ ຄວາມອຽງ: ເມື່ອ \( p = 0.5 \), ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນສົມມາດ. ສຳລັບ \( p < 0.5 \), ການແຈກຢາຍຈະອຽງໄປທາງຂວາ, ແລະ ສຳລັບ \( p > 0.5 \), ການແຈກຢາຍຈະອຽງໄປທາງຊ້າຍ.
4. ຂອບເຂດຂອງຄ່າ: ຄ່າໄບໂນມຽວ (k) ມີຄ່າຕັ້ງແຕ່ 0 ຫາ n.

ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ ແລະ ທິດສະດີຂອບເຂດສູນກາງ

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວມີບົດບາດສຳຄັນໃນທິດສະດີຂອບເຂດສູນກາງ. ເມື່ອຈຳນວນການທົດລອງ (n) ມີຂະໜາດໃຫຍ່ຫຼາຍ, ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວຈະເຂົ້າໃກ້ການແຈກຢາຍປົກກະຕິທີ່ມີຄ່າສະເລ່ຍ \( \mu = np \) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ \( \sigma = \sqrt{np(1 – p)} \).

ຕົວຢ່າງກໍລະນີທີ່ໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ການສົນທະນາກ່ຽວກັບການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມຈະງ່າຍຕໍ່ການເຂົ້າໃຈຜ່ານຕົວຢ່າງຕົວຈິງຈາກຂົງເຂດຕ່າງໆ. ນີ້ແມ່ນບາງການນຳໃຊ້ໃນໂລກຕົວຈິງ:

ຕົວຢ່າງທີ 1: ການທົດສອບຜະລິດຕະພັນ

ສົມມຸດວ່າບໍລິສັດເອເລັກໂຕຣນິກມີສາຍການຜະລິດທີ່ມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຜະລິດຕະພັນທີ່ມີຂໍ້ບົກພ່ອງແມ່ນ 0.01. ຖ້າບໍລິສັດກວດກາຜະລິດຕະພັນ 100 ຢ່າງ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະພົບເຫັນຜະລິດຕະພັນທີ່ມີຂໍ້ບົກພ່ອງ 2 ຢ່າງແມ່ນເທົ່າໃດ?

ການນໍາໃຊ້ສູດການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ:
\[ P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.01)^2 (0.99)^{98} \]

ໂດຍການຄິດໄລ່ການປະສົມປະສານ \(\binom{100}{2}\), ຈາກນັ້ນຄູນດ້ວຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຍັງເຫຼືອ, ເຮົາຈະໄດ້ຜົນສຸດທ້າຍ.

ຕົວຢ່າງທີ 2: ການຄົ້ນຄວ້າທາງການແພດ

ໃນການທົດລອງທາງຄລີນິກຂອງຢາສຳລັບພະຍາດສະເພາະໃດໜຶ່ງ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຄົນເຈັບຈະຫາຍດີດ້ວຍຢາແມ່ນ 0.8. ຖ້າຄົນເຈັບ 10 ຄົນໄດ້ຮັບການທົດສອບ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຢ່າງໜ້ອຍ 8 ຄົນຈະຫາຍດີແມ່ນເທົ່າໃດ?

ເພື່ອຊອກຫາຄວາມເປັນໄປໄດ້ນີ້, ພວກເຮົາຕ້ອງບວກຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄົນເຈັບ 8, 9, ແລະ 10 ຄົນທີ່ກຳລັງຟື້ນຕົວ:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]

ໂດຍການໃຊ້ສູດ binomial ສຳລັບແຕ່ລະຄ່າຂອງ k (8, 9, ແລະ 10), ຈາກນັ້ນນຳເອົາຜົນໄດ້ຮັບມາບວກກັນ.

ຕົວຢ່າງທີ 3: ການຕັດສິນໃຈໃນເສດຖະສາດ

ໃນການສຳຫຼວດຕະຫຼາດ, 60% ຂອງຜູ້ບໍລິໂພກມັກຜະລິດຕະພັນໃໝ່. ຖ້າເອົາຕົວຢ່າງແບບສຸ່ມຂອງຜູ້ບໍລິໂພກ 20 ຄົນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຢ່າງໜ້ອຍ 15 ຄົນໃນນັ້ນມັກຜະລິດຕະພັນແມ່ນເທົ່າໃດ?

ພວກເຮົາຕ້ອງການການແຈກຢາຍແບບ binomial ເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຈຳນວນ likes ຈາກ 15 ຫາ 20:
\[ P(X \geq 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) \]

ໂດຍການໃຊ້ວິທີດຽວກັນ, ພວກເຮົາຄິດໄລ່ ແລະ ບວກຄວາມເປັນໄປໄດ້ເຫຼົ່ານີ້ເຂົ້າກັນ.

ການນໍາໃຊ້ເຕັກໂນໂລຊີໃນການຄິດໄລ່ການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ໃນຍຸກດິຈິຕອນ, ການນຳໃຊ້ການຄິດໄລ່ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມບໍ່ພຽງແຕ່ເຮັດດ້ວຍຕົນເອງເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງໃຊ້ຊອບແວເຊັ່ນ R, Python, ຫຼື ເຄື່ອງຄິດໄລ່ທາງສະຖິຕິບາງຢ່າງ.

ນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງຂອງການໃຊ້ Python ເພື່ອຄິດໄລ່ການແຈກຢາຍແບບ binomial:

“` python
ຈາກ scipy.stats ນຳເຂົ້າ binom

n = ຈຳນວນການທົດລອງ 10 ຄັ້ງ
p = 0.8 ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ
k = 8 ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດທີ່ຄາດໄວ້

ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ 8 ຢ່າງແນ່ນອນ
prob_8 = binom.pmf(k, n, p)

ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດຢ່າງໜ້ອຍ 8 ຢ່າງ
prob_ge_8 = 1 – binom.cdf(k-1, n, p)

print(f”ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ 8 ຢ່າງ: {prob_8}”)
print(f”ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຢ່າງໜ້ອຍ 8 ຄວາມສຳເລັດ: {prob_ge_8}”)
“ `

ສະຫຼຸບ

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານທີ່ສຳຄັນໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້. ໂດຍການເຂົ້າໃຈການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ, ພວກເຮົາສາມາດນຳໃຊ້ຮູບແບບຄວາມເປັນໄປໄດ້ຕ່າງໆກັບສະຖານະການໃນໂລກຕົວຈິງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການທົດລອງຊ້ຳໆດ້ວຍສອງຜົນໄດ້ຮັບ. ຄວາມສາມາດໃນການໃຊ້ເຄື່ອງມືເຕັກໂນໂລຢີເຮັດໃຫ້ຂະບວນການຄິດໄລ່ມີປະສິດທິພາບ ແລະ ຖືກຕ້ອງຫຼາຍຂຶ້ນ. ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວບໍ່ພຽງແຕ່ມີຄວາມສຳຄັນທາງທິດສະດີເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງມີການນຳໃຊ້ຕົວຈິງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງຫຼາຍຢ່າງໃນຂົງເຂດວິທະຍາສາດ ແລະ ອຸດສາຫະກຳຕ່າງໆ.

ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າກ່ຽວກັບການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ ແລະ ເປັນແຮງບັນດານໃຈໃຫ້ກັບການສຳຫຼວດຕື່ມອີກໃນຂົງເຂດສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້.