ຕົວຢ່າງຂອງຄຳຖາມສົນທະນາແບບປະສົມປະສານ
ການລວມກັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນທິດສະດີຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ສະຖິຕິ, ເຊິ່ງຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດນັບຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກວັດຖຸຈາກຊຸດໂດຍບໍ່ຄຳນຶງເຖິງລຳດັບ. ໃນການລວມກັນ, ລຳດັບຂອງການເລືອກຍັງຄົງບໍ່ປ່ຽນແປງ, ບໍ່ຄືກັບການປ່ຽນຮູບແບບ, ບ່ອນທີ່ລຳດັບຂອງການເລືອກແມ່ນກຸນແຈສຳຄັນ. ການລວມກັນຖືກນຳໃຊ້ໃນຫຼາກຫຼາຍຂົງເຂດ, ຕັ້ງແຕ່ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ ແລະ ຊີວະວິທະຍາ ຈົນເຖິງເສດຖະສາດ ແລະ ຄະນິດສາດ. ບົດຄວາມນີ້ຈະອະທິບາຍແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງການລວມກັນ ແລະ ໃຫ້ຕົວຢ່າງບັນຫາ ແລະ ການສົນທະນາຫຼາຍຢ່າງເພື່ອຊ່ວຍໃນຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງທ່ານ.
ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງການປະສົມປະສານ
ກ່ອນທີ່ພວກເຮົາຈະໄປຫາບັນຫາຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍຄວາມເຂົ້າໃຈພື້ນຖານກ່ຽວກັບການປະສົມປະສານ.
ການລວມກັນຂອງວັດຖຸ \(n\) ທີ່ເອົາ \(r\) ໃນແຕ່ລະຄັ້ງແມ່ນສະແດງໂດຍສັນຍາລັກ \(\binom{n}{r}\) ຫຼື \(\mathbf{C}(n, r)\). ສູດສຳລັບຄິດໄລ່ການລວມກັນແມ່ນ:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \( n \) ແມ່ນຈຳນວນວັດຖຸທັງໝົດທີ່ມີຢູ່.
– \( r \) ແມ່ນຈຳນວນວັດຖຸທີ່ຈະຖືກເລືອກ.
– ! (factorial) ແມ່ນການດຳເນີນງານທາງຄະນິດສາດທີ່ຄູນຕົວເລກດ້ວຍຕົວເລກບວກທັງໝົດທີ່ຢູ່ລຸ່ມມັນສູງເຖິງ 1.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1: ການເລືອກທີມຈາກກຸ່ມນັກຮຽນ
ຄຳຖາມ:
ມີນັກຮຽນ 10 ຄົນໃນຫ້ອງຮຽນໜຶ່ງ. ນັກຮຽນ 4 ຄົນຈາກຫ້ອງຮຽນສາມາດຄັດເລືອກເຂົ້າຮ່ວມການແຂ່ງຂັນໄດ້ຈັກວິທີ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການນໍາໃຊ້ສູດປະສົມປະສານ:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
ການຄິດໄລ່ຕົວປະກອບ:
– \( 10! = 10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8 \ຄູນ 7 \ຄູນ 6! \)
-\( 4! = 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1 = 24 \)
– \( 6! \) ຢູ່ທາງເທິງແລ້ວ, ສະນັ້ນມັນສາມາດຍົກເລີກ 6! ໃນ \(10!\).
ດັ່ງນັ້ນ:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8 \ຄູນ 7}{4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 210 ວິທີທີ່ຈະເລືອກນັກຮຽນ 4 ຄົນຈາກນັກຮຽນ 10 ຄົນ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2: ການປະສົມປະສານໂດຍໃຊ້ຊຸດບັດ
ຄຳຖາມ:
ຈາກຊຸດໄພ້ 52 ໃບ, ມີຈັກວິທີທີ່ຈະເລືອກມືໂປ໊ກເກີ 5 ໃບ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການນໍາໃຊ້ສູດປະສົມປະສານ:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
ການຄິດໄລ່ຕົວປະກອບ:
– \( 52! = 52 \ຄູນ 51 \ຄູນ 50 \ຄູນ 49 \ຄູນ 48 \ຄູນ 47! \)
- \( 5! = 5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1 = 120 \)
– \( 47! \) ຢູ່ທາງເທິງແລ້ວ, ສະນັ້ນມັນສາມາດຍົກເລີກ 47! ໃນ \(52!\).
ດັ່ງນັ້ນ:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \ຄູນ 51 \ຄູນ 50 \ຄູນ 49 \ຄູນ 48}{5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 2,598,960 ວິທີທີ່ຈະເລືອກ 5 ບັດຈາກ 52 ບັດ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3: ການຄິດໄລ່ການປະສົມປະສານສຳລັບການເລືອກທີມກິລາ
ຄຳຖາມ:
ທີມບານບ້ວງປະກອບດ້ວຍຜູ້ຫຼິ້ນ 15 ຄົນ. ຖ້າຄູຝຶກຕ້ອງການເລືອກຜູ້ຫຼິ້ນ 5 ຄົນເປັນຜູ້ຫຼິ້ນຕົວຈິງ, ສາມາດເຮັດໄດ້ຈັກວິທີ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການນໍາໃຊ້ສູດປະສົມປະສານ:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
ການຄິດໄລ່ຕົວປະກອບ:
– \( 15! = 15 \ຄູນ 14 \ຄູນ 13 \ຄູນ 12 \ຄູນ 11 \ຄູນ 10! \)
- \( 5! = 5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1 = 120 \)
– \( 10! \) ຢູ່ທາງເທິງແລ້ວ, ສະນັ້ນມັນສາມາດຍົກເລີກ 10! ໃນ \(15!\).
ດັ່ງນັ້ນ:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \ຄູນ 14 \ຄູນ 13 \ຄູນ 12 \ຄູນ 11}{5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 3,003 ວິທີທີ່ຈະເລືອກຜູ້ຫຼິ້ນ 5 ຄົນຈາກຜູ້ຫຼິ້ນ 15 ຄົນ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4: ການປະສົມພັນໃນຊີວະວິທະຍາ
ຄຳຖາມ:
ໃນສວນ, ມີດອກໄມ້ 8 ຊະນິດທີ່ແຕກຕ່າງກັນ. ດອກໄມ້ 3 ຊະນິດສາມາດເລືອກໄດ້ຈັກວິທີເພື່ອຈັດດອກໄມ້?
ເປບບາຮາຊານ:
ການນໍາໃຊ້ສູດປະສົມປະສານ:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
ການຄິດໄລ່ຕົວປະກອບ:
– \( 8! = 8 \ຄູນ 7 \ຄູນ 6 \ຄູນ 5! \)
- \( 3! = 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1 = 6 \)
– \( 5! \) ຢູ່ທາງເທິງແລ້ວ, ສະນັ້ນມັນສາມາດຍົກເລີກ 5! ໃນ \(8!\).
ດັ່ງນັ້ນ:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \ຄູນ 7 \ຄູນ 6}{3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 56 ວິທີໃນການເລືອກດອກໄມ້ 3 ປະເພດຈາກດອກໄມ້ 8 ປະເພດ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 5: ການປະສົມປະສານໃນການສ້າງທີມ
ຄຳຖາມ:
ເຈົ້າມີປຶ້ມ 12 ຫົວທີ່ແຕກຕ່າງກັນຢູ່ເທິງຊັ້ນວາງປຶ້ມ. ເຈົ້າສາມາດເລືອກປຶ້ມ 5 ຫົວຈາກ 12 ຫົວໄດ້ຈັກວິທີ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການນໍາໃຊ້ສູດປະສົມປະສານ:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
ການຄິດໄລ່ຕົວປະກອບ:
– \( 12! = 12 \ຄູນ 11 \ຄູນ 10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8 \ຄູນ 7! \)
- \( 5! = 5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1 = 120 \)
– \( 7! \) ຢູ່ທາງເທິງແລ້ວ, ສະນັ້ນມັນສາມາດຍົກເລີກ 7! ໃນ \(12!\).
ດັ່ງນັ້ນ:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \ຄູນ 11 \ຄູນ 10 \ຄູນ 9 \ຄູນ 8}{5 \ຄູນ 4 \ຄູນ 3 \ຄູນ 2 \ຄູນ 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 792 ວິທີໃນການເລືອກປຶ້ມ 5 ຫົວຈາກ 12 ຫົວ.
ສະຫຼຸບ
ການລວມກັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ເປັນປະໂຫຍດຫຼາຍໃນຫຼາຍໆດ້ານ, ໂດຍສະເພາະເມື່ອພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ຈຳນວນວິທີໃນການເລືອກວັດຖຸໂດຍບໍ່ຄຳນຶງເຖິງລຳດັບ. ໂດຍການໃຊ້ສູດລວມກັນພື້ນຖານ \(\binom{n}{r}\), ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ພວກມັນໄດ້ໄວ ແລະ ງ່າຍດາຍ, ຕາບໃດທີ່ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈວ່າປັດໄຈເຮັດວຽກແນວໃດ. ຜ່ານຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາຫວັງວ່າຈະມີຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ສົມບູນ ແລະ ຊັດເຈນກວ່າເກົ່າກ່ຽວກັບການລວມກັນ. ສືບຕໍ່ຝຶກຝົນກັບບັນຫາຕ່າງໆເພື່ອເສີມສ້າງຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງທ່ານໃຫ້ເຂັ້ມແຂງຂຶ້ນ.
