ຟັງຊັນການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ຟັງຊັນການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ: ຄຳອະທິບາຍ ແລະ ການນຳໃຊ້ທີ່ສົມບູນ

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງທີ່ນິຍົມໃຊ້ຫຼາຍທີ່ສຸດໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້. ການແຈກຢາຍນີ້ສ້າງແບບຈຳລອງຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນຊຸດການທົດລອງທີ່ຄືກັນ ແລະ ເປັນອິດສະຫຼະ, ບ່ອນທີ່ແຕ່ລະການທົດລອງມີສອງຜົນໄດ້ຮັບທີ່ເປັນໄປໄດ້ຄື: ຄວາມສຳເລັດ ຫຼື ຄວາມລົ້ມເຫຼວ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະຄົ້ນຫາຄຳນິຍາມ, ສູດ, ຄຸນສົມບັດ, ແລະ ການນຳໃຊ້ຟັງຊັນການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວຢ່າງລະອຽດ.

ເຂົ້າໃຈການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມອະທິບາຍຈຳນວນຂອງ “ຄວາມສຳເລັດ” ໃນການທົດລອງທີ່ເປັນອິດສະຫຼະ n ຄັ້ງ, ບ່ອນທີ່:

- ແຕ່ລະການທົດລອງຈະໃຫ້ຜົນໄດ້ຮັບທີ່ເປັນໄປໄດ້ພຽງສອງຢ່າງຄື: ສຳເລັດ ຫຼື ລົ້ມເຫຼວ.
- ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງແມ່ນ p.
– ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມລົ້ມເຫຼວແມ່ນ 1 – ໜ້າ.
- ການທົດລອງແຕ່ລະຄັ້ງແມ່ນເປັນອິດສະຫຼະຈາກກັນ.

ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມຖືກສະແດງເປັນ B(n, p), ບ່ອນທີ່ n ແມ່ນຈຳນວນການທົດລອງ ແລະ p ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງດຽວ.

ສູດການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ

ການແຈກຢາຍແບບ binomial ແມ່ນຄິດໄລ່ໂດຍໃຊ້ສູດຕໍ່ໄປນີ້:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]

ຢູ່ໃສ:
– \( P(X = k) \): ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການປະສົບຜົນສຳເລັດ k ຢ່າງແນ່ນອນໃນ n ການທົດລອງ.
– \( \binom{n}{k} \): ການລວມກັນຂອງວັດຖຸ n ຢ່າງທີ່ຖືກເອົາມາເປັນ k.
– \( p \): ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງ.
– \( n \): ຈຳນວນການທົດລອງທັງໝົດ.
– \( k \): ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດທີ່ຕ້ອງການ.

ຄ່າປະສົມ \(\binom{n}{k}\) ຖືກຄິດໄລ່ດັ່ງນີ້:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]

ຄຸນສົມບັດຂອງການແຈກຢາຍແບບ Binomial

1. ຄວາມຄາດຫວັງ (ຄ່າສະເລ່ຍ) ແລະ ຄວາມແປປ່ວນ:
- ຄ່າຄາດຫວັງ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນ \( \mu = np \).
- ຄວາມແปรປ່ວນແມ່ນ \( \sigma^2 = np(1-p) \).

2. ຄວາມສົມມາດ:
- ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນສົມມາດຖ້າ p = 0.5. ຖ້າ p ≠ 0.5, ການແຈກຢາຍຈະອຽງໄປທາງຂວາ (p < 0.5) ຫຼືໄປທາງຊ້າຍ (p > 0.5).

3. ຄວາມອຽງ ແລະ ຄວາມໂດດດ່ຽວ:
- ຄວາມອຽງຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນ \( \gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}} \).
- Kurtosis ແມ່ນ \( \gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)} \).

4. ການແຈກຢາຍປະມານ:
- ສຳລັບ n ແລະ p ຂະໜາດໃຫຍ່ທີ່ເຂົ້າໃກ້ 0.5, ການແຈກຢາຍແບບທະວິໂນມຽລສາມາດຖືກປະມານໄດ້ໂດຍການແຈກຢາຍປົກກະຕິ.
- ຖ້າ p ມີຂະໜາດນ້ອຍຫຼາຍ ແລະ n ມີຂະໜາດໃຫຍ່ຫຼາຍ ດັ່ງນັ້ນ np ຍັງຄົງທີ່, ຫຼັງຈາກນັ້ນການແຈກຢາຍແບບທະວິໂນມຽລສາມາດຖືກປະມານໄດ້ໂດຍການແຈກຢາຍ Poisson.

ການນໍາໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບ Binomial

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວຖືກນໍາໃຊ້ໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ຊີວະສາດ, ເສດຖະສາດ, ການຕະຫຼາດ, ແລະ ວິສະວະກໍາເພື່ອສ້າງແບບຈໍາລອງເຫດການທີ່ສາມາດສະແດງອອກໃນຮູບແບບໄບນາຣີ (ຄວາມສໍາເລັດ/ຄວາມລົ້ມເຫຼວ). ນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງທີ່ແນ່ນອນຂອງການນໍາໃຊ້ຂອງມັນ:

ການທົດສອບຄຸນນະພາບຜະລິດຕະພັນ

ສົມມຸດວ່າຊຸດຜະລິດຕະພັນມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ 2% ທີ່ຈະມີບັນຫາ. ຖ້າພວກເຮົາທົດສອບ 50 ຫົວໜ່ວຍຂອງຜະລິດຕະພັນ, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການຊອກຫາຈຳນວນຫົວໜ່ວຍທີ່ມີຂໍ້ຜິດພາດທີ່ກຳນົດໃຫ້. ດ້ວຍ n = 50 ແລະ p = 0.02, ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການຊອກຫາຫົວໜ່ວຍທີ່ມີຂໍ້ຜິດພາດ k ຢ່າງແນ່ນອນໃນຊຸດ.

ການປະເມີນຕົວຢ່າງ

ຕົວຢ່າງ, ໃນການຄົ້ນຄວ້າຕະຫຼາດ, ການສຳຫຼວດມັກຈະດຳເນີນດ້ວຍຄຳຖາມແມ່ນ/ບໍ່. ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ຈຳນວນຜູ້ຕອບແບບສອບຖາມທີ່ເຫັນດີກັບຖະແຫຼງການໃນຕົວຢ່າງ 100 ຄົນ (ສົມມຸດວ່າມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການເຫັນດີ 0.7), ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມສາມາດຊ່ວຍປະເມີນຈຳນວນຄົນທີ່ເຫັນດີທີ່ຄາດໄວ້.

ພັນທຸ ກຳ

ໃນພັນທຸກໍາ, ການແຈກຢາຍແບບສອງນາມຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈໍາລອງການສືບທອດລັກສະນະສະເພາະຈາກລຸ້ນໜຶ່ງຫາລຸ້ນຕໍ່ໄປ. ຕົວຢ່າງ, ຖ້າມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ 25% ທີ່ລູກຫຼານຈະມີລັກສະນະທາງພັນທຸກໍາສະເພາະ, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບສອງນາມເພື່ອກໍານົດຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ວ່າໃນສີ່ລູກຫຼານ, ສອງຄົນຈະມີລັກສະນະນັ້ນ.

ການເງິນ ແລະ ການປະກັນໄພ

ທາງດ້ານການເງິນ, ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອສ້າງແບບຈໍາລອງການເກີດຂຶ້ນຂອງການລົ້ມລະລາຍ, ການຈ່າຍຄ່າຊົດເຊີຍ, ຫຼືອັດຕາດອກເບ້ຍໃນສິນຄ້າບາງຢ່າງທີ່ຕອບສະໜອງເງື່ອນໄຂຄວາມສໍາເລັດ/ຄວາມລົ້ມເຫຼວ.

ຕົວຢ່າງການຄິດໄລ່

ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາຕ້ອງການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່, ຈາກການໂຍນຫຼຽນ 10 ຄັ້ງ, ພວກເຮົາຈະໄດ້ຫົວ 6 ຢ່າງແນ່ນອນ (ສົມມຸດວ່າຫຼຽນມີຄວາມຍຸດຕິທຳ ແລະ p=0.5):

\[ P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^4 \]

\[ = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^{10} \]

\[ = \frac{210}{1024} \]

\[ = 0.205 \]

ສະນັ້ນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະໄດ້ຫົວ 6 ຫົວຈາກ 10 ຄັ້ງທີ່ໂຍນຫຼຽນແມ່ນ 0.205.

ແອັບພລິເຄຊັນຄອມພິວເຕີ

ໃນຍຸກເທັກໂນໂລຢີໃນປະຈຸບັນ, ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມມັກຖືກຄິດໄລ່ໂດຍໃຊ້ຊອບແວສະຖິຕິເຊັ່ນ R, Python, ຫຼືເຄື່ອງມືຕາຕະລາງເຊັ່ນ Microsoft Excel. ນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງຂອງສະຄຣິບ Python ງ່າຍໆໂດຍໃຊ້ຫ້ອງສະໝຸດ `scipy`:

“` python
ຈາກ scipy.stats ນຳເຂົ້າ binom

ຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາຕ້ອງການຊອກຫາ P(X = 6) ສຳລັບ n=10 ແລະ p=0.5
n = 10
p = 0.5
k = 6

prob = binom.pmf(k, n, p)

print(f”ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະໄດ້ຫົວ {k} ຢ່າງແນ່ນອນຈາກການໂຍນຫຼຽນ {n} ຄັ້ງແມ່ນ {prob:.3f}”)
“ `

ສະຫຼຸບ

ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນເຄື່ອງມືທີ່ສຳຄັນໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້, ໂດຍສະເພາະເມື່ອວິເຄາະເຫດການໄບນາຣີທີ່ເປັນອິດສະຫຼະ. ການເປັນແມ່ບົດໃນແນວຄວາມຄິດນີ້ສາມາດຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາແກ້ໄຂບັນຫາຕ່າງໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການຕັດສິນໃຈທາງດ້ານການເງິນ, ການຄົ້ນຄວ້າຕະຫຼາດ, ຄຸນນະພາບຜະລິດຕະພັນ, ພັນທຸກຳ, ແລະ ການນຳໃຊ້ອື່ນໆອີກຫຼາກຫຼາຍໄດ້ຢ່າງມີປະສິດທິພາບຫຼາຍຂຶ້ນ.

ໂດຍການເຂົ້າໃຈຟັງຊັນການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ, ພວກເຮົາສາມາດສ້າງແບບຈຳລອງ ແລະ ຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງເຫດການຕ່າງໆໄດ້ຢ່າງແມ່ນຍຳ, ແລະ ຕັດສິນໃຈໂດຍອີງໃສ່ການວິເຄາະທາງສະຖິຕິທີ່ເຂັ້ມແຂງ. ຄວາມກ້າວໜ້າທາງດ້ານເຕັກໂນໂລຊີ ແລະ ຊອບແວສະຖິຕິຍັງເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການຄິດໄລ່ ແລະ ເບິ່ງເຫັນການແຈກຢາຍນີ້, ເຮັດໃຫ້ມັນສາມາດເຂົ້າເຖິງໄດ້ງ່າຍຂຶ້ນໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດການສຶກສາ ແລະ ການນຳໃຊ້.