Fformiwlâu Ystadegol mewn Ymchwil
Mae ystadegaeth yn gangen o fathemateg sy'n ymwneud â chasglu, dadansoddi, dehongli a chyflwyno data. Mewn ymchwil, boed yn y gwyddorau, peirianneg, gwyddorau cymdeithasol, neu hyd yn oed y dyniaethau, mae ystadegaeth yn chwarae rhan hanfodol wrth helpu ymchwilwyr i brofi damcaniaethau, gwneud rhagfynegiadau, a dod i gasgliadau. Bydd yr erthygl hon yn trafod rhai fformwlâu ystadegol sylfaenol a'u cymhwysiad mewn ymchwil.
1. Ystadegaeth Ddisgrifiadol
Defnyddir ystadegau disgrifiadol i ddisgrifio'r data a gesglir mewn astudiaeth. Maent yn cynnwys amrywiol fesurau sy'n rhoi trosolwg o'r data.
a. Cyfartaledd (Cymedr)
Y cymedr yw'r gwerth a ddefnyddir amlaf mewn ystadegau. Dyma gyfanswm yr holl werthoedd mewn set ddata wedi'i rannu â nifer y gwerthoedd.
\[ \text{Cymedr} (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Ble:
– \( \sum \) yw'r symbol swm, sy'n golygu adio holl werthoedd \( x \) o 1 i \(n \).
– \( x_i \) yw pob gwerth yn y set ddata.
– \(n \) yw cyfanswm y gwerthoedd yn y set ddata.
b. Canolrif
Y canolrif yw'r gwerth canol mewn set ddata wedi'i didoli. Os yw nifer y gwerthoedd yn y data yn odrif, y canolrif yw'r gwerth canol. Os yw nifer y gwerthoedd yn eilrif, y canolrif yw cyfartaledd y ddau werth canol.
c. Modd
Y modd yw'r gwerth sy'n ymddangos amlaf mewn set ddata. Gall set ddata gael un modd (unimodal), mwy nag un modd (amlfodd), neu ddim modd o gwbl.
ch. Ystod
Ystod yw'r gwahaniaeth rhwng y gwerthoedd uchaf ac isaf mewn set ddata.
\[ \text{Amrediad} = \text{Uchafswm}(x) – \text{Isafswm}(x) \]
e. Gwyriad Safonol
Mae gwyriad safonol yn fesur o ledaeniad neu wasgariad data o amgylch y cymedr. Y fformiwla ar gyfer gwyriad safonol y boblogaeth yw:
[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} \]
Ac ar gyfer sampl:
[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} \]
Ble:
– \( \sigma \) yw gwyriad safonol y boblogaeth.
– \(s \) yw gwyriad safonol y sampl.
– \( x_i \) yw pob gwerth yn y set ddata.
– \( \mu \) yw cymedr y boblogaeth.
– \( \bar{x} \) yw cymedr y sampl.
– \( N \) yw cyfanswm y gwerthoedd yn y boblogaeth.
– \(n \) yw cyfanswm y gwerthoedd yn y sampl.
2. Ystadegau Casgliadol
Mae ystadegaeth gasgliadol yn caniatáu i ymchwilwyr dynnu casgliadau am boblogaeth yn seiliedig ar sampl o ddata. Mae'n cwmpasu amrywiaeth o dechnegau, megis profi damcaniaethau, atchweliad, a dadansoddi amrywiant (ANOVA).
a. Profi Damcaniaethau
Mae profi damcaniaethau yn broses ystadegol a ddefnyddir i benderfynu a oes digon o dystiolaeth mewn sampl o ddata i ddod i'r casgliad bod cyflwr yn wir mewn poblogaeth.
i. Rhagdybiaeth Nwl (H0) a Rhagdybiaeth Amgen (H1)
– Rhagdybiaeth Nwl (H0): Nid oes gwahaniaeth nac effaith.
– Rhagdybiaeth Amgen (H1): Mae gwahaniaeth neu effaith.
Gwneir profion gan ddefnyddio ystadegyn prawf, fel prawf-t, prawf chi-sgwâr, neu ANOVA, a chymharu'r gwerth-p â lefel arwyddocâd (\(\alpha\)), fel arfer 0,05.
ii. prawf-t
Defnyddir y prawf-t i gymharu cymedrau dau grŵp. Mae sawl amrywiad o'r prawf-t, fel y prawf-t samplau annibynnol a'r prawf-t pâr.
Y fformiwla sylfaenol ar gyfer y prawf-t ar gyfer samplau annibynnol yw:
\[ t = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right) + \left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)}} \]
b. Atchweliad
Defnyddir atchweliad i fodelu'r berthynas rhwng un neu fwy o newidynnau annibynnol (rhagfynegwyr) a newidyn dibynnol (ymateb).
i. Atchweliad Llinol Syml
Mae atchweliad llinol syml yn modelu'r berthynas rhwng un newidyn annibynnol ac un newidyn dibynnol.
Yr hafaliad atchweliad llinol syml yw:
[y = β₁ + β₁ x + epsilon]
Ble:
– \(y \) yw'r newidyn dibynnol.
– \(x \) yw'r newidyn annibynnol.
– \( \beta_0 \) yw'r rhyngdoriad.
– \( \beta_1 \) yw'r cyfernod atchweliad.
– Mae \( \epsilon \) yn wall.
ii. Atchweliad Llinol Lluosog
Mae atchweliad llinol lluosog yn modelu'r berthynas rhwng newidynnau annibynnol lluosog ac un newidyn dibynnol.
Yr hafaliad atchweliad llinol lluosog yw:
[y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₀x₂ + β₀x₂ + β₀x₀ + epsilon]
Ble:
– \(y \) yw'r newidyn dibynnol.
– \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) yw'r newidyn annibynnol.
– \( \beta_0 \) yw'r rhyngdoriad.
– \( \beta_p \) yw'r cyfernod atchweliad ar gyfer y newidyn annibynnol \(p \).
– Mae \( \epsilon \) yn wall.
c. Dadansoddiad o Amrywiant (ANOVA)
Defnyddir ANOVA i gymharu cymedrau tri grŵp neu fwy. Mae ANOVA yn pennu a oes gwahaniaeth arwyddocaol rhwng cymedrau grwpiau drwy gymharu'r amrywioldeb rhwng grwpiau â'r amrywioldeb o fewn grwpiau.
Y fformiwla sylfaenol ar gyfer ANOVA yw:
\[ F = \frac{\text{Amrywioldeb Rhwng Grŵp}}{\text{Amrywioldeb O Fewn Grŵp}} \]
Cyfrifir yr ystadegyn F a'i gymharu â gwerth critigol y dosraniad F i benderfynu a oes gwahaniaeth arwyddocaol rhwng cymedrau'r grŵp.
3. Cydberthynas
Mae cydberthynas yn mesur cryfder a chyfeiriad y berthynas linellol rhwng dau newidyn.
a. Cyfernod Cydberthynas Pearson (r)
Cyfernod cydberthynas Pearson yw'r mesur a ddefnyddir amlaf i fesur y gydberthynas llinol rhwng dau newidyn.
Y fformiwla ar gyfer cyfernod cydberthynas Pearson yw:
\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}} \]
Ble:
– \(r \) yw cyfernod cydberthynas Pearson.
– \(x_i \) ac \(y_i \) yw gwerthoedd dau newidyn.
– \( \bar{x} \) a \( \bar{y} \) yw cyfartaleddau'r ddau newidyn.
Mae'r gwerth \(r \) yn amrywio o -1 (cydberthynas negyddol berffaith) i +1 (cydberthynas bositif berffaith), gyda 0 yn dynodi dim cydberthynas.
Cau
Mae ystadegaeth yn offeryn ymchwil hanfodol sy'n helpu ymchwilwyr i gyflwyno, dadansoddi a thynnu casgliadau o ddata. Dim ond ychydig o fformwlâu sylfaenol mewn ystadegaeth ddisgrifiadol a chasgliadol, yn ogystal â chydberthynas, y mae'r erthygl hon yn eu trafod. Er eu bod yn syml, mae dealltwriaeth drylwyr o'r fformwlâu hyn yn allweddol i gynnal dadansoddiadau dilys a thynnu casgliadau cywir o ddata ymchwil. Drwy feistroli ystadegaeth, gall ymchwilwyr sicrhau bod eu canfyddiadau'n seiliedig ar ddadansoddiad cadarn a dibynadwy.
