# Fformiwla Dosbarthiad Normal mewn Ystadegau
Mae'r dosraniad arferol, a elwir hefyd yn ddosraniad Gaussaidd neu'r gromlin gloch, yn un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol mewn ystadegaeth. Yn aml, ystyrir ei fodolaeth yn sail i amryw o ddadansoddiadau ystadegol a thebygolrwydd. Defnyddir y dosraniad hwn nid yn unig yn aml mewn theori ond hefyd mewn amrywiol gymwysiadau ymarferol, megis rheoli risg ariannol, gwyddor gymdeithasol, meddygaeth, a mwy.
## Diffiniad o Ddosbarthiad Normal
Mae'r dosraniad arferol yn ddosraniad tebygolrwydd parhaus sy'n gymesur ynghylch ei gymedr. Mewn geiriau eraill, bydd plot graffigol o'r dosraniad hwn yn ffurfio cromlin gloch sy'n lledu wrth y cymedr ac yn culhau wrth y cynffonau. Mae gan y dosraniad hwn ddau brif baramedr: y cymedr (μ) a'r gwyriad safonol (σ).
Mae'r cymedr yn pennu lleoliad canol y dosraniad, tra bod y gwyriad safonol yn mesur pa mor wasgaredig yw'r data o amgylch y cymedr. Po fwyaf yw'r gwyriad safonol, y lletaf a'r byrraf yw'r gromlin ddosbarthiad; po leiaf yw'r gwyriad safonol, y culaf a'r mwyaf serth yw'r gromlin.
## Ffwythiant Dwysedd Tebygolrwydd
Mae gan y ffwythiant dwysedd tebygolrwydd (pdf) ar gyfer y dosraniad arferol y ffurf fathemategol ganlynol:
[f(x | \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Yma:
– Mae \(x \) yn newidyn ar hap.
– \( \mu \) yw cymedr y dosraniad.
– \( \sigma \) yw gwyriad safonol y dosraniad.
– \( e \) yw sylfaen y logarithm naturiol, tua 2.71828.
Mae'r ffwythiant uchod yn creu cromlin gloch gymesur. Mae integryn y ffwythiant hwn rhwng dau bwynt yn rhoi'r tebygolrwydd bod y newidyn ar hap rhwng y ddau werth hynny.
## Dosraniad Normal Safonol
Y dosraniad normal safonol yw dosraniad normal gyda chymedr \( \mu = 0 \) a gwyriad safonol \( \sigma = 1 \). Y ffwythiant dwysedd tebygolrwydd ar gyfer y dosraniad normal safonol yw:
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ -\frac{z^2}{2} } \]
Yma:
– Mae \(z \) yn newidyn ar hap sy'n dilyn dosraniad normal safonol.
Defnyddir y dosraniad arferol safonol yn aml oherwydd ei fod yn caniatáu inni safoni dosraniadau arferol eraill trwy broses o'r enw "safoni." Mae safoni yn cynnwys trawsnewid gwerthoedd \(x \) y dosraniad arferol \(N(\mu, \sigma) \) i werthoedd \(z \) y dosraniad arferol safonol \(N(0, 1) \), gan ddefnyddio'r fformiwla ganlynol:
\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]
Mae'r broses hon yn ei gwneud hi'n haws cymharu gwerthoedd o wahanol ddosraniadau normal trwy eu mapio i un raddfa.
## Cymhwysiad a Pherthnasedd
### 1. Theorem Terfyn Canolog
Mae'r dosraniad arferol yn arbennig o berthnasol yng nghyd-destun y Theorem Terfyn Canolog (CLT). Mae'r CLT yn nodi y bydd nifer ddigon mawr o newidynnau ar hap annibynnol wedi'u dosbarthu'n fras yn normal, waeth beth fo siâp y dosraniad gwreiddiol. Mae hyn yn golygu y gellir defnyddio'r dosraniad arferol i frasamcanu dosraniad cymedr y sampl, cyn belled â bod y sampl yn ddigon mawr.
### 2. Casgliad Ystadegol
Mae'r dosraniad arferol yn caniatáu ar gyfer cymhwyso profion damcaniaeth, fel y prawf-z a'r prawf-t. Mae'r ddau ddull yn defnyddio'r dosraniad arferol safonol i bennu arwyddocâd ystadegol y canlyniadau a arsylwyd. Defnyddir y prawf-z fel arfer pan fo maint y sampl yn fawr neu pan fo gwyriad safonol y boblogaeth yn hysbys, tra bod y prawf-t yn cael ei gymhwyso pan fo maint y sampl yn fach neu pan fo gwyriad safonol y boblogaeth yn anhysbys.
### 3. Dadansoddiad Atchweliad
Mewn dadansoddiad atchweliad llinol, mae'r dybiaeth bod y data gwall wedi'u dosbarthu'n normal yn hanfodol. Mae'r dybiaeth hon yn caniatáu cyfrifo cyfyngau hyder a phrofi arwyddocâd paramedrau'r model atchweliad. Yn yr un modd, mae canfod gwallau data neu allanolion yn aml yn cael ei wneud trwy archwilio'r dosbarthiad gweddilliol am wyriadau sylweddol o normalrwydd.
### 4. Meddygaeth a Bioleg
Mewn meddygaeth, defnyddir y dosraniad arferol i ddisgrifio dosbarthiad amrywiol ffenomenau biolegol. Er enghraifft, mae taldra, pwysedd gwaed, a rhai canlyniadau profion labordy yn aml yn dilyn dosraniad arferol. Mae hyn yn hwyluso pennu gwerthoedd torbwynt ar gyfer diagnosisau meddygol.
### 5. Cyllid ac Economeg
Ym maes cyllid, defnyddir y dosraniad arferol i fodelu llawer o ffenomenau, megis enillion stociau, cyfraddau llog, a mwy. Er, yn ymarferol, mae stociau'n aml yn arddangos sgiwedd a chwrtosis uwch, mae'r dybiaeth o ddosraniad arferol yn dal i ddarparu sail ddadansoddol gadarn.
## Gweithredu a Chyfrifo
### Defnyddio Python
Mae Python, gyda llyfrgelloedd fel NumPy a SciPy, yn darparu sawl dull ar gyfer gweithio gyda'r dosraniad arferol. Dyma enghraifft o sut y gallwn gyffredinoli a phlotio'r dosraniad arferol gan ddefnyddio'r llyfrgelloedd hyn:
"`python
mewnforio numpy fel np
mewnforio matplotlib.pyplot fel plt
o norm mewnforio scipy.stats
# Paramedrau dosraniad arferol
mu = 0 # cymedr
sigma = 1 # gwyriad safonol
# Data ar gyfer dosraniad arferol
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)
# Plot dosraniad arferol
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Dwysedd')
plt.title('Dosbarthiad Normal N(0, 1)')
plt.show()
“`
Yn yr enghraifft uchod, fe wnaethom gynhyrchu data dosraniad arferol gyda chymedr 0 a gwyriad safonol 1, ac yna plotio ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd.
## Casgliad
Mae'r dosraniad arferol yn chwarae rhan hanfodol mewn ystadegaeth a thebygolrwydd. Mae ei ddefnydd cyffredinol, o'r Theorem Terfyn Canolog i amrywiol gymwysiadau ymarferol fel dadansoddi atchweliad a phrofi damcaniaethau, yn ei wneud yn un o'r dosraniadau tebygolrwydd mwyaf poblogaidd a phwysig. Mae deall y fformiwla dosraniad arferol a sut i'w defnyddio'n effeithiol yn sgil hanfodol i unrhyw un sy'n gweithio mewn gwyddor data, ymchwil, economeg, a llawer o feysydd eraill.
Gyda'r wybodaeth hon, gallwn ymdrin â gwahanol fathau o broblemau dadansoddol a'u datrys yn fwy effeithiol, gan ein galluogi i wneud penderfyniadau gwell yn seiliedig ar y data a'r tebygolrwyddau sydd ar gael.
