Dadansoddiad Atchweliad Llinol Syml
Mae atchweliad llinol syml yn dechneg ystadegol a ddefnyddir i ddadansoddi'r berthynas rhwng dau newidyn meintiol. Gelwir y newidyn yr ydym yn ceisio'i ragweld yn newidyn dibynnol neu'n newidyn ymatebol, tra bod y newidyn a ddefnyddir i wneud y rhagfynegiad yn newidyn annibynnol neu'n newidyn rhagfynegol. Mewn atchweliad llinol syml, rydym yn ceisio dod o hyd i'r llinell syth orau sy'n disgrifio'r berthynas rhwng y ddau newidyn hyn.
Cysyniadau Sylfaenol Atchweliad Llinol Syml
Mae atchweliad llinol syml yn seiliedig ar y dybiaeth bod perthynas llinol rhwng y newidyn dibynnol \(Y\) a'r newidyn annibynnol \(X\). Ffurf gyffredinol model atchweliad llinol syml yw:
[Y = β₀ + β₁ X + epsilon]
Ble:
– \(Y \) yw'r newidyn dibynnol.
– \( X \) yw'r newidyn annibynnol.
– \( \beta_0 \) yw'r rhyngdoriad, sef gwerth \(Y\) pan \(X = 0\).
– \( \beta_1 \) yw'r llethr neu'r graddiant, sef y newid cyfartalog yn \(Y\) ar gyfer pob newid uned yn \(X\).
– \( \epsilon \) yw'r term gwall neu weddilliol sy'n cynrychioli'r amrywioldeb yn \(Y\) na ellir ei egluro gan \(X\).
Nod atchweliad llinol syml yw amcangyfrif y paramedrau β0 a β1 fel y gellir defnyddio'r model i ragweld gwerth βY sy'n gysylltiedig â gwerth βX.
Dull y Sgwariau Lleiaf
Un o'r dulliau a ddefnyddir amlaf ar gyfer ffitio model atchweliad llinol syml yw'r dull Sgwariau Lleiaf. Nod y dull hwn yw lleihau swm sgwariau'r gwyriadau fertigol rhwng yr arsylwadau gwirioneddol a'r gwerthoedd a ragfynegwyd gan y model. Tybiwch fod gennym n arsylwad sy'n cynnwys parau \((x_i, y_i)\) ar gyfer \(i = 1, 2, …, n\). Y ffwythiant i'w leihau yw:
[ S(β0, β1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (β0 + β1 x_i))^2 \]
I ddod o hyd i \(\beta_0\) a \(\beta_1\) sy'n lleihau'r ffwythiant hwn, rydym yn cymryd deilliadau rhannol \(S(\beta_0, \beta_1)\) mewn perthynas â phob paramedr ac yn gosod y deilliadau hyn i sero. Gellir symleiddio'r cyfrifiad mathemategol fel a ganlyn:
[\beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]
\[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \]
Ble:
– \(\bar{x}\) yw cyfartaledd \(X\)
– \(\bar{y}\) yw cyfartaledd \(Y\)
Ar ôl cael y paramedrau β0 a β1, gellir defnyddio model atchweliad llinol syml i ragweld gwerth βY ar gyfer pob gwerth βX.
Rhagdybiaethau mewn Atchweliad Llinol Syml
I gael canlyniadau dilys a dibynadwy, mae atchweliad llinol syml yn tybio sawl peth:
1. Llinoldeb: Rhaid i'r berthynas rhwng y newidyn dibynnol a'r newidyn annibynnol fod yn llinol.
2. Annibyniaeth: Rhaid i arsylwadau fod yn annibynnol ar ei gilydd.
3. Homoscedastigrwydd: Rhaid i'r amrywioldeb gweddilliol fod yn gyson drwy gydol ystod gwerthoedd y newidyn annibynnol.
4. Normalrwydd Gweddilliol: Rhaid i weddillion (gwallau) ddilyn dosraniad normal.
Os na chyflawnir y rhagdybiaethau hyn, bydd canlyniadau model atchweliad llinol syml yn annibynadwy ac efallai na fyddant yn gallu gwneud rhagfynegiadau cywir.
Asesiad Model Atchweliad
Un ffordd o asesu pa mor dda y mae model atchweliad llinol syml wedi rhagweld yw defnyddio'r Cyfernod Penderfyniad (\(R^2\)). Mae'r cyfernod penderfyniad yn dangos cyfran yr amrywioldeb yn y newidyn dibynnol y gellir ei egluro gan yr amrywioldeb yn y newidynnau annibynnol.
\[ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} \]
Ble:
– \(\hat{y}_i\) yw'r gwerth rhagfynegedig o \(Y\).
– \(y_i\) yw gwir werth \(Y\).
– \(\bar{y}\) yw cyfartaledd gwerthoedd \(Y\).
Mae'r gwerth \(R^2\) yn amrywio o 0 i 1. Mae gwerth \(R^2\) sy'n agos at 1 yn dangos y gall y model esbonio'r rhan fwyaf o'r amrywioldeb yn y newidyn dibynnol.
Gweithredu mewn Iaith Rhaglennu
I weithredu atchweliad llinol syml, gallwn ddefnyddio amrywiol feddalwedd ystadegol neu ieithoedd rhaglennu. Isod mae enghraifft o weithrediad yn Python gan ddefnyddio'r llyfrgell `scikit-learn`:
"`python
mewnforio numpy fel np
mewnforio matplotlib.pyplot fel plt
o sklearn.linear_model mewnforio AtchweliadLlinol
o sklearn.metrics mewnforio gwall_sgwâr_cymedr, sgôr_r2
Dyddiad
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)
model
model = AtchweliadLlinol()
model.fit(X, y)
Rhagfynegiad
rhagfynegiad_y = model.rhagfynegiad(X)
Cyfernod
beta_0 = model.intercept_
beta_1 = model.coef_[0]
argraffu(f'Rhyng-gipio: {beta_0}')
argraffu(f'Lleddf: {beta_1}')
print(f'Gwall sgwâr cymedrig: {gwall_sgwâr_cymedrig(y, rhagolwg_y)}')
argraffu(f'Cyfernod pennu (R^2): {r2_score(y, y_pred)}')
Plot data a llinell atchweliad
plt.scatter(X, y, lliw='glas')
plt.plot(X, y_pred, lliw='coch')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
“`
Yn yr enghraifft uchod, rydym yn mewnforio'r llyfrgelloedd angenrheidiol yn gyntaf, yn diffinio'r data \(X\) a \(Y\), ac yna'n defnyddio'r gwrthrych `LinearRegression` o `scikit-learn` i ffitio model i'r data. Unwaith y bydd y model wedi'i ffitio, rydym yn gwneud rhagfynegiadau ac yn cyfrifo'r cyfernodau, yn ogystal â'r gwall sgwâr cymedrig a'r cyfernod penderfyniad. Yn olaf, rydym yn plotio'r data a'r llinell atchweliad.
Casgliad
Mae atchweliad llinol syml yn offeryn dadansoddi ystadegol pwerus a ddefnyddir i esbonio'r berthynas rhwng dau newidyn meintiol. Gyda rhai rhagdybiaethau sylfaenol am linolrwydd, annibyniaeth, homoscedastigrwydd, a normalrwydd, gallwn ragweld gwerth y newidyn dibynnol yn seiliedig ar werthoedd y newidynnau annibynnol. Mae'r dull Sgwariau Lleiaf yn darparu ffordd effeithiol o ffitio llinell atchweliad a phennu paramedrau gorau posibl. Mae gwerthuso model trwy'r cyfernod penderfyniad (R2) yn rhoi cipolwg ar ba mor dda y mae ein model yn perfformio.
Er bod cyfyngiadau i atchweliad llinol syml, fel dim ond gallu trin dau newidyn a'r rhagdybiaethau y mae'n rhaid eu bodloni, mae'r dechneg hon yn parhau i fod yn sylfaen bwysig mewn ystadegau a dadansoddi data, ac fe'i defnyddir yn aml fel cam cyntaf wrth ddeall y berthynas rhwng newidynnau cyn symud ymlaen i ddulliau mwy cymhleth.
