功和動能－問題與解決方案

功-動能：

1.一輛質量為 5000 kg 的汽車從靜止加速到 20 m/s。求作用在汽車上的淨功。

已知：

質量(m) = 5000 kg

初始速度（v₀ _）= 0 公尺/秒（汽車靜止）

最終速度(v_{_t} ) = 20 公尺/秒

招募：網絡

解決方案：

功-動能原理：

W _net = Δ EK

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² )

W _net =淨功

ΔEK =動能變化量

m = 質量（公斤），

v _t =末速度（米/秒），

v _o =初始速度（米/秒）。

網路：

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² )

W_淨值= ½ (5000)(20 ² – 0 ² )

W_淨值= (2500)(400 – 0)

W_淨值= (2500)(400)

淨_功率= 1000,000焦耳

[內部審查程序]

2.一個質量為 10 kg 的物體從 5 m/s 加速到 10 m/s。求作用在該物體上的合力所做的功！

已知：

質量(m) = 10 kg

初始速度（v₀ _）= 5 公尺/秒

最終速度(v_{_t} ) = 10 公尺/秒

招募：網絡

解決方案：

網路：

W _net = Δ EK

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² )

W_淨值= ½ (10)(10 ² – 5 ² )

W_淨值= (5)(100 – 25)

W_淨值= (5)(75)

淨_功率= 375焦耳

3.一輛2000公斤的汽車從10公尺/秒減速到5公尺/秒。這輛汽車做了多少功？

已知：

汽車質量 (m) = 2000 kg

初始速度（v₀ _）= 10 公尺/秒

最終速度(v_{_t} ) = 5 公尺/秒

招募：網絡

解決方案：

網路：

W _net = Δ EK

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² )

W_淨值= ½ (2000)(5 ² – 10 ² )

W_淨值= (1000)(25 – 100)

W_淨值= (1000)(-75)

淨_功率= -75,000焦耳

負號表示位移方向與合力方向相反。

4. 一個 60 牛頓的恆力作用於一個 10 公斤的物體上，持續 12 秒。物體的初始速度為 6 公尺/秒，物體的運動方向與力的方向相同。

（1）對該物體所做的功為 30,240 焦耳

（2）最終動能為30,240焦耳

（3）功率為2,520瓦

（4）物體動能的增加量為180焦耳。

正確的說法是…

已知：

力 (F) = 60 N

時間間隔 (t) = 12 秒

物體質量 (m) = 10 kg

初始速度（v₀ _） = 6 公尺/秒

徵件：正確的陳述

解決方案：

物體的加速度：

∑F = ma

60 = 10 a

a = 60 / 10 = 6 公尺/秒^²

最終速度：

v _t = v _o + at

v _t = 6 + (6)(12)

v _t = 6 + 72

vt ₌ 78 公尺/秒

12 秒內行駛的距離：

s = v _o t + 1/2 at ²

s = (6)(12) + 1/2 (6)(12) ²

s = 72 + (3)(144)

s = 72 + 432

s = 504 米

（1）力所做的功

W = F s = (60)(504) = 30,240 焦耳

（2）最終動能

KE = 1/2 mv _t ² = 1/2 (10)(78) ² = (5)(6084) = 30,420 焦耳

（3）電源

P = W / t = 30,240 / 12 = 2,520 焦耳/秒

（4）動能的增加

ΔKE = 1/2 mv _t ² – 1/2 mv _o ² = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (10)(78 ² – 6 ² ) = 5 (6084 –36) = 5 (6048)

ΔKE = 30,240 焦耳

[內部審查程序]

5. 大部分的工作是依照物件編號進行…

解決方案：

淨功 = 動能變化

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² )

更宏大的作品：

W ₁ = ½ (8)(4 ² – 2 ² ) = (4)(16 – 4) = (4)(12) = 48 焦耳

W ₂ = ½ (8)(5 ² –3 ² ) = (4)(25 – 9) = (4)(16) = 64 焦耳

W ₃ = ½ (10)(6 ² – 5 ² ) = (5)(36 – 25) = (5)(11) = 55 焦耳

W ₄ = ½ (10)(4 ² – 0 ² ) = (5)(16 – 0) = (5)(16) = 80 焦耳

W ₅ = ½ (20)(3 ² – 3 ² ) = (10)(9 – 9) = (10)(0) = 0 焦耳

6. 一輛質量為 4000 kg 的汽車沿直線以 25 m/s 的速率行駛。汽車減速，最終速度為 15 m/s。求作用在汽車上的功。

已知：

質量 (m) = 4000 kg

初始速度（v₀ _） = 25 公尺/秒

末速 (v_{_t} ) = 15 公尺/秒

招募：汽車維修服務

解決方案：

W_{_net} = ½ m (v _{_t} ^² – v_o^² ) = ½( 4000)(15 ^² - 25<sup>2 </0>) = (2000) =(2500) =(2500) = -800,000 焦耳 = -800 千焦

[內部審查程序]

7. 質量為 0.1 公斤的物體從 5 公尺高處以 6 公尺/秒的速率水平拋出。如果重力加速度為 10 公尺/秒^²，那麼該物體在 2 公尺高度的動能為何？

已知：

質量 (m) = 0.1 kg

高度變化量 (h) = 5 米 – 2 米 = 3 米

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求： 2公尺高度處的動能。

解決方案：

可以透過分別分析運動的水平分量和垂直分量來理解拋體運動。水平方向的運動可以分析為勻速運動，垂直方向的運動可以分析為自由落體運動或垂直運動。

初始機械能=重力位能。

PE = mgh = (0.1)(10)(3) = 3 焦耳。

最終機械能= 動能。

動能 = 3 焦耳。

8. 質量為 1000 公斤的汽車從靜止加速，速度為 5 公尺/秒。這輛汽車做了多少功？

已知：

質量 (m) = 1000 kg

初始速度（v₀ _） = 0

末速（v_{_t}）= 5 公尺/秒

招募：汽車作業（W）

解決方案：

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² )

汽車完成的工作：

W_淨功率= ½ (1000)(5 ² – 0 ² ) = (500)(25 – 0) = (500)(25) = 12,500 焦耳

[內部審查程序]

9. 質量為 500 公克的球從地球表面以 10 m/s² 的初速垂直向上拋出^。重力加速度為 10 m / ^s²。當球到達最高點時，重力做了多少功？

已知：

小球質量 (m) = 500 克 = 0.5 公斤

初始速度（v₀ _） = 10 公尺/秒^²

末速（v _t）= 0（最高點的速度）

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

招聘：按體重計酬的工人

解決方案：

合力對物體所做的淨功 = 動能的變化。

W _net = ΔEK = EK _t – EK _o

Wnet = ½ mv _t ² – ½ mv _o ² = ½ m (v _t ² – v _o ² )

KE _t = 末動能，KE _o = 初動能，m = 物體的質量，v _t = 物體的末速度，v _o = 物體的初速。

網路：

W_淨= ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (0.5)(0 ² – 10 ² )

W_淨值= (0.25)(-100) = -25 焦耳

負號表示位移方向與球的重力方向相反。球的運動方向向上，重力的方向向下。

10. 質量為 1 公斤的物體自由下落，高度差為 2.5 公尺。重力加速度為 10 公尺/秒^²。物體受到的功是多少？

已知：

小球質量 (m) = 1 kg

初始速度（v₀ _） = 0 公尺/秒

高度 (h) = 2.5 米

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

招募：流離失所期間的網路工作人員

解決方案：

小球的最終速度（v _t）

利用自由落體運動方程式計算。已知：重力加速度 (g) = 10 m/s² ^，小球高度變化 (h) = 2.5 公尺。求：末速度。

v _t ² = 2 gh = 2(10)(2.5) = 2(25)

v _t = √2(25)

v _t = 5√2

淨功 = 動能的變化

W_淨= ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (1){(5√2) ² – 0 ² }

W_{_net} = ½ (25)(2) = 25 焦耳

[內部審查程序]

11. 質量為2公斤的物體以72公里/小時的速率移動。運動400公尺後，物體的最終速度為144公里/小時。重力加速度為10公尺/秒^²。求物體所做的淨功。

已知：

物體質量 (m) = 2 kg

初始速度 (v₀ ₎ = 72 公里/小時 = 20 公尺/秒

末速 (v_{_t} ) = 144 km/h = 40 m/s

距離（秒）= 400 米

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

通緝：網路

解決方案：

淨功 = 動能的變化

W_淨= ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(40 ² – 20 ² }

淨_功率= ½ (2)(1600 – 400) = 1200 焦耳

12. 質量為 2 kg 的物體以 2 ms⁻¹ 的速率運動^。物體所受的功為 21 焦耳。求物體的末速度。

已知：

質量 (m) = 2 kg

初始速度（v₀ _） = 2 公尺/秒

功 (W) = 21 焦耳

求：末速度（v _t）

解決方案：

W _net = ΔEK

W _net = 1/2 mv _t ² -1/2 mv _o ²

W_淨= 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

21 = 1/2 (2) (v _t ² – 2 ² )

21 = (v _t ² – 2 ² )

21 = v _t ² – 4

v _t ² = 21 + 4 = 25

v _t = √25

vt ₌ 5 公尺/秒

[內部審查程序]

1.3 .一個質量為 16 kg 的物體受到一個 8 N 的恆力作用。如果物體最初處於靜止狀態，那麼求力作用該物體 4 秒後物體的速度。

已知：

恆力 (F) = 8 牛頓

物體質量 (m) = 16 kg

物體的初始速度（v₀ _）= 0 公尺/秒

力作用於物體的時間間隔 (t) = 4 秒

求：最終速度（v _t）

解決方案：

功 = 動能的變化

W = 末動能 – 初動能

W = ½ mv _t ² – ½ mv _o ²

W = ½ mv _t ² – 0

W = ½ mv _t ² —— 公式 1

功 = 力 × 位移

W = F d

W = 8 天

利用以下非等速直線運動方程式計算位移（d）：

d = v _o t + ½ at ²

d = 位移，vo ₌初速度，t = 時間間隔，a = 加速度

d = 0 + ½ at ² = ½ at ² —-> a = (v _t – v _o ) / t = v _t / t

d = ½ (v _t / t) t ²

^d = ½ (v _t ) t

將位移 (d) 代入功的方程式中，得到：

W = 8 天

W = 8(1/2)(v _t )(t)

W = (4)(v _t )(t) —— 方程式 2

公式 1 = 公式 2

W = W

½ mv _t ² = (4)(v _t )(t)

½ mv _t = (4)(t)

½ (16)(v _t ) = 4(4)

8 v _t = 16

v _t = 16 / 8

vt ₌ 2 公尺/秒

14.要使物體的速度增加到初始速度的2倍，求此過程中所需的功…

已知：

物體質量 (m) = 1 kg

初始速度（v₀ _）= 1 公尺/秒

末速 (v_{_t} ) = 2 × 初速 = 2 × 1 = 2 公尺/秒

招募：工作

解決方案：

初始動能：

KE 初始 = 1/2 mv _o ² = 1/2 (1)(1) ² = 1/2 (1)(1) = 1/2 (1) = 0.5

當物體的速度達到初始速度的2倍時，其最終動能為：

TO final = ½ mv _t ² = ½ (1)(2) ² = ½ (4) = 2

功與動能定理：

功 = 動能的變化

功 = 末動能 - 初動能

工作量 = 2 – 0.5

工作量 = 1.5

初始動能 = 0.5

工作量 = 3 × 0.5 = 1.5

所需功是其初始動能的3倍。

15.一輛質量為 1500 kg 的汽車在一條筆直光滑的水平道路上以 36 km/h 的速度行駛。汽車加速到 72 km/h。求汽車加速所需的功。

已知：

汽車質量 (m) = 1500 kg

汽車初始速度 (v₀ ₎ = 36 公里/小時 = 36,000 公尺 / 3600 秒 = 10 公尺/秒

汽車最終速度 (v_t ₎ = 72 公里/小時 = 72,000 公尺 / 3600 秒 = 20 公尺/秒

招募：需要進行加速汽車的工作

解決方案：

功與動能定理：

W = EK 最終 – EK 初始

W = ½ mv _t ² – ½ mv _o ² = ½ m (v _t ² –v _o ² )

W = ½ (1500)(20 ² – 10 ² )

W = ½ (1500)(400 – 100)

W = ½ (1500)(300)

W = (1500)(150)

瓦特 = 225,000 焦耳

16.一個質量為 2 kg 的物體最初以 72 km· ^h⁻¹的速度運動。在水平直線道路上運動 400 m 後，物體的速率變成 144 km· ^h⁻¹。求作用於該物體的總功。

已知：

物體質量 (m) = 2 kg

初始速度 (v₀ ₎ = 72 公里/小時 = 72,000 公尺 / 3600 秒 = 20 公尺/秒

最終速度 (v_t ₎ = 144 公里/小時 = 144,000 公尺 / 3600 秒 = 40 公尺/秒

物體位移 = 400 米

需要：物體上的網絡

解決方案：

動能定理指出，作用於物體上的淨功等於物體動能的變化量。

淨值 = 至最終值 – 至初始值

Wnet = ½ mv t 2 – ½ mv o 2

W 淨 = ½ m (v _t ² – v _o ² )

W 淨值 = ½ (2)(40 ² – 20 ² )

淨功率 = 1600 – 400

淨功率 = 1200 焦耳

說明：

W = 功，KE = 動能

動能

17. 一顆質量為10克的子彈以100公尺/秒的恆定速度移動。這顆子彈的動能是多少？

已知：

子彈質量（m）= 10克 = 10/1000公斤 = 1/100公斤 = 0.01公斤

子彈的速度 (v) = 100 公尺/秒

需求：動能

解決方案：

動能 = 1/2 ^mv²

動能 = 1/2 (0,01 kg)(100 m/s) ²

KE = 1/2 (0,01 kg)(10.000 m ² /s ² )

KE = (0,01 kg)(5000 m ² /s ² )

動能 = 50 kg m ² /s ²

動能 = 50 焦耳

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