力所做的功
1.1 工作定義
如果你用力推動桌面上的一本書，直到書頁發生位移，就說你對書做了功。如果一個物體因為重力作用而落到地面，就說重力對物體做了功。相反，如果你使出渾身解數推動一個物體，甚至汗流浹背，但物體紋絲不動，就說你沒有對物體做功。在日常生活中，人們可能會說你透過推動物體做了努力，但在物理學中，你並沒有對物體做功，因為物體沒有發生位移。
對物體做功的力可以是恆力（大小和方向恆定）或變力（大小和方向變化）。恆力的例子是引力，當物體靠近地面時，引力作用於物體。當物體在地面附近自由落體時，由於作用於物體的引力大小和方向恆定，物體的自由落體加速度的大小和方向也恆定。變力（但方向恆定）的例子是彈簧力。另一個例子是火箭發射到太空或返回地球表面。當火箭發射時，作用於火箭的引力大小與其到地心的距離的平方成反比。
1.1.1恆力所做的功
從數學角度來說，恆力對物體所做的功定義為位移乘以力或力的分力（分力的方向與物體位移方向相同）。觀察一個位於粗糙平面上的物體，該物體在推力 (F) 的作用下向右發生位移。
圖 1.（上）物體的位移方向與力 F 的方向相同。 （下）物體的位移方向與力 F 在水平方向上的分量（F cos）相同。
推力（F）所做的功為：
W = (F)(s)(cos θ) = F s (cos 0) = F s (1)
W = F s
力 F 在水平方向的分力 (F cos θ) 所做的功為：
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)
W = F s cos θ
動摩擦力（f k ）所做的功為：
W = (f k )(s)(cos 180) = (f k )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
正壓力（N）所做的功為：
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
重力所做的功（w）為：
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
說明：W = 功，s = 位移量，θ = 力與位移之間的角度。
圖2。
（a）物體處於自由落體狀態。重力方向與位移方向相同。 （b）物體垂直向上運動。重力方向與位移方向相反。
在前一種情況下，由於物體重力的方向與物體位移的方向垂直，因此重力所做的功 (w) 為零。需要注意的是，如果重力的方向與物體位移的方向相同或相反，則重力所做的功不為零。
如圖a所示，自由落體物體受到重力（w）作用所做的功為：
W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
如圖 b 所示，物體在重力作用下（w）向上做功，物體沿著垂直方向向上移動。
W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
說明：w = 重量（牛頓），h = 高度（公尺），m = 質量（公斤），g = 重力加速度（公尺每平方秒）。
根據前面的解釋，可以得到以下結論：第一，如果物體沒有發生位移，則作用在物體上的力不做功。若位移 s = 0，則功 W = 0；第二，若力與物體的位移方向成一定角度，則只有與物體位移方向相同的力分量對物體做功；第三，垂直於物體位移方向的力與位移方向成 90 °角。 cos 90° = 0；第四，功的符號可以是正也可以是負。若力與物體的位移方向相同且成 0 °角，則力對物體做正功。相反，如果力與物體的位移方向相反且成 180 °角，則力對物體做負功。
圖 3. 力 (F) – 位移 (s) 圖。陰影部分所代表的面積等於所做的功。
當物體發生位移時，恆力對物體所做的功等於力（F）-位置（s）圖中陰影部分的面積。
功用大寫字母 W 表示，重量用小寫字母 w 表示。功的國際單位制單位是牛頓·米 (N·m)。它與焦耳（J）等效。
它以此命名，是為了紀念19世紀英國醫生詹姆斯·普雷斯科特·焦耳。
例題1：恆力所做的功
一個物體靜止在光滑的地面上。對該物體施加一個 10 N 的力，該力與地面成 30° 角。如果物體移動了 1 米，那麼該力對物體做了多少功？
解決方案：
已知：F = 10 N，s = 1 米
招募：工作（W）
W = (F)(s)(cos 30 ° ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N·m
例題2：恆力做功
質量為 0.2 kg 的椰子從離地 10 公尺的高度自由落體。如果重力加速度為 10 m/s² ，那麼椰子的重力對其做了多少功？
解決方案：
已知：m = 0.2 kg，h = 10 m，g = 10 m/ s²
招聘：按體重（w）計件的工人（W）
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 20 kg m 2 /s 2 = 20 N m = 20 焦耳
1.1.2 變力做功
彈簧力就是一個變力的例子。彈簧力的大小不斷變化。因此，彈簧力對物體所做的功不能用恆力做功公式（W = F s cos θ）來計算。如果拉伸彈簧，拉伸的程度越大，所需的拉力就越大。如果壓縮彈簧，壓縮的程度越大，所需的推力就越大。當彈簧被壓縮或拉伸時，彈簧力從 0 (x = 0) 變化到最大值 (F = kx)。因此，彈簧力的大小需要用平均值來計算。彈簧力的平均值為：
彈簧力對物體所做的功為：
W = 功，x = Δx = 彈簧位移（公尺），F = 彈簧力（牛頓）。
例題 3：變力做功
一根彈簧上懸掛著一個質量為 1 kg 的重物，彈簧伸長了 2 cm。若重力加速度為 10 m/s² ，求：(a) 彈簧的勁度係數；(b) 彈簧力對重物所做的功。
解決方案：
已知：m = 1 kg，g = 10 m/s² ， x = Δx = 2 cm = 0.02 m。
（a）彈簧常數
（b）彈簧力對重物做了功
W = -1/2 kx 2 = -1/2 (500)(0.02) 2 = – (250)(0.0004) = -0.1 焦耳
彈簧力對重物所做的功為負值，因為彈簧力的方向與重物位移的方向相反（彈簧力向上，重物向下）。
1.2 合力做功或合力做功
若物體發生位移時只有一個力作用於該物體，則合力所做的功等於該力所做的功。例如，如果物體處於自由落體狀態且忽略空氣阻力，則作用於該物體的唯一力是重力。在這種情況下，作用於該物體的合力就是重力（見圖2）。
W淨= W重力
若物體發生位移時受到某些力的作用，則合力所做的功等於作用於物體上的所有力所做的合功（見圖 1）。
W淨值= W 1 + W 2 + W 3 + W 4
也可以先求出合力，再乘以位移量來計算合力對物體所做的功。
W = ΣF s
例題 4：網絡
一個靜止在地面上的箱子受到 20 N 的力推動，移動了 1 公尺。如果推力方向與箱子的位移方向相同，且箱子受到 2 N 的動摩擦力，求作用在箱子上的合力所做的淨功。
解決方案：
已知：F = 20 N，f <sub>k</sub> = 2 N，s = 1 m
W1 = Fs = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 焦耳
W 2 = f k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 焦耳
淨功或合力所做的功
W淨值= W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
例題 4）推力 (F) 做正功，動摩擦 (f k ) 做負功
