功-機械能原理—問題與解決方案

1. 質量為 2 kg 的箱子從 10 m/s 的速率減速至靜止。動摩擦係數為 0.2，重力加速度為 10 m/s² ^。求位移的大小。

已知；

質量(m) = 2 kg

初始速度（v₀ _）= 10 公尺/秒

末速（v_{_t} ）= 0 公尺/秒

動摩擦係數（_μk ）= 0.2

重量(w) = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 kg m/s² ⁼ 10 N

求：位移的大小（d）

解決方案：

功-機械能原理：

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

W _nc =非保守力作用於物體所做的功

ΔEK =動能變化量

ΔEP =位能變化

m = 質量

v = 速度

g = 重力加速度

h = 高度變化量

高度變化量 h = 0，因此 ΔEP = 0

W _nc = ΔEK

非保守力所做的功：

W _nc = -F _c d = – μ _k N d = – μ _k wd = – μ _k mgd

W _nc = -(0.2)(2)(10)(s)

W _nc = – (4)(2)

負號表示動摩擦力的方向與位移方向相反。

動能的變化：

ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

位移的大小：

W _nc = ΔEK

– 4 秒 = – 100

s = -100/-4

s = 25 m

[內部審查程序]

2. 一個物塊沿斜面下滑。動摩擦係數為0.4。重力加速度為g = 10 m/ ^s²。求物塊落地時的末速。

已知：

初始高度（h _{_o} ）= 6 米

最終高度（h_{_t} ）= 0 米

初始速度（v₀ _）= 0

動摩擦係數（_μk ）= 0.4

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

cos θ = 8/10

重力的垂直分量 = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

法向力 = N = w _y = 8 m

動摩擦力 = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

求：末速度（v _t ）

解決方案：

功-機械能原理：

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

動能的變化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 m (v_t² - 0) = 1/2 mv_t²

位能的變化：

ΔEP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

動摩擦力所做的功：

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m

負號表示動摩擦力的方向與位移方向相反。

最終速度（v _t ）：

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 公尺= 公尺 (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

[內部審查程序]

3. 一個物塊沿粗糙斜面下滑。初始速度為 0 m/s，末速度為10 ms⁻¹ ^。若動摩擦力為 2 N，重力加速度 g = 10 ms⁻² ^，求物塊的高度 (h) 。

已知：

質量 (m) = 1 kg

初速（v₀ _）= 0 （物體靜止）

末速度（v _t ）= 10 ms ^-1

初始高度（h₀ _）= h

最終高度（h_{_t} ）= 0

動摩擦力 (f _k ) = 2 N

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

要求：身高（h）

解決方案：

動摩擦力所做的功：

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

負號表示動摩擦力的方向與位移方向相反。

動能的變化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100）= 50

位能的變化：

ΔEP = mg(ht _– ho ₎ = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

功-機械能原理：

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 小時

10 小時 = 50 + 30

10 h = 80

h = 80/10

高 = 8 米

4如果一個物體沿著大致傾斜的斜面下滑，那麼…
A. 重力對木塊所做的功大於木塊位能的變化。
B. 機械能增加
C. 動能和位能均減少。
D. 摩擦力所做的功等於滑塊動能的變化量。
解決方案

A 錯誤

重力對物體所做的功等於物體重力位能的變化。

B 錯誤

如果斜面光滑，則滑塊的機械能保持不變。當滑塊位於斜面頂端且尚未移動時，其機械能等於重力位能。滑塊仍處於靜止狀態，因此其動能為零。當滑塊沿著斜面下滑時，其高度降低，重力位能也隨之降低。重力位能降低是因為它轉化為了動能。儘管重力位能轉換為動能，但機械能保持不變。

如果斜面粗糙，則由於摩擦力做負功，物體的機械能會減少。摩擦力是一種非保守力。非保守力對物體做功會導致物體的機械能減少。

C 正確

斜面表面粗糙，因此存在摩擦力，阻礙滑塊的運動。摩擦力是一種非保守力。根據功-機械能定理，非保守力（例如摩擦力）所做的功等於機械能的變化。在這個過程中，機械能是減少的。

物體的機械能 = 重力位能 + 動能。

D選項錯誤。

摩擦力對木塊所做的功等於木塊機械能的變化，而不是木塊動能的變化。摩擦力確實會阻礙木塊的運動，降低木塊的速度，進而減少木塊的動能。但要注意的是，木塊的動能來自重力位能。因此，摩擦力所做的功等於機械能的變化（機械能減少）這一說法是正確的。

正確答案是C。

5.一個物體在粗糙的地面上受到撞擊，移動了3秒鐘後停止。已知物體的質量為10克，物體與地面之間的摩擦力為2千達因。求摩擦力所做的功。

A. 0.18 焦耳

B. -0.18 J

C. 0.36 焦耳

D. -0.36 J

已知：

時間間隔 (t) = 3 秒

末速（v _t ）= 0 公尺/秒（物體靜止）

物體質量 (m) = 10 克 = 10/1000 公斤 = 1/100 公斤 = 0.01 公斤

摩擦力 (F) = 2 千達因 = 2 x 10 ³達因

求：摩擦力所做的功 (W)

解決方案：

力的單位換算：

1 牛頓 = 1 × 10⁵^達因

1 達因 = 1 / 10⁵^牛頓= 1 × 10⁻⁵^牛頓= ^10⁻⁵牛頓

摩擦力 (F) = 2 × 10³^達因 = 2 × 10³ ^× 10⁻⁵^牛頓= 2 × 10⁻²^牛頓= 2/100 牛頓 = 0.02 牛頓

功-機械能定理指出，非保守力對物體所做的功等於物體機械能的變化。

如果物體在斜面上移動，則機械能 (ME) = 重力位能 (PE) + 動能 (KE)。但若物體在水平面上移動，高度不變，則機械能 = 動能。在水平面上，由於高度不變，重力位能為零。

摩擦力是一種非保守力。摩擦力通常會降低物體的速度和動能。由此可以得出結論：摩擦力對物體所做的功等於物體機械能的減少量。

從數學角度來看：

功（W）= 機械能的變化（ΔEM）

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— 公式 1

說明：F = 摩擦力，d = 位移，m = 質量，vo ₌初速度

位移（d）和初始速度（v _o ）尚不清楚，因為首先需要計算 v _{o或 d。在已知 v o}或 d後，可以使用公式之一來計算摩擦力所做的功。

非勻速直線運動的位移方程式（d）：

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

末速（v _t ）= 0，加速度（a）為負值，因為物體減速（物體的速度減少）。

0 = v_o² – 2 則廣告

v_o² = 2 廣告

d = v _o ² / 2 a ———— 公式 2

將公式 2 中的 d 替換為公式 1 中的 d：

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ 米

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / m)

a = – 0.02 牛頓 / 0.01 公斤

a = – 2 牛頓/公斤

a = – 2 公尺/秒^²

計算非勻速直線運動初速（v₀）的_公式：

v _{_t} = v_{_o} + at —–> 末速 (v_{_t} ) = 0，加速度 (a) = 2 m/s ^²，時間間隔 (t) = 3 秒

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v₀ = 6 公尺/_秒

摩擦力所做的功（W）：

W = – ½ mv _o ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

W = -1/2 (0.36)

W = -0.18 焦耳

摩擦力所做的功為負值，表示此功會減少物體的機械能。

如果已知d，則可以使用公式W = F d計算所做的功。

正確答案是B。

[wpdm_package id='1178′]

1. 力作用下的工作問題及解決方案
2. 功-動能問題及解答
3. 功-機械能原理問題及解答
4. 引力位能問題及解決方案
5. 彈性彈簧位能問題及解
6. 電力問題及解決方案
7. 機械能守恆定律在自由落體運動的應用
8. 機械能守恆定律在自由落體運動中上下移動的應用
9. 機械能守恆定律在曲面運動的應用
10. 機械能守恆定律在斜面上運動的應用
11. 機械能守恆定律在拋體運動的應用