1.如圖所示，兩個質量分別為 m₁ = 2 kg 和 m₂ = 5 kg的物體位於斜面上，並以一條繩子連接在一起。 m₁ 與斜面之間的動摩擦係數為 0.2， m₂與斜面之間的動摩擦係數為 0.1。
（a）決定它們的加速度
(b) 求張力
已知：
質量1 (m1 ) = 2 kg
質量 2 (m2 ) = 4 kg
m1與斜面之間的動摩擦係數(μk1 ) = 0.2
m2與斜面之間的動摩擦係數( μk2 ) = 0.1
重力加速度(g) = 9.8 m/ s²
a) 加速度的大小和方向
w₁ =重量₁ = m₁g = (2 kg)(9.8 m/s² ) = 19.6 牛頓
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 牛頓
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 牛頓
N1 = m1上的正壓力= w1y = 17 牛頓
F k1 = 作用在 m 1上的動摩擦力= μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 牛頓
---
w² = 重量² = m²g = (4 kg)(9.8 m/s² ) = 39.2 牛頓
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 牛頓
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 牛頓
N2 = m2所受正壓力= w2y = 19.6牛頓
F k2 = 動摩擦力作用在 m 2上= μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 牛頓
---
加速度的大小：
∑ F x = ma x
w 2x > w 1x，所以加速度的方向與 w 2x的方向相同。
與加速度方向相同的力為正，與加速度方向相反的力為負。
w2x - F。k2 - T.2 + T.1 -w1x - F。k1 = (米1 + 米2）的x
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = (m 1 + m 2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 公斤 + 4 公斤) a x
18.94 N = (6 kg) a x
a x = 18.94 N : 6 kg
a x = 3.16 m/s 2
加速度的大小 = 3.16 m/s² 。加速度的方向 = T₁ 的方向= w₂x 的方向
b) 張力的大小
對物體 2 應用牛頓第二定律：
w 2x – F k2 – T 2 = m 2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg)(3.16 m/s 2 )
32.14 N – T 2 = 12.64 N
T 2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 牛頓
張力 = T = T1 = T2 = 19.5 牛頓
[內部審查程序]
2. m1 = 4 kg，m2 = 2 kg。求：(a) 加速度的大小和方向；(b) 連接m1和 m2 的拉力的大小；(c) 連接滑輪和屋頂的拉力的大小。
解決方案
w₁ = m₁g = ( 4 kg)(9.8 m/s² ) = 39.2 牛頓
w² = m²g = ( 2 kg)(9.8 m/s² ) = 19.6 牛頓
a) 加速度的大小和方向
∑ F y = may y
w1 > w2 ，因此物體的運動方向與重力1 ( w1 )的方向相同。與加速度方向相同的力為正，與加速度方向相反的力為負。
w1 – T1 + T2 – w2 = ( m1 + m2 ) ay
w1 – w2 = ( m1 + m2 ) ay
39.2 N – 19.6 N = (4 公斤 + 2 公斤) a y
19.6 N = (6 kg) a y
a y = 19.6 N : 6 kg
a y = 3.26 m/s 2
加速度的大小 = 3.26 m/s² 。加速度的方向 = w₁ 的方向。
b) 連接m1和 m2 的拉力大小
對 m 2應用牛頓第二定律：
∑ F y = may y
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg)( 3.26 m/s 2 )
39.2 N – T 1 = 13.04 N
T1 = 39.2 N – 13.04 N
T1 = 26.16牛頓
連接物體的張力大小 = T = T1 = T2 = 26.16 牛頓
c) 連接滑輪和屋頂的張力的大小。
滑輪處於靜止狀態：
∑ F y = may y —— a y = 0
∑ F y = 0
向上的力為正，向下的力為負：
T3 – T1 – T2 = 0
T3 = T1 + T2
T1和 T2的大小相同，T1 = T2 = T = 26.16 N：
T 3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 牛頓
[內部審查程序]
3. 質量分別為 10 kg 和 15 kg 的物塊1透過一條繩子連接到一個無摩擦滑輪上。物塊2與斜面之間的靜摩擦係數為 0.6，動摩擦係數為 0.42。求：(a) 使物體向上加速所需的最小拉力 F 的大小；(b) 繩子與物塊 1 之間的張力的大小。
解決方案
w₂ = 物體的重量 1 = m₂g = (10 kg)(9.8 m/s² ) = 98 牛頓
w₂ = 物體的重量 2 = m₂g = (15 kg)(9.8 m/s² ) = 147 牛頓
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 牛頓
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 牛頓
N2 =作用在滑桿2上的正壓力 = w2y = 127.89 牛頓
F k2 = 滑塊所受到的動摩擦力 2 = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 牛頓
F s2 = 滑塊所受到的靜摩擦力 2 = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 牛頓
a) 使物體向上加速所需的最小作用力 F 的大小
∑ F x = ma x —— a x = 0
∑ F x = 0
向上和向右的力為正，向下和向左的力為負。
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = F k2 + w 2x + w 1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 牛頓
b) 張力的大小
對方塊 1 應用牛頓運動定律：
∑ F y = may y —— a y = 0
∑Fy = 0
T1 – w1 = 0
T1 = w1 = 98牛頓
對方塊 2 應用牛頓運動定律：
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T 2 = F – F k2 – w 2x
T 2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T2 = 98牛頓
張力的大小 = T1 = T2 = T = 98 牛頓
[內部審查程序]
4. 質量為16 kg的物塊1位於水平面上，質量為12 kg的物塊2位於光滑斜面上，兩者透過一條繞過小型無摩擦滑輪的繩索連接。質量為5 kg的物塊3位於物塊2上。物塊2與水平面之間的動摩擦係數為0,4，物塊2與物塊3之間的靜摩擦係數為0,3。
（a）當系統從靜止釋放時，滑塊 3 和滑塊 2 仍然一起滑動嗎？
（b）如果存在滑塊 3，那麼滑塊 1 和滑塊 2 的加速度是多少？
解決方案：
a)當系統從靜止釋放時，模組 3 和模組 2 仍會一起滑動嗎？
w₃ =塊體的重量1 = m₃g = (16 kg)(9.8 m/s² ) = 156.8 牛頓
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 牛頓
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 牛頓
N1 =斜面作用於滑桿 1 的正壓力= w1y = 78.4 牛頓
w₃ =塊體的重量3 = m₃g = (5 kg)(9.8 m/s² ) = 49 牛頓
N23 =滑塊 2 對滑塊 3 施加的正壓力= w3 = 49 牛頓
N 32 =滑塊 3 對滑塊 2 施加的正壓力= N 23 = w 3 = 49 牛頓
（N 23和N 32是作用-反作用對）
F s23 =滑塊 2 對滑塊 3 施加的靜摩擦力= μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7牛頓
F s32 =滑塊 3 對滑塊 2 施加的靜摩擦力= F s 23 = 14.7 牛頓
（F s23和F s32是作用-反作用對）
w₂ =物體的重量 2 = m₂g = (12 kg)(9.8 m/s² ) = 117.6 牛頓
N₂ =水平面作用於物體 2 的正壓力= w₂ + N₃₂ = 117.6 牛頓 + 49
牛頓 = 166.6 牛頓
F k2 =滑塊所受到的動摩擦力 2 = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 牛頓
對木塊 3 應用牛頓運動定律：
∑ F x = ma x
F s23 = m 3 a x
—–> Fs23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μ s m 3 g = m 3 a x
μ s g = a x
a x = (0.3)(9.8 m/s 2 ) = 2.94 m/s 2
滑塊 3 的最大加速度，使得滑塊 3 和滑塊 2 仍然一起滑動，為 2.94 公尺/秒²。
現在我們計算系統從靜止狀態釋放後的加速度大小。
滑塊位移的方向 = 滑塊加速度的方向 = T 2的方向 = w 1x的方向。
∑ F x = ma x
w1x - T.1 + T.2 - F。k2 - F。s32 + Fs23 = (米1 + 米2 + 米3）的x
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a x
136.4 N – 66.64 N = (16 公斤 + 12 公斤 + 5 公斤) a x
69.76 N = (33 kg) a x
a x = 2.11 m/s 2
a x為正，表示滑塊位移方向或加速度方向與 T 2的方向或 w 1x的方向相同。
加速度的大小為2.11 m/s² ，小於2.94 m/s² ，因此我們可以得出結論，滑塊 3 和滑塊 2 從靜止狀態釋放後仍然一起滑動。
b)滑塊 1 和滑塊 2 的加速度大小。
∑ F x = ma x
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 ) a x
—–> Fk2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 牛頓
136.4 N – 47.04 N = (16 公斤 + 12 公斤) a x
89.36 N = (28 kg) a x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
[wpdm_package id='493′]
- 質量和重量
- 法向力
- 牛頓第二運動定律
- 摩擦力
- 在水平面上無摩擦力的運動
- 兩個物體在粗糙水平面上以相同的加速度運動，並受到摩擦力的影響。
- 無摩擦力下斜面上的運動
- 在粗糙斜面上受摩擦力作用的運動
- 電梯內的運動
- 物體的運動是透過繩索和滑輪來實現的。
- 兩個加速度大小相同的物體
- 繞平緩曲線運動－圓週運動的動力學
- 繞傾斜彎道行駛－圓週運動動力學
- 水平圓週等速運動
- 勻速圓週運動中的向心力
