עליפּס גלייכונג אין געאמעטריע
די עליפסע איז א וויכטיגע קרומע אין געאמעטריע, וואס ערשיינט אין א ברייטע פארשיידנקייט פון קאנטעקסטן, פון ריינע מאטעמאטיק ביז אנווענדונגען אין פיזיק, אינזשעניריע און אסטראנאמיע. פשוט געזאגט, קען מען פארשטיין אן עליפסע אלס א "קרייז אויסגעצויגן" אזוי אז ער ווערט לענגער אין איין ריכטונג. אבער, די פארמאלע דעפיניציע פון אן עליפסע איז פיל אינטערעסאנטער: אן עליפסע איז די גרופע פון אלע פונקטן אין א פלאך פאר וועלכע די סומע פון זייערע דיסטאנצן פון צוויי פעסטע פונקטן (גערופן פאקוסן) איז שטענדיג קאנסטאנט. פון דעם דעפיניציע קען מען ארויסנעמען און שטודירן די גלייכונג פון אן עליפסע, סיי אין סטאנדארט און סיי אין אלגעמיינע פארמען.
1. פֿאַרשטיין עליפּסן און זייערע עלעמענטן
כּדי צו פֿאַרשטיין די גלייכונג פֿון אַן עליפּס, דאַרפֿן מיר וויסן די הויפּט עלעמענטן פֿון אַן עליפּס:
1. צענטער פון דער עליפסע (צענטער): דער מיטלפונקט פון דער עליפסע, געוויינטלעך סימבאליזירט \((h, k)\).
2. הויפּט אַקס: דער לענגסטער דיאַמעטער פֿון דער עליפּס.
3. קליינע אַקס: דער קירצסטער דיאַמעטער פֿון דער עליפּס וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו דער גרויסער אַקס.
4. פאָקוס (foci): צוויי פעסטע פונקטן וואָס דינען ווי אַ רעפֿערענץ פֿאַר דער דעפֿיניציע פֿון אַן עליפּס, געוויינטלעך באַצייכנט \(F_1\) און \(F_2\).
5. האַלב-גרויסער ראַדיוס: האַלב די לענג פון דער גרויסער אַקס, סימבאַליזירט \(a\).
6. האַלב-מינאָר ראַדיוס: האַלב די לענג פון דער מינאָר אַקס, באַצייכנט \(b\).
7. דיסטאַנץ פֿון צענטער צום פֿאָקוס: באַצייכנט \(c\), מיט דער טיפּישער עלליפּטישער באַציִונג:
\[
c^2 = a^2 – b^2
\]
א קאנפליקט פון קאנצעפטן קומט דא אָפט פאר: אין אַן עליפּס, האַלט זיך \(a \ge b\) שטענדיק און די פאָקוסן ליגן אויף דער הויפּט אַקס.
דערצו, איז דא דער באַגריף פון עקסצענטרישקייט \(e\) וואָס מעסט די "אויסווייניקסטע נייגונג" פון אַן עליפּס:
\[
e = \frac{c}{a}, \quad 0 \le e < 1 \] אויב \(e = 0\), ווערט די עליפּס אַ קרייז (ווייל \(c = 0\), די פאָקוסן טרעפן זיך צוזאַמען אין צענטער).
\[
(\pm c, 0), \quad \text{מיט } c^2 = a^2 – b^2
\]
ב) ווערטיקאַלע הויפּט אַקס
אויב די הויפּט אַקס איז פּאַראַלעל צו די y-אַקס, דעמאָלט:
\[
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
\]
מיט \(a > b\). דער פאָקוס איז אויף דער \(y\)-אַקס, נעמליך:
\[
(0, ∫c), ∫c² = a² – b²
\]
די סטאַנדאַרט פֿאָרעם מאַכט עס גרינג צו לייענען די כאַראַקטעריסטיקס פֿון אַן עליפּס: די ווערטן פֿון \(a\) און \(b\) ווײַזן גלייך אָן די גרייס פֿון דער עליפּס, בשעת \(c\) באַשטימט די פּאָזיציע פֿון די פֿאָקוסן.
3. עליפסע גלייכונג צענטרירט ביי \((h,k)\)
אין פילע אנאליטישע געאמעטריע פראבלעמען, איז די עליפסע נישט שטענדיק צענטרירט ביים קאארדינאט צענטער. אויב די עליפסע איז צענטרירט ביי \((h,k)\), דאן ענדערט זיך די סטאנדארט גלייכונג צו:
א) האָריזאָנטאַלע הויפּט אַקס
\[
\frac{(xh)^2}{a^2} + \frac{(יק)^2}{ב^2} = 1
\]
ב) ווערטיקאַלע הויפּט אַקס
\[
\frac{(קסה)^2}{ב^2} + \פראק{(יק)^2}{א^2} = 1
\]
די ענדערונג איז אין עיקר נאָר אַ פֿאַרשיבונג (טראַנסלאַציע) פֿון דער עליפּס, וואָס איז אָריגינעל געווען צענטרירט בײַם אָנהייב. דער פֿאָקוס פֿאַרשיבט זיך אויך צום נײַעם צענטער:
– פֿאַר דער האָריזאָנטאַלער הויפּט אַקס: \((h \pm c, k)\)
– פֿאַר דער ווערטיקאַלער הויפּט אַקס: \((h, k \pmc)\)
4. פון דער דעפיניציע פון פאָקוס ביז דער גלייכונג פון אַן עליפּס
די דעפֿיניציע פֿון אַן עליפּס ווי די סומע פֿון די דיסטאַנסן צו צוויי קאָנסטאַנטע פֿאָקוסן קען גענוצט ווערן ווי אַ באַזע פֿאַר דעריווירן גלייכונגען. למשל, לאָמיר זאָגן אַז די פֿאָקוסן זענען ביי \((c,0)\) און \((-c,0)\), און אַ פּונקט אויף דער עליפּס איז \((x,y)\). די דיסטאַנסן פֿון יענעם פּונקט צו יעדן פֿאָקוס זענען:
\[
ד_1 = \סקרט{(קסק)^2 + י^2}, \קוואד ד_2 = \סקרט{(קס+c)^2 + י^2}
\]
זינט די סומע איז קאָנסטאַנט:
\[
ד_1 + ד_2 = 2a
\]
דורך אַלגעברעיִשע מאַניפּולאַציע (קוואַדרירן צוויי מאָל צו אַראָפּנעמען די וואָרצלען), באַקומען מיר די גלייכונג:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
מיט \(b^2 = a^2 – c^2\). דאָס ווײַזט אַז די סטאַנדאַרט פֿאָרעם פֿון דער עליפּס איז נישט נאָר אַ "מעמערייזד" פֿאָרמולע, נאָר קומט טאַקע פֿון אַ געאָמעטרישער דעפֿיניציע.
5. אַלגעמיינע גלייכונג פון אַן עליפּס און איר אידענטיפֿיקאַציע
אין פּראַקטיק, טרעפֿן מיר אָפֿט קוואַדראַטישע גלייכונגען מיט צוויי וועריאַבלען וואָס זענען נישט אין סטאַנדאַרט פֿאָרעם, למשל:
\[
Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
\]
א גלייכונג ווי דאָס קען רעפּרעזענטירן אַן עליפּס, אַ פּאַראַבאָלע, אָדער אַ היפּערבאָלע. כּדי צו זיכער מאַכן אַז עס איז אַן עליפּס (מיט אַקסן פּאַראַלעל צו די קאָאָרדינאַטן), מוזן טיפּיש \(A\) און \(B\) זיין:
– זעלבע סימן (ביידע פּאָזיטיוו אָדער ביידע נעגאַטיוו),
– און בכלל נישט די זעלבע גרייס (אויב זיי זענען די זעלבע גרייס און עס איז נישטא קיין טערמין \(xy\), איז עס זייער מסתּמא אז די פאָרעם איז א קרייז).
צו קאָנווערטירן צו נאָרמאַלער עליפּס פֿאָרעם, איז די מערסט אָפֿט גענוצטע מעטאָדע צו פֿאַרענדיקן דעם קוואַדראַט אויף די _(x) און _(y) טערמינען. אַ פּשוט בייַשפּיל:
\[
4x^2 + 9y^2 – 8x + 18y – 5 = 0
\]
גרופּע:
\[
4 (קס ^ 2 - 2 קס) + 9 (י ^ 2 + 2 י) = 5
\]
פֿאַרענדיקט דעם קוואַדראַט:
\[
4[(קס-1)^2 – 1] + 9[(י+1)^2 – 1] = 5
\]
\[
4(קס-1)^2 + 9(י+1)^2 = 5 + 4 + 9 = 18
\]
פֿאַר 18:
\[
\frac{(x-1)^2}{\frac{18}{4}} + \frac{(y+1)^2}{2} = 1
\]
וואָס איז די סטאַנדאַרט פאָרעם פון אַן עליפּס מיט צענטער \((1,-1)\).
6. אַפּליקאַציעס פון עליפּסן אין געאָמעטריע און אין דער פאַקטישער וועלט
עליפּסן זענען נישט נאָר טעאָרעטישע אָביעקטן. אין געאָמעטריע און אַפּליקירטער וויסנשאַפֿט שפּילן עליפּסן אַ הויפּט ראָלע:
1. אַסטראָנאָמיע (קעפּלערס געזעץ): די אָרביט פון אַ פּלאַנעט איז עלליפּטיש מיט דער זון אין איין פאָקוס.
2. אָפּטיק און אַקוסטיק: די אייגנשאַפט פון עלליפּטישע רעפלעקציע זאָגט אַז כוואַליעס פון איין פאָקוס וועלן ווערן רעפלעקטירט דורך דעם אַנדערן פאָקוס. דאָס ווערט גענוצט אין דעם פּלאַן פון קאָנצערט זאַלן אָדער געוויסע רעפלעקטאָר שפּיגלען.
3. מעכאנישע אינזשעניריע: געוויסע גאַנג אָדער קאַם מעכאַניזמען נוצן עלליפּטישע וועגן.
4. אַרכיטעקטור: די עלליפּטישע פֿאָרעם גיט אַ קאָמבינאַציע פֿון עסטעטיק און אַקוסטישע פֿונקציע.
דורך פֿאַרשטיין די עליפּס גלייכונג, קענען מיר אַנאַליזירן די גרייס, פּאָזיציע און אייגנשאַפֿטן פֿון טראַיעקטאָריעס אין פֿאַרשידענע סיסטעמען.
7. קעסימפולאַן
די גלייכונג פון אן עליפסע אין געאמעטריע בריקן דעם שפאלט צווישן דער געאמעטרישער דעפיניציע (די סומע פון די דיסטאנצן צו צוויי קאנסטאנטע פאקוסן) און דער אנאליטישער רעפרעזענטאציע (אן אלגעבראישע גלייכונג אין קאארדינאטן). די סטאנדארט פארעם פון אן עליפסע מאכט עס גרינג צו אידענטיפיצירן דעם צענטער, די לענג פון די אקסן, און די פאזיציעס פון די פאקוסן, בשעת אלגעמיינע פארמען קענען ווערן פארוואנדלט צו סטאנדארט פארעם דורך פארענדיגן דעם קוואדראט. פארשטיין עליפסעס העלפט נישט נאר לייזן אנאליטישע געאמעטריע פראבלעמען נאר עפנט אויך אויף איינזיכטן אין ווי מאטעמאטיק דערקלערט נאטירלעכע דערשיינונגען ווי פלאנעטארע ארביטן און די אייגנשאפטן פון כוואליע רעפלעקציע.
אויב איר ווילט, קען איך אויך צולייגן ביישפיל פראבלעמען און פארענדיגטע דיסקוסיעס (למשל באשטימען פאקוס, עקסצענטריציטעט, אדער צייכענען א סקיצע פון אן עליפסע פון איר גלייכונג).
