דיאַגאָנאַל מאַטריץ פאָרעם
מאַטריצעס זענען איינע פון די וויכטיקסטע קאָנצעפּטן אין מאַטעמאַטיק, באַזונדערס אין לינעאַרער אַלגעברע. אין פֿאַרשידענע פֿעלדער—פון פֿיזיק און סטאַטיסטיק ביז עקאָנאָמיק ביז קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט—ווערן מאַטריצעס גענוצט צו רעפּרעזענטירן דאַטן, סיסטעמען פֿון גלייכונגען, טראַנספֿאָרמאַציעס און נאָך פֿיל מער. צווישן די פֿיל באַקאַנטע טיפּן מאַטריצעס, האַלטן דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס אַ ספּעציעלע אָרט צוליב זייער פּשוטקייט, אָבער זייער מאַכט אין קאַלקולאַציעס און אַנאַליז. דער אַרטיקל דיסקוטירט די דעפֿיניציע, כאַראַקטעריסטיקס, אַלגעמיינע פֿאָרעם, אייגנשאַפֿטן און ביישפּילן פֿון דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס.
פֿאַרשטיין די דיאַגאָנאַל מאַטריץ
א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ איז אַ קוואַדראַטישע מאַטריץ (די צאָל רייען איז גלייך צו דער צאָל קאָלאָנעס) אין וועלכער אַלע עלעמענטן אַרויס פון דער הויפּט דיאַגאָנאַל זענען נול. די הויפּט דיאַגאָנאַל באַשטייט פון די עלעמענטן וואָס זענען פּאַזיציאָנירט פון אויבן לינקס צו אונטן רעכטס, דאָס הייסט די עלעמענטן אין די פּאָזיציעס \((1,1), (2,2), (3,3)\), און אַזוי ווייטער.
מיט אנדערע ווערטער, נאר עלעמענטן אויף דער הויפט דיאַגאָנאַל קענען זיין נישט-נול, בשעת עלעמענטן אַרויס פון דער הויפּט דיאַגאָנאַל מוזן זיין נול. ווערטן אויף דער הויפּט דיאַגאָנאַל קענען זיין נול אָדער נישט-נול, דיפּענדינג אויף דעם פאַל.
למשל, די פאלגענדע מאַטריץ איז אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ:
\[
\begin{pmatrix}
4 און 0 און 0 \\
0 און -2 און 0 \\
0 & 0 & 7
\ענד{פּמאַטריץ}
\]
באַמערק אז אַלע עלעמענטן אַחוץ 4, -2, און 7 זענען נול, אַזוי די מאַטריץ באַפרידיקט די דעפֿיניציע פֿון אַ דיאַגאָנאַלער מאַטריץ.
אַלגעמיינע פאָרעם פון דיאַגאָנאַל מאַטריץ
בכלל, קען מען שרייבן א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ פון אָרדענונג \(n \times n\) ווי:
\[
ד =
\begin{pmatrix}
ד_1 און 0 און 0 און \cdots און 0 \\
0 און ד_2 און 0 און \cdots און 0 \\
0 און 0 און ד_3 און \cdots און 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 און 0 און 0 און \cdots און d_n
\ענד{פּמאַטריץ}
\]
דאָ, _(d_1, d_2, \ldots, d_n\) זענען די עלעמענטן פון דער הויפּט דיאַגאָנאַל. יעדער פון זיי קען זיין רעאַל, גאַנצער, אָדער אפילו קאָמפּלעקס, דיפּענדינג אויף דעם קאָנטעקסט.
קורצע נאטאציע ווערט אויך אפט גענוצט:
\[
ד = \text{דיאַג}(ד_1, ד_2, \ldots, ד_n)
\]
די נאטאציע זאגט אז די מאטריץ \(D\) האט הויפט דיאגאנאלע עלעמענטן \(d_1\) ביז \(d_n\) און אלע אנדערע עלעמענטן זענען נול.
קעראַקטעריסטיקס פון דיאַגאָנאַל מאַטריץ
עטלעכע כאַראַקטעריסטיקס וואָס מאַכן עס גרינגער צו דערקענען דיאַגאָנאַל מאַטריץ זענען:
1. פארלאנגטע קוואדראטישע מאטריץ
א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ איז שטענדיק פון גרייס \(n \מאַל n\), זי קען נישט זיין רעכטעקיק.
2. נישט-דיאַגאָנאַלע עלעמענטן מוזן זיין נול
אַלע עלעמענטן \(a_{ij}\) מיט \(i \neq j\) מוזן זײַן 0.
3. פרייע דיאַגאָנאַלע עלעמענטן
די דיאַגאָנאַלע עלעמענטן \(a_{ii}\) קענען זיין יעדער ווערט (אריינגערעכנט 0).
4. דיאַגאָנאַלע מאַטריץ איז אַ ספּעציעלער פאַל פון אַ דרייַעקיקער מאַטריץ.
א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ איז סיי אַן אויבערשטער דרייעקיקער און סיי אַ אונטערשטער דרייעקיקער מאַטריץ.
באַציִונג מיט אידענטיטעט מאַטריץ און סקאַלאַרע מאַטריץ
דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס האָבן אַ נאָענטע פֿאַרבינדונג מיט צוויי אַנדערע טיפּן מאַטריצעס וואָס דערשייַנען אָפֿט, נעמלעך:
1. אידענטיטעט מאַטריץ
די אידענטיטעט מאַטריץ איז אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ מיט אַלע דיאַגאָנאַל עלעמענטן גלייך צו 1:
\[
איך =
\begin{pmatrix}
1 און 0 און 0 \\
0 און 1 און 0 \\
0 & 0 & 1
\ענד{פּמאַטריץ}
\]
די מאַטריץ איז וויכטיק ווײַל זי אַרבעט ווי די נומער 1 אין מאַלטיפּליקאַציע: מאַלטיפּליקירן אַן אַנדער מאַטריץ מיט דער אידענטיטעט מאַטריץ טוישט נישט די מאַטריץ (פון דער פּאַסיקער גרייס).
2. סקאַלאַרע מאַטריץ
א סקאַלאַר מאַטריץ איז אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ מיט אַלע דיאַגאָנאַל עלעמענטן וואָס האָבן דעם זעלבן ווערט, למשל \(k\):
\[
קI =
\begin{pmatrix}
ק און 0 און 0 \\
0 און ק און 0 \\
0 און 0 און ק
\ענד{פּמאַטריץ}
\]
מיט אנדערע ווערטער, די סקאלארע מאטריץ איז א ספעציעלע פארעם פון דער דיאגאנאלער מאטריץ, און די אידענטיטעט מאטריץ איז א ספעציעלע פארעם פון דער סקאלארע מאטריץ.
וויכטיקע אייגנשאפטן פון דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס
די פּשוטקייט פון דער דיאַגאָנאַלער מאַטריץ פֿאָרעם גיט איר אייגנשאַפֿטן וואָס מאַכן חשבונות זייער גרינג.
1. צוגאב און סובטראַקציע
אויב \(D_1\) און \(D_2\) זענען דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס פון דער זעלבער גרייס, דעמאָלט:
– \(D_1 + D_2\) איז אויך אַ דיאַגאָנאַלע מאַטריץ
– \(D_1 – D_2\) איז אויך א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ
ווייל אַדיציע פּאַסירט נאָר אויף קאָרעספּאָנדירנדיקע עלעמענטן, און אַלע נישט-דיאַגאָנאַלע עלעמענטן בלייבן נול.
2. דיאַגאָנאַלע מאַטריץ מולטיפּליקאַציע
דער פּראָדוקט פֿון צוויי דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס איז אויך אַ דיאַגאָנאַלע מאַטריץ. אויב:
\[
ד_1 = \text{דיאַג}(a_1, a_2, \ldots, a_n), \quad
ד_2 = \text{דיאַג}(ב_1, ב_2, \ldots, ב_n)
\]
אַזוי:
\[
ד_1ד_2 = \text{דיאַג}(a_1b_1, a_2b_2, \ldots, a_nb_n)
\]
דאָס איז זייער עפֿעקטיוו ווײַל עס דאַרף נישט דורכפֿירן אַ פֿולע מאַטריץ מאַלטיפּליקאַציע, וואָס איז געוויינטלעך קאָמפּלעקס.
3. דעטערמינאַנט
דער דעטערמינאַנט פון אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ איז זייער גרינג צו רעכענען, נעמלעך דער פּראָדוקט פון אירע דיאַגאָנאַלע עלעמענטן:
\[
∫דאַט(D) = ∫ד₁ ד₂ ∫ד₂
\]
4. אומגעקערט
א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ קען לייכט איבערגעדרייט ווערן, אויב אַלע דיאַגאָנאַלע עלעמענטן זענען נישט נול. די איבערגעדרייטע איז:
\[
ד^{-1} = \text{דיאַג}\left(\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \ldots, \frac{1}{d_n}\right)
\]
אויב וועלכער עס איז דיאַגאָנאַל עלעמענט איז נול, דעמאָלט איז דער דעטערמינאַנט נול און די מאַטריץ האט נישט קיין אינווערס.
5. מאַטריץ ראַנג
די עקספּאָנענטן פון אַ דיאַגאָנאַל מאַטריץ זענען אויך פּשוט:
\[
ד^ק = \text{דיאַג}(ד_1^k, ד_2^k, \ldots, ד_n^k)
\]
דאָס איז זייער נוצלעך אין דער קאַלקולאַציע פון דינאַמישע מאָדעלן און איטעראַטיווע טראַנספאָרמאַציעס.
ביישפילן פון דיאַגאָנאַלע און נישט-דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס
בייַשפּיל פֿון אַ דיאַגאָנאַלער מאַטריץ:
\[
\begin{pmatrix}
3 און 0 \\
0 & 5
\ענד{פּמאַטריץ}
\]
ביישפילן פון מאַטריצעס וואָס זענען נישט דיאַגאָנאַל (ווייל עס זענען נישט-נול נישט-דיאַגאָנאַל עלעמענטן):
\[
\begin{pmatrix}
3 און 1 \\
0 & 5
\ענד{פּמאַטריץ}
\]
כאָטש די מאַטריץ איז אויבערשטער דרייעקיק, איז עס נישט קיין דיאַגאָנאַלע מאַטריץ ווייל דער עלעמענט (1,2) איז 1, נישט 0.
דיאַגאָנאַליזאַציע: קאָנווערטירן אַ מאַטריץ אין דיאַגאָנאַל פאָרעם
חוץ "דיאַגאָנאַל מאַטריץ" ווי אַ טיפּ מאַטריץ, איז דאָ אַ וויכטיקער באַגריף גערופן דיאַגאָנאַליזאַציע, וואָס איז דער פּראָצעס פון קאָנווערטירן אַ געגעבענע מאַטריץ אין דיאַגאָנאַלער פאָרעם דורך אַ טראַנספאָרמאַציע:
\[
א = פּ.ד.פּ.^{-1}
\]
וואו \(D\) איז א דיאַגאָנאַלע מאַטריץ וואָס אנטהאלט די אייגענווערטן, און \(P\) איז א מאַטריץ וועמענס קאָלאָנעס זענען אייגענוועקטאָרן. אויב א מאַטריץ קען ווערן דיאַגאָנאַליזירט, ווערן פילע קאַלקולאַציעס ווי למשל קאַלקולירן דעם ראַנג פון א מאַטריץ פיל גרינגער ווייל עס איז גענוג צו אַרבעטן מיט \(D\).
אין וויסנשאַפט און אינזשעניריע, ווערט דיאַגאָנאַליזאַציע אָפט גענוצט צו סאָלווען דיפערענציאַל סיסטעמען, סטאַביליטעט אַנאַליז, דאַטן קאַמפּרעשאַן און סיגנאַל פּראַסעסינג.
אַפּליקאַציעס פון דיאַגאָנאַל מאַטריץ אין פאַקטישן לעבן
דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס דערשייַנען נאַטירלעך אין אַ פאַרשיידנקייט פון אַפּליקאַציעס, למשל:
1. טראַנספאָרמאַציע וואָג אין קאָמפּיוטער גראַפיקס
צו פארגרעסערן אדער פארקלענערן אן אביעקט באזונדער אויף די _(x_), _(y_) און _(z_) אקסן, ניצט מען א דיאגאנאלע מאטריץ וועמענס דיאגאנאלע עלעמענטן אנטהאלטן די סקאלע פאקטארן.
2. קאָוואַריאַנס אין סטאַטיסטיק
אויב די ראַנדאָם וועריאַבאַלן זענען נישט קאָרעלירט, איז די קאָוואַריאַנס מאַטריץ דיאַגאָנאַל ווייל די קאָוואַריאַנס צווישן די וועריאַבאַלן איז נול.
3. לינעאַר מאָדעל און וואָג
אין אָפּטימיזאַציע און מאַשין לערנען, ווערן דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס אָפט געניצט ווי וואָג מאַטריצעס וואָס באַשטימען פאַרשידענע שטראָף צו יעדער קאָמפּאָנענט.
קלאָוזינג
די דיאַגאָנאַלע מאַטריץ פֿאָרעם איז איינע פֿון די פּשוטסטע אָבער נוצלעכעסטע מאַטריץ סטרוקטורן. די מאַטריץ ווערט כאַראַקטעריזירט דורך דעם, אַז אַלע נישט-דיאַגאָנאַלע עלעמענטן זענען נול, בשעת די דיאַגאָנאַלע עלעמענטן קענען זײַן אַנדערש. די פֿאָרעם מאַכט וויכטיקע אָפּעראַציעס ווי דעטערמינאַנטן, אינווערסן, מאַלטיפּליקאַציע און עקספּאָנענטיאַציע פֿיל גרינגער. ניט נאָר זענען דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס טעאָרעטיש וויכטיק אין לינעאַרער אַלגעברע, זיי ווערן אויך ברייט גענוצט אין פֿאַרשידענע רעאַלע אַפּליקאַציעס, פֿון סטאַטיסטיק ביז קאָמפּיוטער גראַפֿיק.
פֿאַרשטיין דיאַגאָנאַלע מאַטריצעס איז אַ שטאַרקער ערשטער שריט צו לערנען מער אַוואַנסירטע קאָנצעפּטן ווי אייגענווערטן, אייגענוועקטאָרן און דיאַגאָנאַליזאַציע, וואָס זענען אין האַרצן פון פילע מאָדערנע קאָמפּיוטיישאַנאַל מעטאָדן.
