רעאַלע נומער סיסטעם

רעאַלע נומער סיסטעם

די רעאַלע נומערן סיסטעם איז איינע פון ​​די מערסט פונדאַמענטאַלע קאָנצעפּטן אין מאַטעמאַטיק, גענוצט צו אויסדריקן כּמעט אַלע קוואַנטיטעטן וואָס מיר טרעפן אין וואָכעדיק לעבן, פון לענג און מאַסע ביז טעמפּעראַטור ביז גיכקייט און צייט. רעאַלע נומערן זענען די יסוד פֿאַר פֿאַרשידענע צווייגן פון מאַטעמאַטיק ווי אַלגעברע, געאָמעטריע, קאַלקולוס און סטאַטיסטיק, און זענען אויך די הויפּט שפּראַך פון וויסנשאַפֿט און אינזשעניריע. פֿאַרשטיין די רעאַלע נומערן סיסטעם מיינט פֿאַרשטיין ווי נומערן זענען קלאַסיפֿיצירט, ווי זיי זענען פֿאַרבונדן איינער מיט דעם אַנדערן, און ווי זייערע אייגנשאַפֿטן דערמעגלעכן אונדז צו דורכפֿירן קאַלקולאַציעס און מאָדעלן קאָנסיסטענט.

פֿאַרשטיין רעאַלע נומערן

רעאַלע נומערן זענען די סכום פון אַלע נומערן וואָס קענען געשטעלט ווערן אויף אַ נומער ליניע. דאָס נעמט אַרײַן ביידע ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן . אינטואיטיוו, רעאַלע נומערן נעמען אַרײַן אַלע נומערן וואָס קענען אויסגעדריקט ווערן ווי דער "ווערט" פון אַ קאָנטינויִערלעכער קוואַנטיטעט, למשל, די לענג פון אַ טיש קען זײַן 1 מעטער, 1,5 מעטער, אָדער אפילו 1,414213... מעטער.

די סכום פון רעאַלע נומערן ווערט געוויינטלעך באַצייכנט מיטן סימבאָל ℝ. יעדע רעאַלע נומער האט אַ באַזונדערע פּאָזיציע אויף דער נומער ליניע, צי זי איז נעגאַטיוו, נול, צי פּאָזיטיוו.

קלאַסיפֿיקאַציע פֿון נומערן אין דער רעאַלער נומער סיסטעם

די רעאַלע נומערן סיסטעם עקזיסטירט נישט אליין. עס איז א פארלענגערונג פון א פשוטערער נומערן סיסטעם. צו פארשטיין עס, דארפן מיר קוקן אויף די קלאסיפיקאציע פון ​​די נומערן וואס מאכן עס אויס.

1. נאַטירלעכע נומערן

נאַטירלעכע נומערן ווערן געוויינטלעך באַצייכנט מיט ℕ. די נומערן ווערן גענוצט צו ציילן אביעקטן און בכלל אַרייַננעמען:
1, 2, 3, 4, 5, …

אין עטלעכע דעפֿיניציעס איז 0 אויך אַרייַנגערעכנט אין די נאַטירלעכע נומערן, אָבער אין בילדונגס־פּראַקטיק מאַכט מען אָפֿט אַן אונטערשייד צווישן גאַנצע נומערן און נאַטירלעכע נומערן.

2. גאַנצע נומערן

גאַנצע נומערן אַרייַננעמען נאַטירלעכע נומערן פּלוס נול:
0, 1, 2, 3, 4, …

גאַנצע נומערן זענען נוצלעך ווען מיר דאַרפֿן אויסדריקן "גאָרנישט" (נול) אין אַ צייל־קאָנטעקסט.

3. גאַנצע צאָלן

גאַנצע צאָלן ווערן באַצייכנט מיט ℤ און אַרייַננעמען גאַנצע צאָלן און זייערע נעגאַטיוון:
..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

גאַנצע צאָלן זענען וויכטיק פֿאַר אויסדריקן סיטואַציעס וואָס האָבן צו טאָן מיט ריכטונגען אָדער ווערטן "אונטער נול", ווי טעמפּעראַטורן אונטערן פֿרירפּונקט, חובות, אָדער הייכן אונטערן ים־שפּיגל.

4. ראַציאָנעלע נומערן

ראַציאָנעלע נומערן ווערן באַצייכנט מיט ℚ. די נומער איז אַ נומער וואָס קען געשריבן ווערן אין בראָכצאָל פֿאָרעם:
\[
\frac{p}{q}
\]
מיט ∫(p) און ∫(q) גאַנצע צאָלן, און ∫(q₀ 0).

ביישפילן פון ראַציאָנעלע נומערן:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2 קען געשריבן ווערן ווי \(\frac{2}{1}\)

א וויכטיגע אייגנשאפט פון ראציאנעלע נומערן איז אז זייער דעצימאל פאָרעם ענדיגט זיך אדער איבערחזרט זיך. למשל:
– 0,25 סטאַפּס
– 0,333… איבערחזרן

5. אירראציאָנעלע נומערן

איראציאָנעלע נומערן זענען רעאַלע נומערן וואָס קענען נישט אויסגעדריקט ווערן אין דער פֿאָרעם \(\frac{p}{q}\) וואו \(p\) און \(q\) זענען גאַנצע צאָלן. די דעצימאַלע פֿאָרעם שטעלט זיך נישט אָפּ און איבערחזרט זיך נישט.

ביישפילן פון איראציאָנעלע נומערן:
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\פּי = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)

אירראציאָנעלע נומערן דערשייַנען אָפט אין געאָמעטריע (למשל, די קוואַדראַט וואָרצל פון אַ דיאַגאָנאַל) און מאַטעמאַטישער אַנאַליז.

6. רעאַלע נומערן

רעאַלע נומערן זענען אַ קאָמבינאַציע פֿון ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן:
\[
R = Q (אירראציאנעל)
\]
מיט אנדערע ווערטער, אלע נומערן וואס קענען רעפרעזענטירט ווערן אויף א נומער ליניע זענען רעאלע נומערן.

נומער ליניע און דער באַגריף פון געדיכטקייט

איינער פון די בעסטע וועגן צו פֿאַרשטיין רעאַלע נומערן איז דורך דער נומער ליניע. אויף דער ליניע, רעפּרעזענטירט יעדער פּונקט אַ רעאַלע נומער. אינטערעסאַנט, צווישן יעדע צוויי רעאַלע נומערן, איז שטענדיק דאָ נאָך אַ רעאַלע נומער. למשל, צווישן 1 און 2 איז 1,5; צווישן 1,5 און 2 איז 1,75; און אַזוי ווייטער אויף אייביק.

די אייגנשאפט איז באקאנט אלס געדיכטקייט. ביידע ראציאנעלע און איראציאנעלע נומערן זענען גלייך געדיכט אויף דער נומער ליניע: צווישן יעדע צוויי רעאלע נומערן, זענען דא אומענדלעך פיל ראציאנעלע נומערן און אומענדלעך פיל איראציאנעלע נומערן.

גרונטלעכע אפעראציעס אויף רעאלע נומערן

רעאַלע נומערן שטיצן די פאלגענדע גרונטלעכע מאַטעמאַטישע אָפּעראַציעס:

1. צוגאב: \(a + b\)
2. סובטראקציע: \(a – b\)
3. מאַלטיפּליקאַציע: \(a \מאַל b\)
4. דיוויזיע: ∫a₀ ב₀, מיט דער באַדינגונג ∫b₀ ≈ 0)

די אפעראציעס האבן וויכטיגע אייגנשאפטן ווי למשל:
– קאָממוטאַטיוו: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– אסאסיאטייוו : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– דיסטריביוטיוו: \(a(b + c) = ab + ac\)
– האט אידענטיטעט: 0 פֿאַר אַדיציע, 1 פֿאַר מאַלטיפּליקאַציע
– האט אַן אינווערס: \(-a\) פֿאַר אַדיציע, \(\frac{1}{a}\) פֿאַר מאַלטיפּליקאַציע (פֿאַר \(a \neq 0\))

די אייגנשאפטן מאכן די רעאלע נומערן זייער סטאביל אלס א סיסטעם פאר קאלקולאציע.

סדר און אַבסאָלוטער ווערט

רעאַלע נומערן האָבן אויך אַ סדר באַציִונג. מיר קענען פאַרגלייַכן צוויי רעאַלע נומערן מיטן פאלגנדן סימן:
– \(<\) איז קלענער – \(>\) איז גרעסער
– \(\le\) איז קלענער ווי אדער גלייך צו
– \(\ge\) איז גרעסער ווי אדער גלייך צו

דערצו איז דא דער באַגריף פון אַבסאָלוטן ווערט, וואָס באַשטימט די דיסטאַנץ פון אַ נומער פון נול:
\[
|א| =
\begin{ קאַסעס}
א, און אויב א גע 0
-a, און אויב a < 0
\ענד{ קאַסעס}
\]
למשל, \(|-5| = 5\) און \(|3| = 3\).

אַבסאָלוטער ווערט ווערט אָפט גענוצט אין דעם קאָנטעקסט פון דיסטאַנץ, טעות טאָלעראַנץ, און אומגלייכקייט אַנאַליז.

די ראלע פון ​​רעאלע נומערן אין לעבן און וויסנשאפט

רעאַלע נומערן זענען קריטיש ווייל פילע רעאַלע-וועלט דערשיינונגען זענען קאָנטינויִערלעך. מעסטונגען פון לענג, צייט, מאַסע און טעמפּעראַטור זענען נישט באַגרענעצט צו גאַנצע נומערן; זיי דאַרפן בראָכציילן און דעצימאַל ווערטן, וואָס קענען זיין גאַנץ לאַנג. אין פיזיק, למשל, איז די אַקסעלעראַציע רעכט צו גראַוויטאַציע, 9,8 מעטער/ס², אַ רעאַלע נומער. אין עקאָנאָמיק, אינטערעס ראַטעס, ינפלאַציע און וועקסל קורסן ווערן אויך אויסגעדריקט אין רעאַלע נומערן. אין אינזשעניריע, כּמעט אַלע פּלאַן קאַלקולאַציעס נוצן רעאַלע נומערן.

אין פארגעשריטענע מאטעמאטיק ווי קאלקולוס, ערמעגליכן רעאלע נומערן די קאנצעפטן פון גרענעצן, דעריוואטיוון, און אינטעגראלן. די קאנצעפטן קענען נישט ריכטיג אויפגעשטעלט ווערן מיט ראציאנעלע נומערן אליין, ווייל די קאנטינעואיטעט און פולשטענדיגקייט פון רעאלע נומערן שפילן א שליסל ראלע.

קלאָוזינג

די רעאַלע נומערן סיסטעם איז די סכום פון נומערן וואָס נעמט אַרײַן ראַציאָנעלע און איראַציאָנעלע נומערן, ווי אויך אַלע נומערן וואָס קענען רעפּרעזענטירט ווערן אויף דער נומער ליניע. מיט איר רייַכער סטרוקטור - פֿון נומער קלאַסיפֿיקאַציעס, אייגנשאַפֿטן פֿון אָפּעראַציעס, קאָנצעפּטן פֿון געדיכטקייט, ביז אָרדענונג - זענען רעאַלע נומערן אַ צענטראַלער זײַל פֿון מאָדערנער מאַטעמאַטיק און אירע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער. פֿאַרשטיין רעאַלע נומערן העלפֿט ניט נאָר סאָלווען מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען, נאָר טרענירט אויך לאָגישע געדאַנקען און פּינקטלעכקייט אין קוואַנטיטאַטיוו באַשרײַבן רעאַלע-וועלט דערשיינונגען.

אויב איר ווילט, קען איך אויך צולייגן א סעקציע מיט ביישפּיל פּראָבלעמען און א קורצע דיסקוסיע פון ​​ראַציאָנעלע קעגן איראַציאָנעלע נומערן, אדער א קיצור אין דער פאָרם פון א קאָנצעפּט מאַפּע.