לאָגאַריטמישע פֿונקציע גראַפיק
די לאָגאַריטמישע פֿונקציע איז אַ וויכטיקער מאַטעמאַטישער באַגריף וואָס ווערט ברייט גענוצט אין וויסנשאַפֿט, טעכנאָלאָגיע, עקאָנאָמיק און סטאַטיסטיק. איינער פֿון די עפֿעקטיווסטע וועגן צו פֿאַרשטיין אַ לאָגאַריטמישע פֿונקציע איז דורך איר גראַף. דורך אויספֿאָרשן די פֿאָרעם פֿון דער קורווע, די ריכטונג פֿון וואוקס, דעם דאָמען און אירע אייגנשאַפֿטן, קענען מיר פֿאַרשטיין ווי לאָגאַריטמען אַרבעטן און פֿאַרוואָס זיי ווערן אָפֿט גענוצט צו מאָדעלירן דערשיינונגען וואָס וואַקסן לאַנגזאַם אָדער פֿאַרנעמען זייער גרויסע וואָג. דער אַרטיקל דיסקוטירט די דעפֿיניציע פֿון דער לאָגאַריטמישער פֿונקציע, די כאַראַקטעריסטיקס פֿון איר גראַף, דעם השפּעה פֿון דער באַזע און געוויינטלעכע טראַנספֿאָרמאַציעס.
1. פֿאַרשטיין לאָגאַריטמישע פֿונקציעס
בכלל, קען מען שרייבן די לאגאריטמישע פונקציע אזוי:
\[
y = \log_a x
\]
מיט דער פֿאָרשטעלונג פֿון:
– \(a > 0\)
– \(אַ \נעק 1\)
– \(x > 0\)
לאָגאַריטם איז די פארקערטע פון עקספּאָנענציעל. אויב:
\[
y = \log_a x
\]
דעמאָלט איז עס עקוויוואַלענט צו:
\[
א^י = x
\]
דאס הייסט, לאגאריטמען ענטפערן די פראגע: "וואספארא מאכט זאל מען אויפהייבן צו \(a\) כדי צו פראדוצירן \(x\)?". א פשוט ביישפיל: \(\log_{10}100 = 2\) ווייל \(10^2 = 100\).
2. דאָמעין, ראַנגע, און אַסימפּטאָט
איינע פון די הויפּט כאַראַקטעריסטיקס פון אַ לאָגאַריטמישן גראַף איז די עקזיסטענץ פון גרענעצן אויף די ווערטן פון \(x\).
– דאָמען: \(x > 0\). דאָס מיינט אַז דער גראַף רירט אָדער קראָסט קיינמאָל נישט די \(y\)-אַקס (ווײַל די \(y\)-אַקס איז \(x = 0\)).
– ראַנגע: אַלע רעאַלע נומערן (\(-\infty < y < \infty\)). דער לאָגאַריטם קען זיין נעגאַטיוו, נול, אָדער פּאָזיטיוו. – ווערטיקאַלע אַסימפּטאָט: די ליניע \(x = 0\). דער גראַף דערנענטערט זיך צום \(y\)-אַקס אָבער שניידט זי קיינמאָל נישט. באַמערקט דאָס נאַטור לעבן דעם אַסימפּטאָט: – ווען \(x \to 0^+\), דער ווערט פון \(\log_a x \to -\infty\) פֿאַר \(a>1\).
– ווי \(x\) ווערט גרעסער, וואַקסט דער ווערט פון \(\log_a x\) אָבער זייער שטייטלעך (שטאַרקער וואוקס).
3. שליסל פונקטן אויף דער גראַפיק
דער גראַף פֿון אַ לאָגאַריטמישער פֿונקציע האָט כאַראַקטעריסטישע פּונקטן וואָס העלפֿן שנעל צייכענען די קורווע.
פֿאַר דער פֿונקציע (y = log_a x):
– דער פונקט \((1,0)\) איז שטענדיק אויפן גראַף, ווייל \(\log_a 1 = 0\) פאר יעדער באַזע (אַזוי לאַנג ווי עס דערפילט די באַדינגונגען).
– דער פונקט \((a,1)\) עקזיסטירט אויך שטענדיק, ווייל \(\log_a a = 1\).
– פונקט \((a^2, 2)\), ווייל \(\log_a(a^2)=2\).
– פונקט \((1/a, -1)\), ווייל \(\log_a(1/a)=-1\).
למשל, פֿאַר \(y=\log_2 x\), די גרינגע פונקטן זענען:
– \((1,0)\)
– \((2,1)\)
– \((4,2)\)
– \((1/2,-1)\)
מיט די פונקטן קען מען צייכענען די פאָרעם פון דער לאָגאַריטמישער קורווע גאַנץ גענוי.
4. דער עפעקט פון דער באזיס \(a\) אויף דער פאָרעם פון דעם גראַף
די באַזע פֿון לאָגאַריטם באַשטימט די ריכטונג און "שאַרפֿקייט" פֿון גראַף.
א. אויב \(a > 1\)
דער גראַף וואַקסט פֿון לינקס צו רעכטס (וואַקסנדיקע פֿונקציע). בייַשפּילן: _(y = \log_2x\), _(y=\log_{10}x\), _(y=\lnx\)\ (באַזע \(e\)).
אירע כאַראַקטעריסטיקס:
– זיך נענטערן צו \(x=0\) פֿון רעכטס צו \(-\infty\).
– וואַקסט שטייטלעך ווי \(x\) וואַקסט.
– וואָס גרעסער די באַזע \(a\), אַלץ מער "גלאַט" איז די קורווע אויף אַ געגעבענער וואָג, ווײַל די ענדערונג אין דעם לאָגאַריטמישן ווערט ווערט קלענער פֿאַר דער זעלבער פאַרגרעסערונג אין \(x\) (אינטואיטיוו).
ב. אויב \(0 < a < 1\) דער גראַף פאַרקלענערט זיך פון לינקס צו רעכטס (פאַרקלענערונג פונקציע). בייַשפּיל: \(y = \log_{1/2} x\). אירע כאַראַקטעריסטיקס: – ווען \(x \to 0^+\), דער ווערט פון \(\log_a x \to +\infty\). – ווען \(x\) וואַקסט, דער ווערט פון \(y\) פאַרקלענערט זיך צו \(-\infty\). – די קורווע איז אַ "שפּיגלונג" פון דער וואַקסנדיקער לאָגאַריטמישער פֿאָרעם (באַזע \(>1\)) אויף דער \(x\) אַקס אָדער קען פֿאַרשטאַנען ווערן דורך דער נאַטור פון דער ענדערונג אין באַזע.
5. באַציִונג צווישן לאָגאַריטמישע און עקספּאָנענציעלע גראַפֿן
לאגאריטמען זענען די אינווערסע פון עקספּאָנענציעלע גרופעס, אַזוי זייערע גראַפן זענען ענג פֿאַרבונדן.
עקספּאָנענציעלע פֿונקציע:
\[
y = a^x
\]
לאָגאַריטמישע פונקציע:
\[
y=\log_a x
\]
ווייל זיי זענען אינווערסע, זענען זייערע גראַפיקס שפּיגל בילדער פון דער ליניע _(y=x_). אויב איר צייכנט _(y=a^x_), און דערנאָך צייכנט די ליניע _(y=x_), וועט די קורווע _(y=log_a^x_) דערשייַנען ווי איר אָפּשפּיגלונג. דאָס העלפֿט פֿאַרשטיין פאַרוואָס דער דאָמעין און ראַנג פון דעם לאָגאַריטם ווערן "אויסגעטוישט" מיטן עקספּאָנענציעלן: דער עקספּאָנענציעלער האט אַ גאָר-רעאַלן דאָמעין און אַ פּאָזיטיוון ראַנג, בשעת דער לאָגאַריטם האט אַ פּאָזיטיוון דאָמעין און אַ רעאַלן ראַנג.
6. טראַנספאָרמאַציע פון לאָגאַריטמישע פונקציע גראַפן
אין מאטעמאטישע פראבלעמען, גייען לאגאריטמישע פונקציעס אפט דורך פארשיבונגען, אויסשטרעקונגען, אדער רעפלעקציעס. די אלגעמיינע פארעם פון דער טראנספארמאציע איז:
\[
y = c\log_a(x – h) + k
\]
באַדײַט:
– \(xh\) פארשיבט דעם גראַף צו רעכטס מיט \(h\) (אויב \(h>0\)) אדער צו לינקס (אויב \(h<0\)). – \(+k\) פארשיבט דעם גראַף ארויף מיט \(k\) אדער אראפ. – \(c\) ציט דעם גראַף ווערטיקאַל (אויב \(|c|>1\)) אדער פלאַכט אים (אויב \(0<|c|<1\)), און אויב \(c<0\) דאַן ווערט דער גראַף אויך איבערגעדרייט אַרום דער \(x\) אַקס. ביישפילן: 1. \(y=\log_2(x-3)\) דער גראַף פארשיבט 3 איינהייטן צו רעכטס. די ווערטיקאַלע אַסימפּטאָט ווערט \(x=3\) (אַנשטאָט \(x=0\)). 2. \(y=\log_2 x + 2\) דער גראַף באַוועגט זיך ארויף מיט 2 איינהייטן, אָבער די אַסימפּטאָט בלייבט ביי \(x=0\). 3. \(y=-\log_2 x\) דער גראַף ווערט אָפּגעשפּיגלט אויף דער \(x\) אַקס, אַזוי אַז די פֿונקציע וואָס איז געוואַקסן ווערט אַראָפּגייענדיק. 7. אַפּליקאַציעס פֿון לאָגאַריטמישע גראַפֿן לאָגאַריטמישע פֿונקציע גראַפֿן ווערן אָפֿט געניצט צו פֿאַרפּשוטערן די וואָג פֿון זייער גרויסע דאַטן אָדער נישט-לינעאַרע וואוקס. עטלעכע ביישפּילן פֿון אַפּליקאַציעס: – די pH וואָג אין כעמיע (מעסט דעם מדרגה פֿון זויערקייט). – די ריכטער וואָג פֿאַר ערדציטערנישן (די שטאַרקייט פֿון ערדציטערנישן איז לאָגאַריטמיש). – דעציבעלן (dB) פֿאַר קלאַנג אינטענסיטעט. – באַפֿעלקערונג וואוקס אָדער די פֿאַרשפּרייטונג פֿון אינפֿאָרמאַציע וואָס איז אָנהייב שנעל און דערנאָך פֿאַרלאַנגזאַמט זיך קען ווערן אַנאַליזירט מיט לאָגאַריטמישע און עקספּאָנענציעלע צוגאַנגען. – אין סטאַטיסטיק און מאַשין לערנען, ווערן אָפֿט געניצט לאָג טראַנספֿאָרמאַציעס צו רעדוצירן די "סקיונאַס" פֿון דאַטן. 8. מסקנה לאָגאַריטמישע פֿונקציע גראַפֿן האָבן די פֿאָלגנדיקע כאַראַקטעריסטיקס: דאָמען \(x>0\), ווערטיקאַלע אַסימפּטאָט ביי \(x=0\) (אָדער ביי \(x=h\) נאָך טראַנספֿאָרמאַציע), און ענדערונגען אין ווערט וואָס טענד צו זיין לאַנגזאַם פֿאַר \(a>1\). די באַזע באַשטימט צי דער גראַף איז וואַקסנדיק אָדער פאַלנדיק. דערצו, די באַציִונג צווישן לאָגאַריטמען און עקספּאָנענציעלע ווי אומגעקערטע פונקציע מאכנדיג זיי שפיגל-בילדער פון יעדן אנדערן ארום דער ליניע (y=x). דורך פארשטיין שליסל-פונקטן און גרונטלעכע טראנספארמאציעס, קענען מיר גרינגער אויסשטעלן און אנאליזירן לאגאריטמישע פונקציעס. דאס וויסן איז נישט נאר וויכטיג אין ריינער מאטעמאטיק נאר אויך גאר נוצלעך אין לייזן פראבלעמען אין דער רעאליטעט אין פארשידענע פעלדער פון וויסנשאפט.
אויב איר ווילט, קען איך אויך צולייגן ביישפיל פראגעס צוזאמען מיט טריט צו צייכענען דעם גראף (למשל פאר \(y=\log_3(x-2)+1\)) כדי עס צו מאכן מער פראקטיש.
