אן גרינגער וועג צו לייזן ווארשיינליכקייט פראבלעמען
ווארשיינליכקייט איז א אָפט באַגעגנטע מאַטעמאַטישע טעמע אין שולן צוליב איר נאָענטקייט צום וואָכעדיקן לעבן: פון דער ווארשיינליכקייט פון אַ נומער וואָס דערשיינט אויף אַ קוב, ביז ציען אַ קאָלירטן באַל פון אַ קעסטל, ביז דער ווארשיינליכקייט פון אַ געשעעניש וואָס פּאַסירט באַזירט אויף דאַטן. צום באַדויערן, פילע סטודענטן געפֿינען ווארשיינליכקייט "טריקי" ווייַל די פּראָבלעמען ויסקומען פּשוט, אָבער די ענטפֿערס קענען זיין פאַלש אויב מען נעמט זיי נישט קערפֿול אין באַטראַכט. אָבער, עס איז דאָ אַ גאַנץ גרינג און סיסטעמאַטיש וועג צו סאָלווען ווארשיינליכקייט פּראָבלעמען: פֿאַרשטיין די גרונט קאָנצעפּטן, ידענטיפֿיצירן דעם פּראָבלעם טיפּ, און דערנאָך קלייַבן די ריכטיקע סטראַטעגיע.
דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן פּראַקטישע טריט צו העלפֿן אײַך זײַן שנעלער און מער גענוי ווען איר אַרבעט אויף וואַרשיינלעכקייט פּראָבלעמען.
-
1. פֿאַרשטיין די גרונט־אידעע פֿון געלעגנהייט
בכלל, די ווארשיינליכקייט פון א געשעעניש \(A\) ווערט געשריבן:
\[
P(A) = \frac{\text{נומער פון רעזולטאטן וואָס שטיצן }A}{\text{נומער פון אַלע מעגלעכע רעזולטאטן}}
\]
דער שליסל ליגט אין צוויי זאכן:
1. מוסטער-פלאץ (S): אלע מעגלעכע רעזולטאטן וואס קענען פאסירן.
2. געשעעניש (א): טייל פון דעם מוסטער-פלאץ וואס קארעספאנדירט צו דער געפרעגטער פראגע.
אויב אַלע רעזולטאַטן זענען גלייך מסתּמא (למשל, גלייכע קוביקעס, גלייכע מטבעות), דעמאָלט קען די פאָרמולע אויבן ווערן גענוצט גלייך. אויב זיי זענען נישט גלייך מסתּמא, ווערן די וואַרשיינלעכקייטן געוויינטלעך אויסגערעכנט פֿון אַנדערע מאָדעלן (למשל, פֿרעקווענץ דאַטן אָדער קאָנדיציאָנעלע וואַרשיינלעכקייט).
-
2. שנעלע טריט צו סאָלווען געלעגנהייט פּראָבלעמען
כּדי נישט צו פֿאַרלירן זיך, ניצט די פֿאָלגנדיקע "אַרבעטס־פֿאָרמולע":
1. שרייב אראפ וואס ווערט געפרעגט (וואספארא געשעעניש ווערט געפרעגט?)
2. באַשטימען דעם מוסטער-פּלאַץ (ווי פיל מעגלעכע רעזולטאַטן זענען דאָ?)
3. אויסרעכענען די רעזולטאטן וואָס שטיצן די געבעטענע געשעעניש.
4. פּראָפֿיט־טיילונג שטיצט גאַנץ רעזולטאַטן
5. פאַרפּשוטערן דעם בראָכצאָל און מאַכן זיכער אַז עס איז לאָגיש (די וואַרשיינלעכקייט מוז זיין צווישן 0 און 1)
רובֿ טעותים פּאַסירן ווײַל טריט 2 און 3 זענען נישט קלאָר געמאַכט.
-
3. ניצט טאבעלעס, בוים דיאַגראַמען, אדער ליסטעס אויב נייטיק.
פֿאַר פּראָבלעמען וואָס אַנטהאַלטן צוויי אָדער מער פּראָבעס (למשל, וואַרפֿן אַ מטבע צוויי מאָל, ציען אַ קאַרטל צוויי מאָל), זענען וויזועלע מעטאָדן זייער נוצלעך.
א) טיש
פּאַסיק פֿאַר צוויי פּשוטע וועריאַבלען, למשל מטבעות און קוביקעס.
ב) בוים דיאַגראַם
פּאַסיק פֿאַר שריט-ביי-שריט עקספּערימענטן, ספּעציעל אויב עס איז אַ "קיין צוריקקער" צושטאַנד (די צאָל אָביעקטן ענדערט זיך).
ג) ליסטע פון מוסטער-פלאץ מיטגלידער
פּאַסיק פֿאַר קליינע מוסטער פּלעצער.
אזוי, דארפסטו נישט טרעפן.
-
4. קלאַסישע וואַרשיינלעכקייט פֿראַגעס און שנעלע לייזונגען
א. שאַנסן אויף קוביקעס
קוביקעס האָבן 6 זײַטן: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
למשל: די ווארשיינליכקייט צו באקומען א גראד נומער.
– מוסטער־פּלאַץ \(S = 6\)
– די געשעעניש \(A = \{2,4,6\}\) איז 3
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)
שנעלער טריק: צייל שטענדיק "וויפיל זענען אָנגעפילט" אַנשטאָט "סך־הכּל 6".
-
ב. שאַנס אויף אַ מטבע
אַ מטבע האָט צוויי זײַטן: קאָפּ (A) און קאָפּ (G).
בייַשפּיל: די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען אַ בילד ווען אַ מטבע ווערט געוואָרפן 1 מאָל.
– סך־הכּל 2
– שטיצע 1
– שאַנס \(=1/2\)
אויב געוואָרפן צוויי מאָל:
– מוסטער־פלאץ: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) סך־הכל 4
שנעלע עצה: פֿאַר אומאָפּהענגיקע פּראָבעס, איז די גאַנצע וואַרשיינלעכקייט געוויינטלעך 2n (פֿאַר מטבעות) און 6n (פֿאַר קוביקעס).
-
ג. וואַרשיינלעכקייט פון נעמען אַ באַל פֿון דער קעסטל (מיט אַ ריפּלייסמאַנט און אָן אַ ריפּלייסמאַנט)
למשל, א שאכטל אנטהאלט 3 רויטע באלן און 2 בלויע באלן (סך הכל 5).
1) מיט צוריקקער
נעמט 2 מאל, יעדעס מאל ווערט דער באל צוריקגעגעבן. די ווארשיינליכקייט פון נעמען רויט און דערנאך בלוי:
– שאנס פון רויט: \(3/5\)
– דערנאָך בלוי (ווײַל עס איז צוריקגעגעבן געוואָרן, בלייבט עס): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) קיין צוריקקער
נעמען 2 מאָל אָן צוריקקומען. שאַנסן פון רויט און דאַן בלוי:
– ערשטע רויטע שאנסן: \(3/5\)
– 4 פארבליבענע באַללס, פארבליבענע בלוי בלייבט 2 → צווייטע בלויע וואַרשיינלעכקייט: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
דער הויפּט חילוק: אָן אַ פאַרבייַט, ענדערט זיך דער נענער ווייל די גאַנצע צאָל באַללס פאַרקלענערט זיך.
-
5. ניצט די צוגאב און קאמפלעמענט רעגולאציעס
א. צוגאב רעגול (OR)
אויב מען פרעגט זיי פאר "א אדער ב" שאנסן, ניצט:
\[
פּ(A ⋅B) = פּ(A) + פּ(B) – פּ(A ⋅B)
\]
– \(A \cup B\): A אדער B (אדער ביידע)
– \(A \קאַפּ B\): A און B אין דער זעלבער צייט
פשוט ביישפּיל: קוביקעס, די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען אַ גראָדע צאָל אָדער אַ קייפל פון 3.
– גראד: {2,4,6} → 3
– קייפל פון 3: {3,6} → 2
– שניטן (גלייכע און קייפל פון 3): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
ב. קאָמפּלעמענט (פאַרקערט)
עס איז אָפט גרינגער צו ציילן די "איז נישט געשען" און דערנאָך עס אַראָפּרעכענען פון 1.
\[
פּ(A) = 1 – פּ(A^c)
\]
בייַשפּיל: די וואַרשיינלעכקייט פון אַ "קאָפּ" וואָס דערשיינט לפּחות איין מאָל ווען אַ מטבע ווערט געוואָרפן 3 מאָל.
אנשטאט ציילן 1, 2, 3 מאל א נומער, צייל זיין קאמפלעמענט:
– קאָמפּלעמענט: קיין נומערן בכלל = אַלע ציפערן (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– אַזוי \(P(\text{מינימום 1 נומער}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
די טריק איז זייער פאפולער פאר "מינדעסטנס איינס", "מינדעסטנס איינס", "מינדסטער" פראגעס.
-
6. קאָנדישאַנעלע שאַנסן: באַצאָלן ופמערקזאַמקייט צו נאָך אינפֿאָרמאַציע
קאָנדישאַנעלע וואַרשיינלעכקייט מיינט די וואַרשיינלעכקייט פון A צו פּאַסירן מיט דער באַדינגונג אַז B איז שוין געשען:
\[
פּ(A|B) = \frac{P(A \capB)}{P(B)}
\]
די סארט פראגע ערשיינט געווענליך ווען עס איז דא צוגעלייגטע אינפארמאציע, למשל "עס איז באקאנט אז דער רויטער באל איז געצויגן געווארן" אדער "עס איז באקאנט אז די אויסגעקליבענע סטודענטין איז געווען א מיידל".
דער גרינגער וועג:
1. פאָקוס אויף באַדינגונג ב (נעמען אַז דער מוסטער-פּלאַץ ווערט שמאָלער צו בלויז ב)
2. פֿון די וואָס טרעפֿן ב, ציילט די וואָס טרעפֿן אויך אַ.
-
7. מערסטע געוויינטלעכע טעותים
1. פארגעסן צו טוישן דעם מוסטער-פלאץ ווען אן אויסטויש.
2. פאַלש אויסטײַטשן דאָס וואָרט "אָדער" (מאַנטשמאָל מיינט עס ביידע).
3. נישט זיין פּינקטלעך מיט "מינימום" / "מערסטנס"; עס איז בעסער צו נוצן קאָמפּלעמענטן.
4. אננעמען אז געשעענישן זענען אומאפהענגיק ווען זיי זענען נישט (אָן צוריקקער זענען זיי נישט אומאפהענגיק).
5. נישט פארפּשוטן און נישט קאָנטראָלירן די לאָגיק (דער רעזולטאַט פון דער וואַרשיינלעכקייט טאָר נישט זיין >1).
-
8. פּראַקטיצירן עצות צו ווערן שנעל באַגאַבט
– געוואוינט זיך צו שרייבן: \(S\), \(A\), פילע מיטגלידער \(n(S)\), \(n(A)\).
– פּראַקטיצירן "צוויי-שטאַפּל" פּראָבלעמען מיט בוים דיאַגראַמען.
– פּראַקטיצירן "לפּחות איין" פֿראַגע מיט קאָמפּלימענטן.
– אַמאָל איר האָט אַן ענטפֿער, קאָנטראָלירט: צי מאַכט עס זינען? אויב די וואַרשיינלעכקייט פֿון אַ געשעעניש איז "מסתּמא צו פּאַסירן," איז זײַן ווערט געוויינטלעך נענטער צו 1, נישט נענטער צו 0.
-
קלאָוזינג
לייזן ווארשיינליכקייט פראבלעמען איז טאקע גרינג אויב איר ניצט קאנסיסטאנט סיסטעמאטישע טריט: דעפינירט דעם מוסטער-פלאץ, באשטימט די געשעענישן, און דערנאך רעכנט אויס דעם פראפארציע. פאר מער קאמפליצירטע פראבלעמען, ניצט וויזועלע הילף ווי טאבעלעס אדער בוים דיאגראמען, און ניצט די רולס פון צוגאב, פארמערונג, און קאמפלעמענטאציע. מיט גענוג פראקטיק און פארזיכטיג לייענען פראבלעמען, וועט ווארשיינליכקייט מער נישט פילן "טריקערי" נאר אנשטאט ווערן א טייל פון מאטעמאטיק וואס איז טאקע הנאה-געבנדיק ווייל עס איז נאנט צו טעגליכע געשעענישן.
אויב איר ווילט, קען איך אויך מאַכן 10 ביישפילן פון וואַרשיינלעכקייט פֿראַגעס צוזאַמען מיט זייערע דערקלערונגען (פון גרינג ביז שווער) אַזוי איר קענט גלייך פּראַקטיצירן.
