Алгебрийн функцийн уламжлалын талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Тооцооллын уламжлал нь функц хэрхэн өөрчлөгддөгийг эсвэл функцийн цэг дээрх налууг тодорхойлоход ашиглагддаг үндсэн ойлголт юм. Уламжлалтууд нь физик, эдийн засаг, инженерчлэл зэрэг янз бүрийн салбарт ашигтай байдаг, учир нь тэдгээр нь өөрчлөлтийн хурдны талаар мэдээлэл өгдөг. Энэ нийтлэлд бид алгебрийн функцийн уламжлалын хэд хэдэн жишээ болон тэдгээрийг хэрхэн бодох талаар авч үзэх болно.
Жишээ 1: Олон гишүүнт функцийн уламжлал
Асуулт: \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) функц өгөгдсөн. Функцийн уламжлалыг тодорхойл!
Шийдэл:
Олон гишүүнт функцийн уламжлалын үндсэн дүрмийг, тухайлбал \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) ашиглан бид функцийн гишүүн бүрийн уламжлалыг нэг нэгээр нь тооцоолно.
\[
\эхлэх{тэгших}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Тэгэхээр, \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \)-ийн уламжлал нь \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) байна.
Жишээ 2: Бутархай зэрэгтэй функцийн уламжлал
Асуулт: \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) функцийн уламжлалыг тодорхойл.
Шийдэл:
Үүнтэй ижил гаргалгааны дүрмийг ашиглан \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\эхлэх{тэгших}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Тэгэхээр, \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \)-ийн уламжлал нь \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) байна.
Жишээ 3: Экспоненциал ба тригонометрийн функцийн уламжлалууд
Асуулт: \(h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) функцийн уламжлалыг тодорхойл.
Шийдэл:
Энэ уламжлалыг бодохын тулд бидэнд \((uv)' = u'v + uv'\) гэсэн Үржвэрийн дүрэм хэрэгтэй. \( u(x) = e^x \) ба \(v(x) = \sin(x) \) гэж үзье, тэгвэл:
\[
\эхлэх{тэгших}
u'(x) &= e^x, & \text{учир нь } e^x \text{-ийн уламжлал нь } e^x \\ юм
v'(x) &= \cos(x), & \text{ учир нь } \sin(x) \text{-ийн уламжлал нь } \cos(x) юм.
\end{align}
\]
Бүтээгдэхүүний хувьд үүссэн дүрмийг ашиглах нь:
\[
\эхлэх{тэгших}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align}
\]
Тэгэхээр, \(h(x) = e^x \sin(x) \)-ийн уламжлал нь \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Жишээ 4: Гинжингийн дүрмийг ашиглан функцийн уламжлал
Асуулт: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) функцийн уламжлалыг тодорхойл.
Шийдэл:
Энэ уламжлалыг бодохын тулд бидэнд гинжин хэлхээний дүрэм хэрэгтэй, тухайлбал \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) ба \(f(u) = u^5 \) гэж үзье, тэгвэл:
\[
\эхлэх{тэгших}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Гинжин хэлхээний дүрмийг ашиглан:
\[
\эхлэх{тэгших}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Тэгэхээр, \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \)-ийн уламжлал нь \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) байна.
Жишээ 5: Тригонометрийн ижил утгатай функцийн уламжлал
Асуулт: m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) функцийн уламжлалыг тодорхойл.
Шийдэл:
Бид үржвэрийн хувьд уламжлалын дүрмийг ашиглана. \( u(x) = \sin(x) \) ба \( v(x) = \cos(x) \) гэж үзье, тэгвэл:
\[
\эхлэх{тэгших}
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align}
\]
Бүтээгдэхүүний хувьд үүссэн дүрмийг ашиглах нь:
\[
\эхлэх{тэгших}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align}
\]
Тригонометрийн ижил утгыг ашиглан \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Тэгэхээр, \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \)-ийн уламжлал нь \(m'(x) = \cos(2x) \) байна.
Дүгнэлт
Алгебрийн функцийн уламжлал нь тооцооллын үндсэн ойлголт бөгөөд янз бүрийн хэрэглээнд маш чухал бөгөөд ашигтай байдаг. Үндсэн уламжлалын дүрэм, үржвэрийн дүрэм, гинжин хэлхээний дүрэм, тригонометрийн уламжлалын дүрэм гэх мэт янз бүрийн уламжлалын дүрмүүд нь илүү төвөгтэй функцийн уламжлалыг тооцоолоход тусалдаг. Дээрх жишээг ойлгож, бодлогуудыг дадлагажуулснаар бид алгебрийн функцийн уламжлалыг авах ойлголт, ур чадвараа сайжруулж чадна.
