Экстремум цэгүүдийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг: Хамгийн бага буцах утга ба хамгийн их буцах утга
Функц хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгадаа хүрэх цэгүүд болох экстремум цэгүүдийг тодорхойлох нь тооцоолол болон математикийн шинжилгээний гол ойлголт юм. Энэ нийтлэлд бид хамгийн бага ба хамгийн их буцах утгуудыг хамарсан хэд хэдэн жишээ бодлогуудаар экстремум цэгүүдийг хэрхэн олж, шинжлэхийг судлах болно.
Сэдвийн тодорхойлолт ба теоремууд
Жишээ бодлогуудыг хэлэлцэхийн өмнө бид зарим үндсэн ойлголт болон теоремуудыг ойлгох хэрэгтэй:
1. Критик цэг: Энэ нь \( x \) функцийн эхний уламжлал \( f'(x) \) тэг эсвэл байхгүй байх утга юм.
2. Хамгийн их буцаалтын утга: Энэ нь \(f(x) \)-ийн утга нь тухайн цэгийн эргэн тойронд \(f(x) \)-ийн утгаас их байна гэсэн үг юм.
3. Хамгийн бага буцах утга: Энэ нь \(f(x) \)-ийн утга нь тухайн цэгийн эргэн тойронд \(f(x) \)-ийн утгаас бага байна.
4. Фермагийн теорем: Хэрэв \( f \) нь \( c \) дээр локал экстремум утгатай бөгөөд \( f'(c) \) уламжлал оршин байвал \( f'(c) = 0 \).
Жишээ асуулт 1: Квадрат функц
Эхлээд бид энгийн квадрат функцээс эхэлнэ:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Лангка-лангка:
1. \( f'(x) \ )-ийн эхний уламжлалыг ол:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. \( f'(x) = 0 \) тэгшитгэлийг бодож эгзэгтэй цэгүүдийг ол:
\[
4x – 4 = 0 \ нь x = 1 гэсэн үг
\]
3. Функцийн утгыг чухал цэг дээр тодорхойлно уу:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Цэгийн мөн чанарыг тодорхойлохын тулд хоёр дахь уламжлалыг ашиглана уу:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
\( f”(1) > 0 \) тул \( x = 1 \) цэг нь орон нутгийн хамгийн бага цэг юм.
Жишээ асуулт 2: Олон гишүүнт функц
Одоо илүү төвөгтэй олон гишүүнт функцээр оролдож үзье:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Лангка-лангка:
1. Эхний уламжлалыг тодорхойлно уу \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. \( g'(x) = 0 \) тэгшитгэлийг бодож эгзэгтэй цэгүүдийг ол:
\[
3x^2 – 6x = 0 \ утгатай 3x(x – 2) = 0 \ утгатай x = 0 \text{ эсвэл } x = 2
\]
3. Функцийн утгыг чухал цэг дээр тодорхойлно уу:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Цэгийн мөн чанарыг тодорхойлохын тулд хоёр дахь уламжлалыг ашиглана уу:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{орон нутгийн хамгийн их утга})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{орон нутгийн хамгийн бага утга})
\]
Тиймээс, \(g(x) \) нь \(x = 0 \) үед орон нутгийн хамгийн их утгатай, \(x = 2 \) үед орон нутгийн хамгийн бага утгатай байна.
Жишээ асуулт 3: Трансцендентал функцууд
Дээд зэрэглэлийг хамарсан функцийг авч үзье:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Лангка-лангка:
1. Эхний уламжлалыг тодорхойлно уу \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. \( h'(x) = 0 \) тэгшитгэлийг бодож эгзэгтэй цэгийг ол:
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \ нь 1 – x = 0 \ нь x = 1 гэсэн үг
\]
3. Функцийн утгыг чухал цэг дээр тодорхойлно уу:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Цэгийн мөн чанарыг тодорхойлохын тулд хоёр дахь уламжлалыг ашиглана уу:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Karena \( h”(1) < 0 \), titik \( x = 1 \) adalah titik maksimum lokal.
Contoh Soal 4: Fungsi Rasional
Terakhir, kita evaluasi fungsi rasional:
\[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]
Langkah-langkah:
1. Tentukan turunan pertama menggunakan aturan hasil bagi:
\[
k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2}
\]
2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( k'(x) = 0 \):
\[
\frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2}
\]
3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik:
\[
k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2}
\]
\[
k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2}
\]
4. Gunakan turunan kedua untuk memeriksa sifat titik tersebut:
\[
k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right)
\]
Penghitungan lebih lanjut dapat dilakukan dengan menurunkan kembali \( k'(x) \) yang hasilnya akan menunjukkan apakah \( x = \sqrt{2} \) dan \( x = -\sqrt{2} \) adalah titik maksimum atau minimum lokal.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal yang menunjukkan cara mencari titik ekstrim, yaitu nilai balik minimum dan nilai balik maksimum, dari berbagai jenis fungsi. Teknik yang digunakan meliputi mencari turunan pertama untuk menemukan titik kritik, menggunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik, dan mengevaluasi fungsi pada titik-titik tersebut. Ini adalah dasar yang kuat untuk menyelami lebih dalam analisis fungsional dalam kalkulus.
