Арифметик цувааны талаарх жишээ асуултууд
Арифметик дараалал нь математикийн үндсэн ойлголт бөгөөд дунд сургууль болон дээд боловсролын аль алинд нь янз бүрийн бодлогод байнга гардаг. Энэхүү ойлголт нь тоонуудын дарааллыг хамардаг бөгөөд гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнээс тогтмол тоог нэмэх эсвэл хасах үр дүн юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик дарааллын тухай ойлголтыг илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Арифметик цувралыг ойлгох нь
Арифметик цуваа гэдэг нь дараалсан хоёр гишүүний хооронд тогтмол зөрүү (ялгаа)-тай цуваа юм. Жишээлбэл, хэрэв арифметик цуваа нь эхний гишүүн \(a\) ба зөрүү \(d\)-тэй бол гишүүдийг дараах байдлаар бичиж болно:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Хэрэв бид энэ цувралын n-р гишүүнийг олохыг хүсвэл n-р гишүүний (\(U_n\)) томъёо нь дараах байдалтай байна:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Үүний зэрэгцээ, арифметик цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийг (\(S_n\)) дараах томъёогоор тооцоолж болно:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1
Асуулт: Эхний гишүүн \(a = 5\) ба ерөнхий ялгавар \(d = 3\) бүхий арифметик цуваа өгөгдсөн. Цувралын 10 дахь гишүүнийг ол.
Хэлэлцүүлэг:
10 дахь гишүүнийг (\(U_{10}\)) олохын тулд бид n дахь гишүүний томъёог ашиглаж болно:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Тэгэхээр цувралын 10 дахь гишүүн нь 32 байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт: Эхний гишүүн нь \(a = 4\) ба ерөнхий ялгавар нь \(d = 7\) байх арифметик цувралын эхний 15 гишүүний нийлбэрийг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний 15 гишүүний нийлбэрийг (\(S_{15}\)) олохын тулд бид эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглаж болно:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Тиймээс цувралын эхний 15 гишүүний нийлбэр нь 795 байна.
Жишээ асуулт 3
Асуулт: Арифметик цувралын 5 дахь гишүүн нь 20, 12 дахь гишүүн нь 48 гэдэг нь мэдэгдэж байна. Цувралын эхний гишүүн (\(a\)) болон ерөнхий ялгавар (\(d\))-г ол.
Хэлэлцүүлэг:
Өгөгдсөн нөхцлөөс:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Бидэнд бодож болох хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэл байна:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
1-р тэгшитгэлээс бид \(a\)-г \(d\) хэлбэрээр илэрхийлж болно:
\[ а = 20 – 4d \]
Одоо бид \(a\)-г 2-р тэгшитгэлд орлуулна:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Одоо бид \(d\)-ийн утгыг \(a = 20 – 4d\) тэгшитгэлд орлуулна:
\[a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Тиймээс цувралын эхний гишүүн нь 4, харин ерөнхий ялгавар нь 4 байна.
Жишээ асуулт 4
Асуулт: Эхний гишүүн нь \(a = 2\) ба ерөнхий ялгавар нь \(d = 5\)-ийн нийлбэр нь 200 байх арифметик цуваанд хэдэн гишүүн хэрэгтэй вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ тохиолдолд бид эхний n гишүүний (\(S_n\)) нийлбэрийг 200-тай тэнцүү олох хэрэгтэй. Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана уу:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
\(a\) болон \(d\) утгуудыг орлуулна уу:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм. Үүнийг бодохын тулд бид түүний хэлбэрийг өөрчилнө:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
\(ax^2 + bx + c = 0\) квадрат томъёог ашиглана уу:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Энэ тохиолдолд \(a = 5\), \(b = -1\), болон \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\)-ийн утга 89.42-той ойролцоо байвал:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Бид эерэг утгыг авдаг:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \ойролцоогоор 9.042 \]
Тиймээс шаардлагатай нэр томьёоны тоо нь 9 нэр томьёо байна (хэрэв бөөрөнхийлсөн бол).
Дүгнэлт
Арифметик дараалал нь математикийн чухал сэдэв юм. Эхний гишүүн, ерөнхий ялгавар, n-р гишүүн, эхний n гишүүний нийлбэрийг бүрэн ойлгох нь олон төрлийн бодлогыг шийдвэрлэхэд үнэлж баршгүй юм. Дээрх жишээ, хэлэлцүүлгийг ашигласнаар уншигчид арифметик дарааллын үндсэн ойлголтуудыг илүү сайн ойлгоно гэж найдаж байна.
