Геометрийн цувааны талаарх жишээ асуултууд
Геометрийн дараалал нь ахлах сургуульд ихэвчлэн заадаг математикийн үндсэн ойлголт юм. Эдгээр дарааллууд нь тоонуудын багцаас бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь өмнөх тооны үржвэр нь "харьцаа" гэгддэг тогтмол юм. Энэхүү нийтлэлд уншигчдад энэ ойлголтыг илүү сайн ойлгоход туслах зорилгоор геометрийн дарааллын хэд хэдэн жишээ бодлого, хэлэлцүүлгийг авч үзэх болно.
Геометрийн цувралыг ойлгох нь
Геометрийн дараалал гэдэг нь эхний тоог (a) тогтмол харьцаагаар (r) үржүүлснээр үүссэн тоонуудын дараалал юм. Ерөнхийдөө геометрийн дарааллын ерөнхий хэлбэр нь:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Энд:
– “a” нь дарааллын эхний гишүүн юм.
– “r” нь нэг гишүүний өмнөх гишүүнтэй харьцуулсан харьцаа юм.
– “n” нь дарааллын n-р гишүүн юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Геометрийн дарааллын талаар илүү ихийг ойлгохын тулд зарим жишээ бодлогуудыг авч үзье.
Жишээ асуулт 1
Асуулт:
Эхний гишүүн (a) нь 3, харьцаа (r) нь 2 байх геометрийн дараалал өгөгдсөн. Дараахыг тодорхойлно уу:
1. Дарааллын 5 дахь гишүүн.
2. Дарааллын эхний 6 гишүүний нийлбэр.
Хэлэлцүүлэг:
1. 5 дахь гишүүн (U5)-ийг геометр дарааллын n дахь гишүүний томъёог ашиглан тооцоолж болно, тухайлбал:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
a = 3, r = 2, болон n = 5-г томъёонд орлуулна уу:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Тэгэхээр дарааллын 5 дахь гишүүн нь 48 байна.
2. Геометрийн дарааллын эхний 6 гишүүний (S6) нийлбэрийг эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан тооцоолж болно, тухайлбал:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
a = 3, r = 2, болон n = 6-г томъёонд орлуулна уу:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
Тиймээс дарааллын эхний 6 гишүүний нийлбэр нь 189 байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт:
Геометрийн дарааллын 3 дахь гишүүн нь 27, 5 дахь гишүүн нь 243 байна. Эхний гишүүн (a) болон харьцаа (r)-ийн утгыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
U3 = 27 ба U5 = 243 өгөгдсөн. Геометрийн дарааллын n-р гишүүний томъёог ашиглан:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3-ийн хувьд:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5-ийн хувьд:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
(1) ба (2) тэгшитгэлүүдийг харьцуулж дараахыг хасна:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ эсвэл } r = -3 \]
r-ийн утгыг (1) тэгшитгэлд орлуулна уу:
Хэрэв \(r = 3 \) бол:
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Хэрэв \(r = -3 \) бол:
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Тэгэхээр эхний гишүүн (a) нь 3, харьцаа (r) нь 3 эсвэл -3 байж болно.
Жишээ асуулт 3
Асуулт:
Хэрэв эхний гишүүн (a) нь 8, харьцаа (r) нь 1/2 бол дараах геометрийн цувааны хязгааргүй нийлбэрийг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Геометрийн цувралын хязгааргүй нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
a = 8 ба r = 1/2-г томъёонд орлуулна уу:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \удаа 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Тиймээс геометрийн цувралын хязгааргүй нийлбэр нь 16 байна.
Жишээ асуулт 4
Асуулт:
Геометрийн дарааллын 2 дахь гишүүн нь 12, 4 дэх гишүүн нь 108 байна. Харьцаа болон дарааллын эхний гишүүнийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
\(U_2 = 12 \) ба \(U_4 = 108 \) өгөгдсөн. Геометрийн дарааллын n-р гишүүний томъёог ашиглан:
\(U_2 \)-ийн хувьд:
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\(U_4 \)-ийн хувьд:
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
(1) ба (2) тэгшитгэлүүдийг харьцуулж дараахыг хасна:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ эсвэл } r = -3 \]
r-ийн утгыг (1) тэгшитгэлд орлуулна уу:
Хэрэв \(r = 3 \) бол:
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Хэрэв \(r = -3 \) бол:
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Тэгэхээр эхний гишүүн (a) нь 4 эсвэл -4, харьцаа (r) нь 3 эсвэл -3 байж болно.
Дүгнэлт
Геометрийн дараалал нь янз бүрийн салбарт байнга хэрэглэгддэг чухал математикийн ойлголт юм. Үндсийг нь ойлгож, бодлого бодох чадварыг дадлагажуулснаар бид уг ойлголтыг ойлгож, хэрэгжүүлэхэд илүү чадварлаг болж чадна гэж найдаж байна. Энэхүү нийтлэлд уншигчдад геометрийн дарааллыг илүү гүнзгий сурч, ойлгоход нь туслах хэд хэдэн жишээ бодлого, хэлэлцүүлэг багтсан болно. Энэ нь тустай байх болно гэж найдаж байна!
