ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຊຸດເລກຄະນິດ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຊຸດເລກຄະນິດ

ລຳດັບເລກຄະນິດແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນຄະນິດສາດທີ່ມັກຈະປາກົດຢູ່ໃນບັນຫາຕ່າງໆ, ທັງໃນໂຮງຮຽນມັດທະຍົມ ແລະ ການສຶກສາຊັ້ນສູງ. ແນວຄວາມຄິດນີ້ກ່ຽວຂ້ອງກັບລຳດັບຂອງຕົວເລກທີ່ແຕ່ລະພົດແມ່ນຜົນມາຈາກການບວກ ຫຼື ການລົບຕົວເລກຄົງທີ່ຈາກພົດກ່ອນໜ້ານີ້. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂຂອງມັນເພື່ອເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດຂອງລຳດັບເລກຄະນິດຕື່ມອີກ.

ເຂົ້າໃຈຊຸດເລກຄະນິດ

ຊຸດຄະນິດສາດແມ່ນຊຸດທີ່ມີຄ່າຕ່າງກັນຄົງທີ່ (difference) ລະຫວ່າງສອງພະຍາງຕິດຕໍ່ກັນ. ຕົວຢ່າງ, ຖ້າຊຸດຄະນິດສາດມີພະຍາງທຳອິດ \(a\) ແລະ ຄ່າຕ່າງກັນ \(d\), ແລ້ວພະຍາງສາມາດຂຽນໄດ້ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

\[ ກ, ກ + ງ, ກ + 2ດ, ກ + 3ດ, \ldots \]

ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການຊອກຫາພົດທີ n ຂອງຊຸດນີ້, ສູດສຳລັບພົດທີ n (\(U_n\)) ແມ່ນ:

\[ U_n = a + (n-1)d \]

ໃນຂະນະດຽວກັນ, ຜົນບວກຂອງ n ພົດທຳອິດຂອງຊຸດເລກຄະນິດ (\(S_n\)) ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດ:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

Contoh Soal ແລະ Pembahasan

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1

ຄຳຖາມ: ໃຫ້ຊຸດຄະນິດສາດທີ່ມີພົດທຳອິດ \(a = 5\) ແລະ ຜົນຕ່າງຮ່ວມ \(d = 3\). ຈົ່ງຊອກຫາພົດທີ 10 ຂອງຊຸດ.

ເປບບາຮາຊານ:

ເພື່ອຊອກຫາພົດທີ 10 (\(U_{10}\)), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ສູດພົດທີ n ໄດ້:

\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

ສະນັ້ນ, ພົດທີ 10 ຂອງຊຸດແມ່ນ 32.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2

ຄຳຖາມ: ຈົ່ງຊອກຫາຜົນບວກຂອງ 15 ພົດທຳອິດຂອງຊຸດເລກຄະນິດທີ່ມີພົດທຳອິດແມ່ນ \(a = 4\) ແລະ ຜົນຕ່າງຮ່ວມແມ່ນ \(d = 7\).

ເປບບາຮາຊານ:

ເພື່ອຊອກຫາຜົນບວກຂອງ 15 ພົດທຳອິດ (\(S_{15}\)), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ສູດສຳລັບຜົນບວກຂອງ n ພົດທຳອິດ:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]

ສະນັ້ນ, ຜົນບວກຂອງ 15 ພົດທຳອິດຂອງຊຸດນີ້ແມ່ນ 795.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3

ຄຳຖາມ: ເປັນທີ່ຮູ້ກັນວ່າພົດທີ 5 ຂອງຊຸດເລກຄະນິດແມ່ນ 20 ແລະພົດທີ 12 ແມ່ນ 48. ຈົ່ງຊອກຫາພົດທຳອິດ (\(a\)) ແລະຜົນຕ່າງຮ່ວມ (\(d\)) ຂອງຊຸດ.

ເປບບາຮາຊານ:

ຈາກເງື່ອນໄຂທີ່ກຳນົດໃຫ້:

\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]

ພວກເຮົາມີສອງສົມຜົນເສັ້ນຊື່ທີ່ມີສອງຕົວແປທີ່ພວກເຮົາສາມາດແກ້ໄຂໄດ້:

1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)

ຈາກສົມຜົນທີ 1, ພວກເຮົາສາມາດສະແດງ \(a\) ໃນແງ່ຂອງ \(d\):

\[ a = 20 – 4d \]

ຕອນນີ້ພວກເຮົາແທນຄ່າ \(a\) ໃສ່ໃນສົມຜົນທີ 2:

\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ ດ = 4 \]

ບັດນີ້ພວກເຮົາແທນຄ່າຂອງ \(d\) ໃສ່ໃນສົມຜົນ \(a = 20 – 4d\):

\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ ກ = 4 \]

ສະນັ້ນ, ພົດທຳອິດຂອງຊຸດແມ່ນ 4 ແລະ ຄວາມແຕກຕ່າງຮ່ວມແມ່ນ 4.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4

ຄຳຖາມ: ຕ້ອງການຈັກພະຍາງສຳລັບຊຸດເລກຄະນິດທີ່ມີພະຍາງທຳອິດ \(a = 2\) ແລະ ຄ່າຕ່າງຮ່ວມ \(d = 5\) ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ 200?

ເປບບາຮາຊານ:

ໃນກໍລະນີນີ້, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຊອກຫາຜົນບວກຂອງ n ພົດທຳອິດ (\(S_n\)) ທີ່ເທົ່າກັບ 200. ໃຊ້ສູດສຳລັບຜົນບວກຂອງ n ພົດທຳອິດ:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]

ແທນຄ່າຂອງ \(a\) ແລະ \(d\):

\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]

ນີ້ແມ່ນສົມຜົນກຳລັງສອງ. ເພື່ອແກ້ໄຂມັນ, ພວກເຮົາປ່ຽນຮູບແບບຂອງມັນ:

\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]

ໃຊ້ສູດກຳລັງສອງ \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

ໃນກໍລະນີນີ້ \(a = 5\), \(b = -1\), ແລະ \(c = -400\):

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]

ຄ່າຂອງ \(\sqrt{8001}\) ໃກ້ກັບ 89.42, ຫຼັງຈາກນັ້ນ:

\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]

ພວກເຮົາເອົາຄ່າໃນທາງບວກ:

\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \ປະມານ 9.042 \]

ສະນັ້ນ, ຈຳນວນພະຍາງທີ່ຕ້ອງການແມ່ນ 9 ພະຍາງ (ຖ້າຖືກປັດ).

ສະຫຼຸບ

ລຳດັບເລກຄະນິດແມ່ນຫົວຂໍ້ທີ່ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດ. ຄວາມເຂົ້າໃຈຢ່າງລະອຽດກ່ຽວກັບພົດທີໜຶ່ງ, ຄວາມແຕກຕ່າງຮ່ວມ, ພົດທີ n, ແລະ ຜົນບວກຂອງພົດ n ທຳອິດແມ່ນມີຄຸນຄ່າຫຼາຍຕໍ່ການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ຫຼາກຫຼາຍ. ໂດຍການນຳໃຊ້ຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຂ້າງເທິງ, ຫວັງວ່າຜູ້ອ່ານຈະມີຄວາມເຂົ້າໃຈດີຂຶ້ນກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງລຳດັບເລກຄະນິດ.